x, y, z

Поиск сообщений на форуме [5]

Запрос:
Автор:
Номер темы:
Номер форума:
Сортировать:
Сообщения: 217
<<< |1|2|3|4|5|6|7|8|9|…|22| >>>
Помогите решить тригонометрические уравненияМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
7 Дек 2016 04:17:32
Evgeniy

a) Для преобразования выражения два раз используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x \cos x$.

$4\cos x \cos 2x \sin x = 2\sin 2x \cos 2x = \sin 4x = 1$.

$\sin 4x = 1 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{2} n$.

b) Для преобразования выражения два раз используем формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos \frac{x+y}{2}$.

$\sin 5x - \sin 3x = 2\sin\frac{5x-3x}{2}\cos \frac{5x+3x}{2} = 2\sin x\cos 4x = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Таким образом, получаем систему:

$\left[ \begin{aligned} \sin x=0 \\ \cos 4x=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} x = \pi k \\ 4x= \frac{\pi}{2} + \pi n \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} x = \pi k \\ x= \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} n \end{aligned} \right.$.
Российские школы по-прежнему дают хорошее матобразование, подтвердило международное исследованиеМатематика
3 Дек 2016 17:01:25
Evgeniy

Российские школы по-прежнему дают хорошее матобразование, подтвердило международное исследование


Как сравнить, в какой стране мира лучше преподают историю в школе? Наверное, никак. В России школьники должны знать, кто такой Киров или Микоян. Не уверен, что еще есть страны, где это актуально. И такие особенности есть у каждой страны. Впрочем, и античную историю везде преподают по-разному и в разных объемах. Где еще детям могут дать почитать Гаспарова в школе? Судя по свидетельствам украинских знакомых, даже там опираются на другие источники.

Гораздо проще дело обстоит с математикой. «Ким упаковывает яйца в коробки. В каждую коробку помещается по 6 яиц. А всего у нее 94 яйца. Какое наименьшее число коробок ей нужно, чтобы упаковать все яйца?» Такие задачи решали школьники (конкретно эту – восьмиклассники) в нескольких десятках стран в рамках исследования математической грамотности, проведенного бостонским Международным центром образования. Исследователи пытались оценить, насколько хорошо школьники разных стран владеют числами, умеют решать алгебраические и геометрические задачи и понимают, как работать с данными и вероятностями. Аналогичное исследование математических знаний было проведено среди учеников четвертых классов и среди учеников специализированных математических школ или классов.

Исследование подтвердило, что школьное математическое образование в России – одно из лучших в мире. В мировом рейтинге восьмиклассников российские школьники заняли 6-е место, опередив весь западный мир с приличным отрывом. Обошли Россию только Сингапур (лидер рейтинга), Корея, Тайвань, Гонконг и Япония.

Похожая ситуация и с четвероклассниками, только между нами и ведущими азиатскими странами затесалась Северная Ирландия.

Интересно, что на уровне 4-го класса никакой разницы между навыками российских мальчиков и девочек нет, а вот в 8-м классе – есть, и очень значительная: мальчики далеко впереди.

Российские матшколы тоже подтвердили свой традиционно высокий научный уровень: в рейтинге продвинутой математики российские школьники – та их часть, что уделяет предмету не меньше шести учебных часов в неделю, – заняли 1-е место. Те школьники, которые учат математику 4,5 часа в неделю, пропустили вперед ливанцев и находятся на одном уровне с американцами, выбравшими математическую специализацию.

Справедливости ради надо сказать, что в соревновании продвинутых математических программ азиатские школьники не участвуют. Тем не менее это не отменяет наших достижений. Если у нас с чем-то хорошо, так это с математикой. Которой не мешает ни идеология, ни отсутствие хороших педагогических вузов, ни министры образования.

