x, y, z

Поиск сообщений на форуме:

Поля поиска:

Запрос:
Номер автора:
Номер темы:
Номер форума:
Сортировать:
Сообщения: 205
|1|2|3|4|5|…|21| >>>
24 Ноя 2018 16:59:37
ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левееМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее

ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее

Натуральные числа от 1 до 1982 расположены одно за другим в некотором порядке. ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел (первое и второе, второе и третье и т.д.) вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее. Затем она просматривает все пары справа налево от последней пары до первой, меняя местами числа в парах по тому же закону. По окончании этого просмотра работающий с ЭВМ оператор получил информацию, что число, стоящее на сотом месте, оба раза не сдвинулось со своего места. Найдите это число.

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
24 Ноя 2018 16:57:21
Как по параболе с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Как по параболе с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

https://pp.userapi.com/c847124/v847124579/13574b/iktzmxlNRGA.jpg

На координатной плоскости $xOy$ нарисовали график функции $y=x^2$. Потом начало координат и оси стёрли — осталась только парабола. Как с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
17 Окт 2018 11:11:59
Расположите числа в порядке возрастанияМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Расположите числа в порядке возрастания

Числа $a, b, c$ лежат на интервале $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ и удовлетворяют равенствам $\cos a = a$, $\sin \cos b = b$, $\cos \sin c = c$. Расположите эти числа в порядке возрастания.

(16-я всесоюзная олимпиада, 10 класс, Одесса, 1982)
14 Окт 2018 10:52:48
Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?

В числовых последовательностях $a_{n}$ и $b_{n}$ каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, причем $a_{1} = 1$, $a_{2}=2$, $b_{1} = 2$, $b_{2}=1$. Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
19 Сен 2018 17:50:25
Помогите извлечь корень из комплексного числаМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
Evgeniy

Пусть $\xi = \sqrt[n]{z}$, что равносильно $\xi^n = z$.

Представим оба числа в тригонометричсекой форме

$$$z=r(\cos \varphi + i\sin \varphi),\\ \xi=\rho(\cos \psi + i\sin \psi).$$$

Тогда по формуле Муавра получим

$$\bigl[\rho(\cos \psi + i\sin \psi)\bigr]^n = \rho^n(\cos n\psi + i\sin n\psi) = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$$,

что равносильно системе

$\left\{\begin{aligned} &\rho^n = r, \\ &n\psi = \varphi + 2\pi k, \ k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &\rho = \sqrt[n]{r}, \\ &\psi = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}, \ k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}\right.$

При $k=0,...,n-1$ получаем различные значения $\xi$.

Таким образом, если

$z=r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$,

то

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right), \ k=0,...,n-1$$.

В данном случае

$$2-2i = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$,

$$\sqrt[3]{2-2i} = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3} + i\sin \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\left(\cos \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} k\right) + i\sin \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} k\right) \right), \ k=0,...,n-1$$.
18 Сен 2018 22:13:03
Как возвести в степень комплексное число?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
Evgeniy

Нужно представить число в тригонометрической форме и воспользоваться формулой Муавра

$$\bigl[r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\bigr]^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$$.

$$1+i = \sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$.

$$$$(1+i)^{25} = (\sqrt2)^{25}\left(\cos \frac{25\pi}{4}+i\sin \frac{25\pi}{4}\right) = 2^{12}\sqrt2\left(\cos \left(6\pi+\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(6\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right) = \\ = 2^{12}\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right) = 2^{12}(1+i). $$$$
4 Авг 2018 20:04:14
Бинарные отношенияМатематика
Evgeniy

Бинарные отношения

Бинарное отношение любви, к сожалению, не симметрично
Определение. Пусть $X, Y$ — множества. Множество упорядоченных пар $(x,y)$, где $x\in X$, $y\in Y$, называется декартовым произведением множеств и обозначается $X \times Y = \{(x,y)\colon x\in X, y\in Y\}$. Упорядоченных значит, что порядок в паре $(x,y)$ имеет значение.

Определение. Пусть $X, Y$ — множества. Бинарное отношение $\sigma$ на множествах $X$ и $Y$ задается выбором подмножества декартова произведения $M_{\sigma} \subseteq X\times Y$. Если пара $(x,y) \in M_{\sigma}$, то пишут $x\sigma y$.

Следующее определение получается из этого при $X=Y$.

Определение. Пусть $X$ — множество. Бинарное отношение на множестве $X$ задается выбором подмножества декартова произведения $M_{\sigma} \subseteq X\times X$. Если пара $(x,y) \in M_{\sigma}$, то также пишут $x\sigma y$.

