x, y, z

Поиск сообщений на форуме:

Поля поиска:

Запрос:
Номер автора:
Номер темы:
Номер форума:
Сортировать:
Сообщения: 209
|1|2|3|4|5|…|21| >>>
18 Апр 2019 21:14:00
Доказать, что функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функцийМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
Evgeniy

Чтоб говорить о четности/нечетности какой-либо функции, она должна быть определена на симметричном промежутке. Симметричность нужна для того, чтобы вместе с $f(x)$ была определена и $f(-x)$, то есть всякий $x$ должен входить в область определения $f$ вместе с $-x$, а это возможно только при симметричном промежутке.
9 Апр 2019 15:29:52
Что такое o-малое и O-большоеМатематика
Evgeniy

Что такое o-малое и O-большое

Определение 1. Говорят, что функция $f(x)$ есть о-малое от $g(x)$ при $x\to x_0$, записывая это как $f(x)=o(g(x))$ при $x\to x_0$, если в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\alpha(x)g(x)$, где $где \alpha(x)$ — бесконечно малая при $x\to x_0$.

Примечание. Данное определение задает целый класс функций, обладающих такими свойствами, поэтому правильнее было бы писать не $f(x)=o(g(x))$, а $f(x)\in o(g(x))$, но исторически сложилась традиция писать равенство.

Утверждение 2. $f(x)=o(g(x))$ при $x\to x_0$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon>0$ найдется окрестность $U(x_0)$ такая, что для любого $x\in U(x_0)$ верно неравенство $|f(x)|\le \varepsilon|g(x)|$.

Доказательство.

Пусть $f(x)=o(g(x))$ при $x\to x_0$ в смысле первого определения, то есть в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\alpha(x)g(x)$, где $\alpha(x)$ — бесконечно малая при $x\to x_0$. Так как $\alpha(x)$ бесконечно малая, то для любого $\varepsilon>0$ найдется окрестность $U'(x_0)\subseteq U(x_0)$ такая, что для любого $x\in U(x_0)$ верно $|\alpha(x)|<\varepsilon$, а следовательно в этой окрестности верно неравенство $|f(x)|=|\alpha(x)|\cdot|g(x)|\le \varepsilon|g(x)|$.

Обратно, пусть для любого $\varepsilon>0$ найдется окрестность $U(x_0)$ такая, что для всех $x\in U(x_0)$ верно выполняется неравенство $|f(x)|\le \varepsilon|g(x)|$. Из этого неравенство следует, что $f(x)=0$, если $g(x)=0$. Определим функцию
$\alpha(x)= \begin{cases} 0, & g(x)=0,\\ \frac{f(x)}{g(x)}, & g(x)\ne 0. \end{cases}$
Нетрудно проверить, что верно равенство $f(x)=\alpha(x)g(x)$, причем $\alpha(x)$ — бесконечно малая при $x\to x_0$.

Определение 3. Говорят, что функция $f(x)$ есть О-большое от $g(x)$ при $x\to x_0$, записывая это как $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$, если в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\beta(x)g(x)$, где $\beta(x)$ — ограниченная в $U(x_0)$.

Утверждение 4. $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$ тогда и только тогда, когда найдется окрестность $U(x_0)$ и константа $C$ такие, что для всех $x\in U(x_0)$ верно неравенство $|f(x)|\le C|g(x)|$.

Доказательство.

Пусть $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$ в смысле первого определения, то есть в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно представление $f(x)=\beta(x)g(x)$, где $\beta(x)$ — ограниченная в $U(x_0)$. Так как $\beta(x)$ ограниченная в $U(x_0)$, то найдется константа $C$ такая, что для любого $x\in U(x_0)$ верно $|\beta(x)|<C$, а следовательно в этой окрестности верно неравенство $|f(x)|=|\beta(x)|\cdot|g(x)|\le C|g(x)|$.