Андрей Панов
1.12.2016
Ведомости
Афоризмы, пословицы и поговорки на латинском языкеРазное
26 Ноя 2016 19:21:36
Evgeniy

Мультфильм «Икар и мудрецы», 1976

Афоризмы, пословицы и поговорки на латинском языкеРазное
26 Ноя 2016 19:12:08
Evgeniy

Афоризмы, пословицы и поговорки на латинском языке

Афоризмы на латинском языке

  1. Scientia potentia est. Знание — сила.
  2. Vita brevis, ars longa. Жизнь коротка, искусство — вечно.
  3. Volens — nolens. Волей — неволей.
  4. Historia est magistra vita. История — учительница жизни.
  5. Dum spiro, spero. Пока дышу — надеюсь.
  6. Per aspera ad astra! Через тернии — к звездам
  7. Terra incognita. Неизвестная земля.
  8. Homo sapiens. Человек разумный.
  9. Sina era est studio. Без гнева и пристрастия
  10. Cogito ergo sum. Мыслю, следовательно существую.
  11. Non scholae sed vitae discimus. Мы учимся не для школы, а для жизни.
  12. Bis dat qui cito dat. Дважды дает тот, кто дает быстро.
  13. Clavus clavo pellitur. Клин клином вышибают.
  14. Alter ego. Второе "я".
  15. Errare humanum est. Человеку свойственно ошибаться.
  16. Repetitio est mater studiorum. Повторенье — мать ученья.
  17. Nomina sunt odiosa. Имена ненавистны.
  18. Otium post negotium. Отдых после дела.
  19. Mens sana in corpore sano. В здоровом теле здоровый дух.
  20. Urbi et orbi. Городу и миру.
  21. Amicus Plato, sed magis amica veritas. Платон мне друг, но истина дороже.
  22. Finis coronat opus. Конец — делу венец.
  23. Homo locum ornat, non locus hominem. Не место красит человека, а человек — место.
  24. Ad majorem Dei gloriam. К вящей славе Божией.
  25. Una hirundo ver non facit. Одна ласточка весны не делает.
  26. Citius, altius, fortius. Быстрее, выше, сильнее.
  27. Sic transit gloria mundi. Так проходит земная слава.
  28. Aurora Musis amica. Аврора — подруга музам.
  29. Tempora mutantur et nos mutamur in illis. Времена меняются, и мы меняемся вместе с ними.
  30. Non multa, sed multum. Не много, но о многом.
  31. E fructu arbor cognoscitur. Дерево узнается по плоду.
  32. Veni, vidi, vici. Пришел, увидел, победил.
  33. Post scriptum. После написанного.
  34. Alea est jacta. Жребий брошен.
  35. Dixi et animam salvavi. Я сказал это и этим спас свою душу.
  36. Nulla dies sine linea. Ни дня без строчки.
  37. Quod licet Jovi, non licet bovi. Что позволено Юпитеру, не позволено Быку.
  38. Felix, qui potuti rerum cogoscere causas. Счастлив тот, кто познал причину вещей.
  39. Si vis pacem, para bellum. Хочешь мира, готовься к войне.
  40. Cui bono? Кому на пользу?
  41. Scio me nihil scire. Я знаю, что я ничего не знаю.
  42. Nosce te ipsum! Познай самого себя!
  43. Est modus in rebus. Есть мера в вещах.
  44. Jurare in verba magistri. Клясться словами учителя.
  45. Qui tacet, consentire videtur. Молчание — знак согласия.
  46. In hoc signo vinces! Под этим знаменем победишь.(Сим победиши!)
  47. Labor recedet, bene factum non abscedet. Трудности уйдут, а благое дело останется.
  48. Non est fumus absque igne. Нет дыма без огня.
  49. Duobus certantibus tertius gaudet. Когда двое дерутся — третий радуется.
  50. Divide et impera! Разделяй и властвуй!
  51. Corda nostra laudus est. Наши сердца больны от любви.
  52. O tempora! O mores! О времена, о нравы!
  53. Homo est animal sociale. Человек есть общественное животное.
  54. Homo homini lupus est. Человек человеку — волк.
  55. Dura lex, sed lex. Закон суров, но справедлив.
  56. O sancta simplicitas! Святая простота!
  57. Hominem quaero! (Dioqines) Ищу человека! (Диоген)
  58. At Kalendas Graecas. К греческим календам(После дождичка в четверг)
  59. Quo usque Catlina, abuter patientia nostra? До каких пор, Катилина, ты будешь злоупотреблять нашим терпением?
  60. Vox populi — vox Dei. Голос народа — голос Бога.
  61. In vene veritas. Истина в вине.
  62. Qualis rex, talis grex. Каков поп, таков и приход.
  63. Qualis dominus, tales servi. Каков хозяин, таков и слуга.
  64. Si vox est — canta! Если у тебя есть голос — пой!
  65. I, pede fausto! Иди счастливой поступью!
  66. Tempus consilium dabet. Время покажет.
  67. Barba crescit, caput nescit. Волос долог, ум короток.
  68. Labores gigunt hanores. Труды порождают почести.
  69. Amicus cognoscitur in amore, more, ore, re. Друг познается в любви, нраве, речах, делах.
  70. Ecce homo! Вот человек!
  71. Homo novus. Новый человек, "выскочка".
  72. In pace litterae florunt. Во имя мира науки процветают.
  73. Fortes fortuna juiat. Фортуна помогает смелым.
  74. Carpe diem! Лови момент!
  75. Nostra victoria in concordia. Наша победа в согласии.
  76. Veritatis simplex est orato. Истинная речь проста.
  77. Nemo omnia potest scire. Никто не может знать все.
  78. Finis coronat opus. Конец — делу венец.