Пример. Пусть $X$ — множество людей. Если $x$ влюблен в $y$, то это можно записать как бинарное отношение $x \heartsuit y$. Причем из того, что $x$ влюблен в $y$, вообще говоря, не следует, что $y$ влюблен в $x$. То есть может быть $x \heartsuit y$, но не быть $y \heartsuit x$. Важен порядок.

Некоторый элемент $x$ может ни с кем не быть в отношении $\heartsuit$. Как в качестве влюбленного (то есть не существует $z$ такого, что $x \heartsuit z$). Также в качестве того, в кого влюблены (не существует $z$ такого, что $z \heartsuit x$).

Какой-то $x$ может состоять в отношении $\heartsuit$ одновременно с несколькими. Как на первом месте ($x$ может быть влюблен сразу в нескольких людей, то есть имеет место $x \heartsuit y_1$ и $x \heartsuit y_2$). Так и на втором месте (в $x$ влюблены несколько человек: $y_1 \heartsuit x$ и $y_2 \heartsuit x$).

Также не исключено, что $x$ нарцисс и $x \heartsuit x$.

Бинарное отношение $\sigma$ на множестве $X$ может обладать различными свойствами, например:
$\forall x\in X \ x\sigma x$ — рефлексивность.
$\forall x,y\in X \ ( x\sigma y \Rightarrow y\sigma x )$ — симметричность.
$\forall x,y,z \in X \ ( x \sigma y \vee y \sigma z \Rightarrow x \sigma z)$ — транзитивность.
$\forall x,y\in X \ ( x\sigma y \vee y \sigma x \Rightarrow x=y )$ — антисимметричность.

Определение. Рефлексивное, симметричное, транзитивное бинарное отношение называют отношением эквивалентности. Обычно обозначают $x\sim y$.

Свойства отношения эквивалентности:
1) $\forall x\in X \ x\sim x$ — рефлексивность;
2) $\forall x,y\in X \ ( x\sim y \Rightarrow y\sim x )$ — симметричность;
3) $\forall x,y,z \in X \ ( x \sim y \vee y \sim z \Rightarrow x \sim z)$ — транзитивность.

Определение. Рефлексивное, антисимметричное, транзитивное бинарное отношение называют отношением порядка (частичного порядка). Обычно обозначают $x \le y$.

Свойства отношения порядка:
1) $\forall x\in X \ x \le x$ — рефлексивность;
2) $\forall x,y\in X \ ( x \le y \vee y \le x \Rightarrow x=y )$ — антисимметричность;
3) $\forall x,y,z \in X \ ( x \le y \vee y \le z \Rightarrow x \le z)$ — транзитивность.

Функцию $f\colon X \to Y$ также можно считать бинарным отношением на множествах $X$ и $Y$. Чтобы быть классической однозначной функцией, бинарное отношение $f$ должно удовлетворять следующему условию: $\forall x\in X$ найдется и единственный $y\in Y$ такой, что $x f y$. Заметим, что множество $M_f \subseteq X\times Y$ является ничем иным, как графиком функции $f$. С такой точки функция $f$ по сути задается своим графиком, или множеством пар $(x, f(x))$, где $x\in X$.

С другой стороны, бинарные отношение можно считать обобщением понятия функция (отображение).

Далее сформулируем и докажем свойства отношения эквивалентности.

Утверждение. Отношение эквивалентности $\sim$ на множестве $X$ разбивает множество $X$ на так непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности. Любые два элемента из класса эквивалентности эквивалентны друг другу.

Доказательство.

Рассмотрим множество $[a] = \{x \in X \colon x \sim a\}$, где $a \in X$. Покажем, что множество такого вида и будут искомыми классами эквивалентности.

Каждый элемент $a \in X$ лежит в множестве такого вида, а именно $a \in [a]$, поскольку $a\sim a$ ввиду рефлексивности. Из этого также следует, что множество $[a] \ne \varnothing$.

Так как любое $[a] \subseteq X$, то можно записать, что
$$X = \bigcup_{a\in X} [a]$$.
Покажем, что множества вида $[a]$ либо не пересекаются, либо совпадают.

Сначала покажем, что если $c \in [a]$, то $[c]=[a]$. Так как $c \in [a]$, то по определению $c\sim a$ и следовательно ввиду симметричности $a\sim c$.

Если $x \in [a]$, то по определению $x \sim a$. Ввиду транзитивности из $x \sim a$ и $a\sim c$ следует $x \sim c$, то есть $x\in [c]$. Следовательно, $[a] \subseteq [c]$.

Если $x \in [c]$, то по определению $x \sim c$. Ввиду транзитивности из $x \sim c$ и $c\sim a$ следует $x \sim a$, то есть $x\in [a]$. Следовательно, $[c] \subseteq [a]$.

Таким образом, $[c] = [a]$.