Обратно, пусть есть окрестность $U(x_0)$ и константа $C$ такие, что для всех $x\in U(x_0)$ верно неравенство $|f(x)|\le C|g(x)|$. Из этого неравенство следует, что $f(x)=0$, если $g(x)=0$. Определим функцию
$\beta(x)= \begin{cases} 0, & g(x)=0,\\ \frac{f(x)}{g(x)}, & g(x)\ne 0. \end{cases}$
Нетрудно проверить, что верно равенство $f(x)=\beta(x)g(x)$, причем $\beta(x)$ — ограниченная в $U(x_0)$.

Определение 5. Говорят, что функция $f(x)$ эквивалентна $g(x)$ при $x\to x_0$, записывая это как $f(x)\sim g(x)$ при $x\to x_0$, если в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\gamma(x)g(x)$, где $\gamma(x)\to 1$ при $x\to x_0$.

Примеры

$x^2=o(x)$ при $x\to 0$.

$x=o(x^2)$ при $x\to +\infty$.

$x^n=o(e^x)$ при $x\to +\infty$ (при любом $n$).

$x^2=O(2x^2+3x-1)$ при $x\to +\infty$.

$$\frac{\sin x}{x}=O\left(\frac{1}{x}\right)$$ при $x\to +\infty$.

$$\frac{\sin x}{x}\sim x$$ при $x\to 0$.

$e^x-1\sim x$ при $x\to 0$.

$\ln(x+1)\sim x$ при $x\to 0$.
22 Мар 2019 20:48:45
По кругу записаны n≥3 натуральных чиселМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

По кругу записаны n≥3 натуральных чисел

По кругу записаны $n\geqslant 3$ натуральных чисел так, что для каждого числа отношение суммы его соседей к нему является натуральным числом. Докажите, что сумма всех таких отношений не меньше $2n$ и не больше $3n$.

(18-я всесоюзная олимпиада, 9 класс, Ашхабад, 1984)
22 Мар 2019 20:45:55
В строку в возрастающем порядке выписали n различных действительных чиселМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

В строку в возрастающем порядке выписали n различных действительных чисел

В строку в возрастающем порядке выписали $n$ различных действительных чисел. Под ними во вторую строку выписали те же числа, только, быть может, в другом порядке. Для каждой пары чисел, выписанных одно под другим, нашли сумму. Эти суммы образовали третью строку. Оказалось, что числа в третьей строке также расположены в возрастающем порядке. Докажите, что первая строка совпадает со второй.

(18-я всесоюзная олимпиада, 10 класс, Ашхабад, 1984)
1 Фев 2019 18:36:38
Математические символыРабота сайта
Evgeniy

Математические символы

Специальные символы
Символ Код Описание
8704 Для любого
8707 Существует
Ø 216 Пустое множество
8712 Принадлежит
8713 Не принадлежит
8727 Содержит
8834 Является подмножеством
8835 Является надмножеством
8836 Не является подмножеством
8838 Является подмножеством либо равно
8839 Является надмножеством либо равно
8745 Пересечение
8746 Объединение
8743 Логическое И
8744 Логическое ИЛИ
¬ 172 Отрицание
8804 Меньше или равно
8805 Больше или равно
8800 Не равно
8776 Приблизительно равно
8801 Тождественно
8734 Бесконечность
± 177 Плюс/минус
8260 Дробная черта
8722 Минус
· 183 Произведение-точка
× 215 Произведение-крестик
÷ 247 Деление
9675 Композиция
8730 Квадратный корень
8853 Плюс в кружке
8855 Знак умножения в кружке
8592 Стрелка влево
8593 Стрелка вверх
8594 Стрелка вправо
8596 Стрелка влево и вправо
8656 Двойная стрелка влево
8658 Двойная стрелка вправо
8660 Двойная стрелка влево и вправо
° 176 Градус
8869 Перпендикулярно
8736 Угол
8706 Частичная производная / граница
8747 Интеграл
¹ 185 Степень 1
² 178 Степень 2
³ 179 Степень 3
½ 189 Одна вторая
8721 Знак суммирования
8719 Знак произведения