  79. Omnia mea mecum porto. Все свое ношу с собой.
  80. Sancta sanctorum. Святая святых.
  81. Ibi victoria ubi concordia. Там победа, где согласие.
  82. Experentia est optima magistra. Опыт есть лучший учитель.
  83. Amat victoria curam. Победа любит заботу.
  84. Vivere est cogitare. Жить значит мыслить.
  85. Epistula non erubescit. Бумага не краснеет.
  86. Festina lente! Поспешай медленней!
  87. Nota bene. Запомни хорошо.
  88. Elephantum ex musca facis. Делать из мухи слона.
  89. Ignorantia non est argumentum. Отрицание не есть доказательство.
  90. Lupus non mordet lupum. Волк волка не кусает.
  91. Vae victis! Горе побежденным!
  92. Medice, cura te ipsum! Врач, исцелись сам! (От Луки 4:17)
  93. De te fabula narratur. О тебе сказочка рассказывается.
  94. Tertium non datur. Третьего не дано.
  95. Age, quod agis. Делай, что ты делаешь.
  96. Do ut des. Даю, чтобы и ты дал.
  97. Amantes — amentes. Влюбленные безумны.
  98. Alma mater. Университет.
  99. Amor vincit omnia. Любовь побеждает все.
  100. Aut Caesar, aut nihil. Или все, или ничего.
  101. Aut — aut. Или-или.
  102. Si vis amari, ama. Если хочешь быть любимым, люби.
  103. Ab ovo ad mala. С яйца и до яблока.
  104. Timeo danaos et dona ferentes. Бойтесь данайцев, дары приносящих.
  105. Sapienti sat est. Это сказано человеком.
  106. Periculum in mora. Опасность в промедлении.
  107. O fallacem hominum spem! О обманчивая надежда человеческая!
  108. Quoandoe bonus dormitat Homerus. Иногда и добрый наш Гомер дремлет.
  109. Sponte sua sina lege По собственному побуждению.
  110. Pia desideria Благие намерения.
  111. Ave Caesar, morituri te salutant Идущие на смерть, Цезарь, приветствуют тебя!
  112. Modus vivendi Образ жизни
  113. Homo sum: humani nihil a me alienum puto. Я человек, и ничто человеческое мне не чуждо.
  114. Ne quid nimis Ничего сверх меры
  115. De qustibus et coloribus non est disputantum. На вкус и цвет товарища нет.
  116. Ira furor brevis est. Гнев есть кратковременное исступленье.
  117. Feci quod potui faciant meliora potentes Я сделал все, что мог. Кто может, пусть сделает лучше.
  118. Nescio quid majus nascitur Iliade. Рождается нечто более великое, чем Илиада.
  119. In medias res. В середину вещей, в самую суть.
  120. Non bis in idem. Достаточно и одного раза.
  121. Non sum qualis eram. Я не тот, каким был прежде.
  122. Abussus abussum invocat. Беда никогда не приходит одна.
  123. Hoc volo sic jubeo sit pro ratione voluntas. Я так велю, пусть доводом будет моя воля.
  124. Amici diem perdidi! Друзья, я потерял день.
  125. Aquilam volare doces. Учить орла летать.
  126. Vive, valeque. Живи и здравствуй.
  127. Vale et me ama. Будь и здоров и люби меня.
  128. Sic itur ad astra. Так идут к звездам.
  129. Si taces, consentus. Кто молчит, соглашается.
  130. Littera scripta manet. Написанное остается.
  131. Ad meliora tempora. До лучших времен.
  132. Plenus venter non studet libenter. Сытое брюхо к учению глухо.
  133. Abussus non tollit usum. Злоупотребление не отменяет употребления.
  134. Ab urbe conita. От основания города.
  135. Salus populi summa lex. Благо народа есть высший закон.
  136. Vim vi repelllere licet. Насилие позволяется отражать силой.
  137. Sero (tarle) venientibus — ossa. Поздно приходящим достаются кости.
  138. Lupus in fabula. Легок на помине.
  139. Acta est fabula. Представление окончено. (Финита ля комедия!)
  140. Legem brevem esse oportet. Закон должен быть кратким.
  141. Lectori benevolo salutem. (L.B.S.) Привет благосклонному читателю.
  142. Aegri somnia. Сновидения больного.
  143. Abo in pace. Иди с миром.
  144. Absit invidia verbo. Да не осудят меня за эти слова.
  145. Abstractum pro concreto. Абстрактное вместо конкретного.
  146. Acceptissima semper munera sunt, auctor quae pretiosa facit. Лучше всего те подарки, ценность которых в самом дарителе.
  147. Ad impossibilia nemo obligatur. К невозможному никого не обязывают.
  148. Ad libitum. По желанию.
  149. Ad narrandum, non ad probandum. Для того, чтобы рассказать, а не доказать.
  150. Ad notam. К сведению.
  151. Ad personam. Лично.
  152. Advocatus Dei (Diavoli) Адвокат Бога. (Дьявола).
  153. Aeterna urbs. Вечный город.
  154. Aquila non captat muscas. Орел не ловит мух.
  155. Confiteor solum hoc tibi. Исповедуюсь в этом только тебе.
  156. Cras amet, qui nunquam amavit quique amavit cras amet. Пусть завтра полюбит тот, кто никогда не любил, а тот кто любил, пусть завтра полюбит.
  157. Credo, quia verum (absurdum). Верю, ибо это истина (это абсурдно).
  158. Bene placito. По доброй воле.
  159. Cantus cycneus. Лебединая песня.
Цитаты о роли математики и её связях с практикойМатематика
19 Сен 2016 15:12:53
Evgeniy

