x, y, z

Поиск сообщений на форуме

Запрос:
Автор:
Номер темы:
Номер форума:
Сортировать:
Сообщения: 136
|1|2|3|4|5|…|14| >>>
Разные размерностиМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
8 Авг 2019 01:45:19
Math

Разные размерности

Что такое размерность фигуры, то есть, грубо говоря, сколько нужно параметров, чтобы точно задать положение любой точки в этой фигуре, — вопрос отнюдь не простой, хотя интуитивно может и казаться понятным, что это такое. Математики, естественно, размышляли над ним и придумали несколько разных определений, которые в некоторых случаях могут даже давать разные численные результаты применительно к одной и той же фигуре. Это, как ни странно, вовсе не означает, что в математике что-то не так, а, наоборот, позволяет при помощи разных подходов изучать разные объекты.

Классическое определение звучит следующим образом: (топологической) размерностью (или размерностью Лебега) фигуры $F$ называется наименьшее целое число $n$, обладающее тем свойством, что при любом $\varepsilon > 0$ существует конечный набор шаров радиуса не больше $\varepsilon$, покрывающих фигуру $F$ так, что любая точка из $F$ принадлежит не более чем $(n + 1)$ шару. Предполагается, что шары не содержат свою границу; для плоских фигур вместо шаров можно взять круги. Например, отрезок является одномерной фигурой, потому что его можно покрыть кругами так, как показано на рис. 1: каждая точка содержится не более, чем в двух различных кругах, причем это свойство не зависит от их размера, то есть можно указать покрытие кругами любого меньшего (сколь угодно малого) размера, обладающее тем же самым свойством. Контрольный вопрос: чему равна топологическая размерность окружности?

Рис. 1. Покрытия отрезка кругами разных радиусов
Рис. 1. Покрытия отрезка кругами разных радиусов

Однако описанный выше способ — не единственный подход к определению размерности. Говорят, что фигура $F$ имеет фрактальную размерность $d$, если при разбиении ее на кусочки, каждый из которых в $k$ раз меньше исходной фигуры, оказывается, что общее число кусочков равно $k^d$. Например, отрезок является одномерной фигурой, потому что если разбить отрезок длины $1$ на отрезочки длины $1/3$, то общее количество таких отрезочков будет $3^1 = 3$, а если на отрезочки длины $1/10$, то $10^1 = 10$ (и так далее для любого числа отрезочков). Точно так же, квадрат — фигура двумерная, ведь если разбить квадрат со стороной $1$ на квадратики со стороной $1/3$, то общее количество таких квадратиков будет $3^2 = 9$, а если на квадратики со стороной $1/10$, то $10^2 = 100$ (и так далее).

Для большинства привычных фигур топологическая и фрактальная размерности совпадают (то есть $n = d$). Однако для некоторых фигур это оказывается не так: тогда как топологическая размерность всегда является целым числом, их фрактальная размерность получается дробной. Типичный пример таких фигур — собственно, фракталы.

Задача

Рассмотрим довольно известный фрактал ковер Серпинского. Он строится итеративно следующим образом. В качестве начального объекта берется квадрат. На первом шаге нужно мысленно разбить этот квадрат на 9 одинаковых квадратов, а затем (уже не мысленно, а вполне реально) удалить центральный из них. Затем, на втором шаге, каждый из оставшихся восьми квадратов также надо мысленно разделить на 9 квадратиков, после чего удалить центральный (рис. 2). На третьем шаге мы проводим ту же самую операцию с каждым из 64 оставшихся квадратиков и так далее. То, что останется в итоге после завершения этой бесконечной процедуры (то есть точки, которые принадлежат всем получающимся в процессе фигурам) и называется ковром Серпинского.

Рис. 2. Первые шаги построения ковра Серпинского
Рис. 2. Первые шаги построения ковра Серпинского

а) Покажите, что топологическая размерность квадрата (с внутренностью) равна 2.

б) Проверьте, что топологическая размерность ковра Серпинского равна 1. Чему равна его фрактальная размерность?




Хайгар Нурлигареев
«Элементы»
Раскрасить грани кубаМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
18 Янв 2019 20:16:54
Math

Раскрасить грани куба

Куб

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного куба, если в наличии есть три цвета? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями куба. Грань красится в один цвет.
Сколькими способами можно раскрасить грани правильного тетраэдра?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
17 Янв 2019 20:49:39
Math

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного тетраэдра?

Правильный тетраэдр

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного тетраэдра, если в наличии есть три цвета? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями тетраэдра. Грань красится в один цвет.
Квадратная таблица n×n заполнена целыми числамиМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
21 Дек 2018 16:50:52
Math

Квадратная таблица n×n заполнена целыми числами

Квадратная таблица n×n заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся одно от другого, не больше чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице не менее, чем n раз.
К произведению трёх последовательных простых чисел прибавили целую степень числа 2, и сумму удвоилиМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
6 Окт 2018 11:41:51
Math

К произведению трёх последовательных простых чисел прибавили целую степень числа 2, и сумму удвоили

К произведению трёх последовательных простых чисел прибавили целую степень числа 2, и сумму удвоили. Могло ли получиться число 2018? Ответ обосновать.
Какое наибольшее число дней Петю могут хвалить?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
6 Окт 2018 11:18:49
Math

Какое наибольшее число дней Петю могут хвалить?

У Пети в школе всего три предмета — математика, физика и информатика. Школа работает без выходных и праздников, и каждый день Петя получает одну оценку (2,3,4 или 5) по каждому предмету. Родители хвалят Петю, если по большинству предметов сегодня оценки лучше, чем вчера. Какое наибольшее количество дней подряд Петю могут хвалить?

https://i.imgur.com/JbCuFT5.jpg
Кто победит при правильной игре?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
6 Окт 2018 11:09:36
Math

Кто победит при правильной игре?

На столе лежат 1000 монет. Буратино, Лиса Алиса и Кот Базилио по очереди берут со стола по несколько монет — одну, три или пять. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю монету. Кто победит при правильной игре (каждый хочет победить и выбирает для этого лучшую стратегию)?

https://i.imgur.com/EZ81AoF.jpg
Сколько было ничьих?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Занимательные задачи и головоломки
6 Окт 2018 10:54:01
Math

Сколько было ничьих?

Команды «Математики», «Физики» и «Программисты» сыграли в футбол 2018 матчей. В каждом матче принимают участие две команды из трех. За выигрыш команда получает 3 очка, за ничью 1 очко, за проигрыш ничего. Все три команды в сумме набрали 5900 очков. Сколько было ничьих?
Определенный интеграл. Где ошибка?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Занимательные задачи и головоломки
6 Окт 2018 08:08:56
Math

Определенный интеграл. Где ошибка?


Видео проекта Панматематика от группы Математика – Просто
Комплексные экспонента и логарифм. Где ошибка?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Занимательные задачи и головоломки
6 Окт 2018 08:07:29
Math

Комплексные экспонента и логарифм. Где ошибка?


Видео проекта Панматематика от группы Математика – Просто
|1|2|3|4|5|…|14| >>>