Греческие буквы
СтрочныеПрописныеНазвание
Буква Код Буква Код
α 945 Α 913 Альфа
β 946 Β 914 Бета
γ 947 Γ 915 Гамма
δ 948 Δ 916 Дельта
ε 949 Ε 917 Эпсилон
ζ 950 Ζ 918 Дзета
η 951 Η 919 Эта
θ 952 Θ 920 Тета
ι 953 Ι 921 Йота
κ 954 Κ 922 Каппа
λ 955 Λ 923 Лямбда
μ 956 Μ 924 Мю
ν 957 Ν 925 Ню
ξ 958 Ξ 926 Кси
ο 959 Ο 927 Омикрон
π 960 Π 928 Пи
ρ 961 Ρ 929 Ро
σ 963 Σ 931 Сигма
ς 962
τ 964 Τ 932 Тау
υ 965 Υ 933 Ипсилон
φ 966 Φ 934 Фи
χ 967 Χ 935 Хи
ψ 968 Ψ 936 Пси
ω 969 Ω 937 Омега
24 Ноя 2018 16:59:37
ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левееМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее

ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее

Натуральные числа от 1 до 1982 расположены одно за другим в некотором порядке. ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел (первое и второе, второе и третье и т.д.) вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее. Затем она просматривает все пары справа налево от последней пары до первой, меняя местами числа в парах по тому же закону. По окончании этого просмотра работающий с ЭВМ оператор получил информацию, что число, стоящее на сотом месте, оба раза не сдвинулось со своего места. Найдите это число.

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
24 Ноя 2018 16:57:21
Как по параболе с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Как по параболе с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

https://pp.userapi.com/c847124/v847124579/13574b/iktzmxlNRGA.jpg

На координатной плоскости $xOy$ нарисовали график функции $y=x^2$. Потом начало координат и оси стёрли — осталась только парабола. Как с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
17 Окт 2018 11:11:59
Расположите числа в порядке возрастанияМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Расположите числа в порядке возрастания

Числа $a, b, c$ лежат на интервале $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ и удовлетворяют равенствам $\cos a = a$, $\sin \cos b = b$, $\cos \sin c = c$. Расположите эти числа в порядке возрастания.

(16-я всесоюзная олимпиада, 10 класс, Одесса, 1982)
14 Окт 2018 10:52:48
Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?

В числовых последовательностях $a_{n}$ и $b_{n}$ каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, причем $a_{1} = 1$, $a_{2}=2$, $b_{1} = 2$, $b_{2}=1$. Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
19 Сен 2018 17:50:25
Помогите извлечь корень из комплексного числаМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
Evgeniy

Пусть $\xi = \sqrt[n]{z}$, что равносильно $\xi^n = z$.

Представим оба числа в тригонометричсекой форме

$$$z=r(\cos \varphi + i\sin \varphi),\\ \xi=\rho(\cos \psi + i\sin \psi).$$$

Тогда по формуле Муавра получим

$$\bigl[\rho(\cos \psi + i\sin \psi)\bigr]^n = \rho^n(\cos n\psi + i\sin n\psi) = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$$,

что равносильно системе

$\left\{\begin{aligned} &\rho^n = r, \\ &n\psi = \varphi + 2\pi k, \ k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &\rho = \sqrt[n]{r}, \\ &\psi = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}, \ k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}\right.$

При $k=0,...,n-1$ получаем различные значения $\xi$.

Таким образом, если

$z=r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$,

то

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right), \ k=0,...,n-1$$.

В данном случае

$$2-2i = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$,

$$\sqrt[3]{2-2i} = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3} + i\sin \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\left(\cos \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} k\right) + i\sin \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} k\right) \right), \ k=0,...,n-1$$.
|1|2|3|4|5|…|21| >>>