Цитаты о роли математики и её связях с практикой

Мысли о роли математики и её связях с практикой, принадлежащие некоторым видным учёным.

... совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. ... Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счёту, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития. Как понятие числа, так и понятие фигуры, заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определённую форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть весьма реальный материал... Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто совершенно безразличное; таким путём мы получаем точки, лишённые измерений, линии, лишённые толщины и ширины, разные a и b, x и y, постоянные и переменные величины, и только в самом конце мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума — до мнимых величин.

Ф. Энгельс

Построения математического ума являются одновременно и свободными, и необходимыми. Отдельный математик свободен определять свои понятия и устанавливать свои аксиомы как ему угодно. Но вопрос: заинтересует ли он своих коллег-математиков продуктами своего воображения? Мы не можем не чувствовать, что некоторые математические структуры, развившиеся благодаря усилиям многих учёных, несут печать необходимости, которая не затрагивается случайностями их исторического появления. Каждый, кто созерцает зрелище современной алгебры, будет поражён этой взаимодополнительностью свободы и необходимости.

Г. Beйль

Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.

Н. И. Лобачевский

Природа воплощает в себе то, на чём теоретически основана математика.

Р. Декарт

Математика, подобно жёрнову, перемалывает то, что под неё засыпают, и, как засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных посылок.

Т. Гексли

... измерение величин является отправным пунктом всех применений математики.

А. Лебег

... природа формулирует свои законы языком математики.

Г. Галилей

Математика — это наука о связи величин.

Г. Грассман

... геометрия основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения.