Допустим, что множества $[a]$ и $[b]$ пересекаются, то есть содержат какой-то общий элемент $c \in [a] \cap [b]$. Тогда по доказанному $c \in [a]$ и, следовательно, $[c]=[a]$. В то же время, $c \in [b]$ и, следовательно, $[c]=[b]$. В итоге $[a]=[c]=[b]$.
30 Июл 2018 15:57:45
Линейное пространство магических квадратов и его базисМатематика
Evgeniy

Квадратная матрица называется полумагической (полумагическим квадратом), если суммы коэффициентов в каждой строке и в каждом столбце матрицы совпадают. Если к тому же эти суммы совпадают с суммой коэффициентов главной диагонали, то матрица называется магической (магическим квадратом).

Множество полумагических и магических квадратов образуют конечномерное линейное пространство. Действительно, например, сумма магических квадратов — магический квадрат, при умножении магического квадрата на константу также получается магический квадрат. Можно найти базис этого линейного пространства и параметризовать их.

Пример 1. Для простоты сначала рассмотрим полумагические квадраты размером 2×2, в которых равны суммы элементов по столбцам и по строкам. Базис состоит из двух квадратов:
$E_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad E_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
Всякий полумагический квадрат $A$ размером 2×2 является их линейной комбинацией
$A=aE_1+bE_2 = a\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$.
Пример 2. Рассмотрим магические квадраты размером 3×3, в которых равны суммы элементов по столбцам, по строкам и по главной диагонали. Базис вроде состоит из трех квадратов:
$E_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad E_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad E_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
Всякий магический квадрат $A$ размером 3×3 является их линейной комбинацией
$A = aE_1 + bE_2 + cE_3 = a \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$.
Можно заметить, если $a+b=2c$, то квадрат будет магическим по двум диагоналям.

Подобным образом можно исследовать квадраты любых размеров.
23 Июл 2018 16:13:16
Почему группы и кольца так распространены в математикеМатематика
Evgeniy

Почему группы и кольца так распространены в математике

Интуиция подсказывает, что основные понятия, структуры, объекты в математике должны быть исключительными и математически красивыми. В математике повсюду встречаются группы и кольца, а также их частные случай и расширения — поля, линейные пространства, алгебры. Но почему именно эти структуры? Чем уникальны наборы аксиом группы и кольца? У меня есть следующие соображения.

Наверное, самая простая структура в математике — это множество. Трудно найти что-то более фундаментальное. Его основное структурное свойство — мощность. Группа естественным образом появляется как семейство биекций множества $X$ в себя с операцией композиция, определенной так $(f\circ g)(x)=f(g(x))$, где $x\in X$. И обратно, всякая группа является множеством биекций некоторого множества в себя. Биекции сохраняют мощность множества. Можно сказать, что группа — это семейство преобразований множества, которое сохраняет его основное структурное свойство — мощность.

В свою очередь, всякое кольцо является кольцом автоморфизмов (изоморфизмов в себя) некоторой коммутативной (абелевой) аддитивной группы $(G,+)$. А именно, кольцевое произведение — это композиция автоморфизмов группы $(a \circ b)(g)=a(b(g))$, где $g\in G$, а кольцевое сложение — сумма автоморфизмов $(a\oplus b)(g)=a(g)+b(g)$, где $g\in G$. Можно проверить, что множество автоморфизмов с такими операциями удовлетворяет аксиомам кольца. Можно сказать, что кольцо — это семейство преобразований группы, которое сохраняет основное структурное свойство группы — ее операцию.

Можно спросить, почему рассматривают автоморфизмы только коммутативных группы. Дело в том, что если в кольце есть есть единица $e$ (в данном случае она есть, потому что всегда есть тождественный автоморфизм), то коммутативность сложения получается автоматически. Действительно, с одной стороны $(e+e)(a+b) = (e+e)a + (e+e)b = a+a+b+b$. С другой стороны, $(e+e)(a+b) = e(a+b) + e(a+b) = a+b+a+b$. Прибавляя слева $(-a)$, а справа $(-b)$, получим $a+b=b+a$.

Таким образом, каждая следующая структура возникает как семейство преобразований предыдущей, которые сохраняют ее основные структурные свойства.
8 Июл 2018 15:34:41
Вопросы по LaTeXРазное
Evgeniy

Если название раздела не нужно добавлять в содержание, то

\section*{Название раздела}

Если нужно добавить название добавлять в содержание, то

\section*{Название раздела}
\addcontentsline{toc}{section}{Название раздела}


или определить команду

\newcommand{\sectionnonum}[1]{\section*{#1}\addcontentsline{toc}{section}{#1}}

и использовать ее так

\sectionnonum{Название раздела}
|1|2|3|4|5|…|21| >>>