x, y, z

Поиск сообщений на форуме:

Поля поиска:

Запрос:
Номер автора:
Номер темы:
Номер форума:
Сортировать:
Сообщения: 205
|1|2|3|4|5|…|21| >>>
1 Фев 2019 18:36:38
Математические символыРабота сайта
Evgeniy

Математические символы

Специальные символы
Символ Код Описание
8704 Для любого
8707 Существует
Ø 216 Пустое множество
8712 Принадлежит
8713 Не принадлежит
8727 Содержит
8834 Является подмножеством
8835 Является надмножеством
8836 Не является подмножеством
8838 Является подмножеством либо равно
8839 Является надмножеством либо равно
8745 Пересечение
8746 Объединение
8743 Логическое И
8744 Логическое ИЛИ
¬ 172 Отрицание
8804 Меньше или равно
8805 Больше или равно
8800 Не равно
8776 Приблизительно равно
8801 Тождественно
8734 Бесконечность
± 177 Плюс/минус
8260 Дробная черта
8722 Минус
· 183 Произведение-точка
× 215 Произведение-крестик
÷ 247 Деление
9675 Композиция
8730 Квадратный корень
8853 Плюс в кружке
8855 Знак умножения в кружке
8592 Стрелка влево
8593 Стрелка вверх
8594 Стрелка вправо
8596 Стрелка влево и вправо
8656 Двойная стрелка влево
8658 Двойная стрелка вправо
8660 Двойная стрелка влево и вправо
° 176 Градус
8869 Перпендикулярно
8736 Угол
8706 Частичная производная / граница
8747 Интеграл
¹ 185 Степень 1
² 178 Степень 2
³ 179 Степень 3
½ 189 Одна вторая
8721 Знак суммирования
8719 Знак произведения

Греческие буквы
СтрочныеПрописныеНазвание
Буква Код Буква Код
α 945 Α 913 Альфа
β 946 Β 914 Бета
γ 947 Γ 915 Гамма
δ 948 Δ 916 Дельта
ε 949 Ε 917 Эпсилон
ζ 950 Ζ 918 Дзета
η 951 Η 919 Эта
θ 952 Θ 920 Тета
ι 953 Ι 921 Йота
κ 954 Κ 922 Каппа
λ 955 Λ 923 Лямбда
μ 956 Μ 924 Мю
ν 957 Ν 925 Ню
ξ 958 Ξ 926 Кси
ο 959 Ο 927 Омикрон
π 960 Π 928 Пи
ρ 961 Ρ 929 Ро
σ 963 Σ 931 Сигма
ς 962
τ 964 Τ 932 Тау
υ 965 Υ 933 Ипсилон
φ 966 Φ 934 Фи
χ 967 Χ 935 Хи
ψ 968 Ψ 936 Пси
ω 969 Ω 937 Омега
24 Ноя 2018 16:59:37
ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левееМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее

ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее

Натуральные числа от 1 до 1982 расположены одно за другим в некотором порядке. ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел (первое и второе, второе и третье и т.д.) вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее. Затем она просматривает все пары справа налево от последней пары до первой, меняя местами числа в парах по тому же закону. По окончании этого просмотра работающий с ЭВМ оператор получил информацию, что число, стоящее на сотом месте, оба раза не сдвинулось со своего места. Найдите это число.

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
24 Ноя 2018 16:57:21
Как по параболе с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Как по параболе с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

https://pp.userapi.com/c847124/v847124579/13574b/iktzmxlNRGA.jpg

На координатной плоскости $xOy$ нарисовали график функции $y=x^2$. Потом начало координат и оси стёрли — осталась только парабола. Как с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
17 Окт 2018 11:11:59
Расположите числа в порядке возрастанияМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Расположите числа в порядке возрастания

Числа $a, b, c$ лежат на интервале $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ и удовлетворяют равенствам $\cos a = a$, $\sin \cos b = b$, $\cos \sin c = c$. Расположите эти числа в порядке возрастания.

(16-я всесоюзная олимпиада, 10 класс, Одесса, 1982)
14 Окт 2018 10:52:48
Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?