И. Ньютон

Достоверность математики является тем её преимуществом, которым она обязана главным образом простоте своего предмета. Более того, нужно признать, что поскольку не все отделы математики имеют одинаковый по простоте предмет, постольку и достоверность в собственном смысле слова, — достоверность, основывающаяся на принципах, являющихся необходимо истинными и очевидными сами по себе, — присуща различным её отделам не в одинаковой степени и неодинаковым образом. Многие отделы математики, опирающиеся или на физические принципы, т.е. на опытные истины, или же на простые гипотезы, обладают, так сказать, лишь достоверностью опыта или даже достоверностью чистого допущения. Строго говоря, обладающими полной очевидностью можно считать только те отделы математики, которые имеют дело с исчислением величин и с общими свойствами пространства: таковы алгебра, геометрия и механика. Даже и здесь, в степени ясности, которую наш ум находит в этих науках, можно заметить своего рода градацию и, если можно так выразиться, те или иные оттенки. Чем шире тот предмет, который ими охватывается и чем более обща и абстрактна та форма, в которой она в них рассматривается, тем больше их принципы избавлены от неясностей и тем более они доступны для понимания. Именно по этой причине геометрия проще механики, а они обе менее просты, чем алгебра.

Ж. Даламбер

Не может быть языка более всеобъемлющего, чем аналитические уравнения, и более простого, лишённого ошибок и неясностей, т.е. более достойного для выражения неизменных соотношений реального мира.

Ж. Фурье

Существует ещё одна причина высокой репутации математики: именно математика даёт точным естественным наукам определённую меру уверенности в выводах, достичь которой без математики они не могут.

А. Эйнштейн

Математика — это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлечёнными понятиями любого вида, и в этой области нет предела её могуществу.

П. Дирак

Нет никакого сомнения в том, что единственный способ, который с успехом может применяться в естественных науках, состоит в наблюдении фактов и в подчинении наблюдений вычислениям. Но было бы большим заблуждением допустить, что достоверность заключается только в геометрических доказательствах и в указаниях наших чувств ... Будем поэтому усердно разрабатывать математические науки, не стремясь распространить их значения за естественные пределы, не будем увлекаться решением исторических вопросов посредством формул и искать нравственных оснований в теоремах алгебры или интегрального исчисления.

О. Коши

Ничто не может быть простее того понятия, которое служит основанием Арифметике. Мы познаём легко, что всё в природе подлежит измерению, всё может быть сосчитано.

Н. И. Лобачевский

Оценка математической теории определяется не только её правильностью. Она зависит также от важности предмета и области применений. За пределами этого должно быть ещё место свободным суждениям человека.

Дж. Буль

... к области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звёзды или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера.

Р. Декарт

Математика является вполне живой наукой, которая беспрестанно включает в себя всё новые проблемы, обрабатывает их, отбрасывает устаревшие, и, таким образом, она всё вновь и вновь омолаживается.

Ф. Клейн

В её строго логической форме математическая дисциплина принимает столь искусственный характер, что ставит в тупик любого. Забываются исторические истоки, мы видим, как вопросы могут быть разрешены, но перестаём понимать, как и почему они были поставлены.

А. Пуанкаре

Тяжкий жребий — писать в наши дни математические книги... Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках теорем, пояснениях, доказательствах и следствиях, то книгу нельзя считать математической. Если неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги становится весьма затруднительным.

И. Кеплер

... между математикой и естественными науками должны быть установлены более глубокие взаимоотношения, чем те, которые имели бы место, если бы, например, физика видела в математике лишь вспомогательную дисциплину, пусть даже необходимую, а математика рассматривала вопросы, выдвигаемые физиками, только как обильное собрание примеров для своих методов.

... На вопрос ... можно ли действительно получить что-либо непосредственно применимое из тех абстрактных теорий, которыми предпочтительно занимаются теперешние математики? — я могу ответить, что греческие математики изучили свойства конических сечений чисто умозрительным путём задолго до того, как кто-либо мог предугадать, что эти кривые представляют собой пути, по которым движутся планеты, и я верю, что будет найдено ещё много функций с такими свойствами, как, например, знаменитые тета-функции Якоби, с помощью которых можно, с одной стороны, узнать, на сколько квадратов разлагается любое заданное число, которые позволяют спрямить дугу эллипса, и, с другой стороны, дают возможность найти истинный закон колебаний маятника.