В числовых последовательностях $a_{n}$ и $b_{n}$ каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, причем $a_{1} = 1$, $a_{2}=2$, $b_{1} = 2$, $b_{2}=1$. Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
19 Сен 2018 17:50:25
Помогите извлечь корень из комплексного числаМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
Evgeniy

Пусть $\xi = \sqrt[n]{z}$, что равносильно $\xi^n = z$.

Представим оба числа в тригонометричсекой форме

$$$z=r(\cos \varphi + i\sin \varphi),\\ \xi=\rho(\cos \psi + i\sin \psi).$$$

Тогда по формуле Муавра получим

$$\bigl[\rho(\cos \psi + i\sin \psi)\bigr]^n = \rho^n(\cos n\psi + i\sin n\psi) = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$$,

что равносильно системе

$\left\{\begin{aligned} &\rho^n = r, \\ &n\psi = \varphi + 2\pi k, \ k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &\rho = \sqrt[n]{r}, \\ &\psi = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}, \ k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}\right.$

При $k=0,...,n-1$ получаем различные значения $\xi$.

Таким образом, если

$z=r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$,

то

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right), \ k=0,...,n-1$$.

В данном случае

$$2-2i = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$,

$$\sqrt[3]{2-2i} = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3} + i\sin \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\left(\cos \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} k\right) + i\sin \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} k\right) \right), \ k=0,...,n-1$$.
18 Сен 2018 22:13:03
Как возвести в степень комплексное число?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
Evgeniy

Нужно представить число в тригонометрической форме и воспользоваться формулой Муавра

$$\bigl[r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\bigr]^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$$.

$$1+i = \sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$.

$$$$(1+i)^{25} = (\sqrt2)^{25}\left(\cos \frac{25\pi}{4}+i\sin \frac{25\pi}{4}\right) = 2^{12}\sqrt2\left(\cos \left(6\pi+\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(6\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right) = \\ = 2^{12}\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right) = 2^{12}(1+i). $$$$
4 Авг 2018 20:04:14
Бинарные отношенияМатематика
Evgeniy

Бинарные отношения

Бинарное отношение любви, к сожалению, не симметрично
Определение. Пусть $X, Y$ — множества. Множество упорядоченных пар $(x,y)$, где $x\in X$, $y\in Y$, называется декартовым произведением множеств и обозначается $X \times Y = \{(x,y)\colon x\in X, y\in Y\}$. Упорядоченных значит, что порядок в паре $(x,y)$ имеет значение.

Определение. Пусть $X, Y$ — множества. Бинарное отношение $\sigma$ на множествах $X$ и $Y$ задается выбором подмножества декартова произведения $M_{\sigma} \subseteq X\times Y$. Если пара $(x,y) \in M_{\sigma}$, то пишут $x\sigma y$.

Следующее определение получается из этого при $X=Y$.

Определение. Пусть $X$ — множество. Бинарное отношение на множестве $X$ задается выбором подмножества декартова произведения $M_{\sigma} \subseteq X\times X$. Если пара $(x,y) \in M_{\sigma}$, то также пишут $x\sigma y$.

Пример. Пусть $X$ — множество людей. Если $x$ влюблен в $y$, то это можно записать как бинарное отношение $x \heartsuit y$. Причем из того, что $x$ влюблен в $y$, вообще говоря, не следует, что $y$ влюблен в $x$. То есть может быть $x \heartsuit y$, но не быть $y \heartsuit x$. Важен порядок.

Некоторый элемент $x$ может ни с кем не быть в отношении $\heartsuit$. Как в качестве влюбленного (то есть не существует $z$ такого, что $x \heartsuit z$). Также в качестве того, в кого влюблены (не существует $z$ такого, что $z \heartsuit x$).

Какой-то $x$ может состоять в отношении $\heartsuit$ одновременно с несколькими. Как на первом месте ($x$ может быть влюблен сразу в нескольких людей, то есть имеет место $x \heartsuit y_1$ и $x \heartsuit y_2$). Так и на втором месте (в $x$ влюблены несколько человек: $y_1 \heartsuit x$ и $y_2 \heartsuit x$).

Также не исключено, что $x$ нарцисс и $x \heartsuit x$.

Бинарное отношение $\sigma$ на множестве $X$ может обладать различными свойствами, например:
$\forall x\in X \ x\sigma x$ — рефлексивность.
$\forall x,y\in X \ ( x\sigma y \Rightarrow y\sigma x )$ — симметричность.
$\forall x,y,z \in X \ ( x \sigma y \vee y \sigma z \Rightarrow x \sigma z)$ — транзитивность.
$\forall x,y\in X \ ( x\sigma y \vee y \sigma x \Rightarrow x=y )$ — антисимметричность.

Определение. Рефлексивное, симметричное, транзитивное бинарное отношение называют отношением эквивалентности. Обычно обозначают $x\sim y$.

Свойства отношения эквивалентности:
1) $\forall x\in X \ x\sim x$ — рефлексивность;
2) $\forall x,y\in X \ ( x\sim y \Rightarrow y\sim x )$ — симметричность;
3) $\forall x,y,z \in X \ ( x \sim y \vee y \sim z \Rightarrow x \sim z)$ — транзитивность.

Определение. Рефлексивное, антисимметричное, транзитивное бинарное отношение называют отношением порядка (частичного порядка). Обычно обозначают $x \le y$.

Свойства отношения порядка:
1) $\forall x\in X \ x \le x$ — рефлексивность;
2) $\forall x,y\in X \ ( x \le y \vee y \le x \Rightarrow x=y )$ — антисимметричность;
3) $\forall x,y,z \in X \ ( x \le y \vee y \le z \Rightarrow x \le z)$ — транзитивность.

Функцию $f\colon X \to Y$ также можно считать бинарным отношением на множествах $X$ и $Y$. Чтобы быть классической однозначной функцией, бинарное отношение $f$ должно удовлетворять следующему условию: $\forall x\in X$ найдется и единственный $y\in Y$ такой, что $x f y$. Заметим, что множество $M_f \subseteq X\times Y$ является ничем иным, как графиком функции $f$. С такой точки функция $f$ по сути задается своим графиком, или множеством пар $(x, f(x))$, где $x\in X$.

С другой стороны, бинарные отношение можно считать обобщением понятия функция (отображение).

Далее сформулируем и докажем свойства отношения эквивалентности.

Утверждение. Отношение эквивалентности $\sim$ на множестве $X$ разбивает множество $X$ на так непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности. Любые два элемента из класса эквивалентности эквивалентны друг другу.

Доказательство.

Рассмотрим множество $[a] = \{x \in X \colon x \sim a\}$, где $a \in X$. Покажем, что множество такого вида и будут искомыми классами эквивалентности.

Каждый элемент $a \in X$ лежит в множестве такого вида, а именно $a \in [a]$, поскольку $a\sim a$ ввиду рефлексивности. Из этого также следует, что множество $[a] \ne \varnothing$.

Так как любое $[a] \subseteq X$, то можно записать, что
$$X = \bigcup_{a\in X} [a]$$.
Покажем, что множества вида $[a]$ либо не пересекаются, либо совпадают.

Сначала покажем, что если $c \in [a]$, то $[c]=[a]$. Так как $c \in [a]$, то по определению $c\sim a$ и следовательно ввиду симметричности $a\sim c$.

Если $x \in [a]$, то по определению $x \sim a$. Ввиду транзитивности из $x \sim a$ и $a\sim c$ следует $x \sim c$, то есть $x\in [c]$. Следовательно, $[a] \subseteq [c]$.

Если $x \in [c]$, то по определению $x \sim c$. Ввиду транзитивности из $x \sim c$ и $c\sim a$ следует $x \sim a$, то есть $x\in [a]$. Следовательно, $[c] \subseteq [a]$.

Таким образом, $[c] = [a]$.

Допустим, что множества $[a]$ и $[b]$ пересекаются, то есть содержат какой-то общий элемент $c \in [a] \cap [b]$. Тогда по доказанному $c \in [a]$ и, следовательно, $[c]=[a]$. В то же время, $c \in [b]$ и, следовательно, $[c]=[b]$. В итоге $[a]=[c]=[b]$.
30 Июл 2018 15:57:45
Линейное пространство магических квадратов и его базисМатематика
Evgeniy

Квадратная матрица называется полумагической (полумагическим квадратом), если суммы коэффициентов в каждой строке и в каждом столбце матрицы совпадают. Если к тому же эти суммы совпадают с суммой коэффициентов главной диагонали, то матрица называется магической (магическим квадратом).

Множество полумагических и магических квадратов образуют конечномерное линейное пространство. Действительно, например, сумма магических квадратов — магический квадрат, при умножении магического квадрата на константу также получается магический квадрат. Можно найти базис этого линейного пространства и параметризовать их.

Пример 1. Для простоты сначала рассмотрим полумагические квадраты размером 2×2, в которых равны суммы элементов по столбцам и по строкам. Базис состоит из двух квадратов:
$E_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad E_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
Всякий полумагический квадрат $A$ размером 2×2 является их линейной комбинацией
$A=aE_1+bE_2 = a\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$.
Пример 2. Рассмотрим магические квадраты размером 3×3, в которых равны суммы элементов по столбцам, по строкам и по главной диагонали. Базис вроде состоит из трех квадратов:
$E_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad E_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad E_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
Всякий магический квадрат $A$ размером 3×3 является их линейной комбинацией
$A = aE_1 + bE_2 + cE_3 = a \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$.
Можно заметить, если $a+b=2c$, то квадрат будет магическим по двум диагоналям.

Подобным образом можно исследовать квадраты любых размеров.
23 Июл 2018 16:13:16
Почему группы и кольца так распространены в математикеМатематика
Evgeniy

Почему группы и кольца так распространены в математике

Интуиция подсказывает, что основные понятия, структуры, объекты в математике должны быть исключительными и математически красивыми. В математике повсюду встречаются группы и кольца, а также их частные случай и расширения — поля, линейные пространства, алгебры. Но почему именно эти структуры? Чем уникальны наборы аксиом группы и кольца? У меня есть следующие соображения.

Наверное, самая простая структура в математике — это множество. Трудно найти что-то более фундаментальное. Его основное структурное свойство — мощность. Группа естественным образом появляется как семейство биекций множества $X$ в себя с операцией композиция, определенной так $(f\circ g)(x)=f(g(x))$, где $x\in X$. И обратно, всякая группа является множеством биекций некоторого множества в себя. Биекции сохраняют мощность множества. Можно сказать, что группа — это семейство преобразований множества, которое сохраняет его основное структурное свойство — мощность.

В свою очередь, всякое кольцо является кольцом автоморфизмов (изоморфизмов в себя) некоторой коммутативной (абелевой) аддитивной группы $(G,+)$. А именно, кольцевое произведение — это композиция автоморфизмов группы $(a \circ b)(g)=a(b(g))$, где $g\in G$, а кольцевое сложение — сумма автоморфизмов $(a\oplus b)(g)=a(g)+b(g)$, где $g\in G$. Можно проверить, что множество автоморфизмов с такими операциями удовлетворяет аксиомам кольца. Можно сказать, что кольцо — это семейство преобразований группы, которое сохраняет основное структурное свойство группы — ее операцию.

Можно спросить, почему рассматривают автоморфизмы только коммутативных группы. Дело в том, что если в кольце есть есть единица $e$ (в данном случае она есть, потому что всегда есть тождественный автоморфизм), то коммутативность сложения получается автоматически. Действительно, с одной стороны $(e+e)(a+b) = (e+e)a + (e+e)b = a+a+b+b$. С другой стороны, $(e+e)(a+b) = e(a+b) + e(a+b) = a+b+a+b$. Прибавляя слева $(-a)$, а справа $(-b)$, получим $a+b=b+a$.

Таким образом, каждая следующая структура возникает как семейство преобразований предыдущей, которые сохраняют ее основные структурные свойства.
|1|2|3|4|5|…|21| >>>