К. Вейерштрасс

Математические идеи возникают из опыта, хотя их генеалогия порой оказывается длинной и тёмной. Но после того как они сформировались, они начинают жить своеобразной собственной жизнью. При этом предмет математики можно сравнить скорее с творческой дисциплиной, подлежащей почти исключительно эстетическим обоснованиям, но ни в коем случае не с эмпирической наукой... Так как математическая дисциплина далеко уходит от своих эмпирических истоков ... её подстерегают очень серьёзные опасности. Она становится всё более эстетической, всё более приближается к чистому искусству для искусства. Всё это не так страшно, если данная область окружена взаимозависимыми структурами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если на эту дисциплину оказывают влияние люди с исключительно хорошо развитым вкусом. Однако существует серьёзная опасность, что данный предмет в процессе своего развития вступит на путь наименьшего сопротивления, что поток, столь далеко унёсшийся от своего источника, разольётся на множество мелких ручьёв и превратится в беспорядочное множество запутанных частностей. Другими словами, если область математики слишком удалилась от своего эмпирического источника или же подвергается усиленному «абстрактному» близкородственному скрещиванию, возникает опасность вырождения. Сначала, как правило, имеет место классический стиль. Однако, как только появляются признаки барокко, промедление становится опасным... Если мы достигли этого этапа, единственное лекарство — это возвращение к истокам, т.е. новое приближение к более или менее явно эмпирическим идеям. Я уверен, что в прошлом это было необходимым условием сохранения свежести и жизненной силы математики и что то же ожидает нас в будущем.

Дж. фон Нейман

Роль математики в различных областях человеческой деятельности и в разное время было существенно различной. Она складывалась исторически, и существенное влияние на неё оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его наиболее существенные черты и свойства на языке математических понятий и уравнений, или, как теперь принято говорить, возможность построить «математическую модель» изучаемого объекта.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, не тождественна объекту, а является его приближённым отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведёт себя объект в различных условиях, т.е. спрогнозировать результаты будущих наблюдений.

А. Н. Тихонов и Д. П. Костомаров

Без интуиции молодой ум не сможет продвинуться в понимании математики, он не сможет полюбить её и найдёт в ней лишь пустой набор логических упражнений, и прежде всего без интуиции он никогда не сможет применять математику.

А. Пуанкаре

Ни одно открытие не было сделано в математике с помощью усилий дедуктивной логики; они являются результатом творческого воображения, которое подсказывает, что кажется истинным, ведёт иногда путём аналогий, иногда благодаря эстетическому идеалу, но не основано на твёрдом логическом фундаменте. Лишь когда открытие сделано, вмешивается логика для проведения контроля; она окончательно удостоверяет, истинно или иллюзорно открытие; её роль, таким образом, лишь вспомогательная.

А. Лебег

Чистая математика обладает нечеловеческим свойством звёздного света — сверкающего, яркого, но холодного.

Г. Beйль

Современная математика предпочитает характеризовать свой предмет как изучение общих абстрактных систем, каждая из которых построена из специфических абстрактных элементов и структурирована наличием произвольных, но недвусмысленных специализированных связей между ними.

М. Стоун

Некоторые математики мыслят абстракциями; математические идеи нуждаются в прогрессирующем абстрактном рафинировании, аксиоматизации, кристаллизации... Однако основные трудности в математике исчезают, если учесть, что математические понятия являются описанием некоторой вещественной реальности.

Жизненные соки нашей науки поступают в неё из корней; эти корни уходят своими бесчисленными разветвлениями в то, что можно назвать реальностью, т.е. в механику, физику, биологические формы, экономическое поведение, геодезию ... Абстракция и обобщения не более жизненны для математики, чем индивидуальность феномена и, прежде всего, чем индуктивность интуиции. Только взаимодействие между этими силами и их синтез может сохранить математику живой и не дать ей превратиться в высохший скелет... Мы должны отвергнуть богохульную бессмыслицу, что последним оправданием математики является «слава человеческого разума».

Р. Курант

При помощи логики никто ничего не открывает; силлогизм может только приводить других к признанию той или другой, уже заранее известной истины, но как орудие изобретения бессилен. Математик иногда наперёд высказывает весьма сложное положение, совершенно не очевидное и затем начинает доказывать его. В изобретении чуть ли не каждого шага доказательства играет роль не логика, а интуиция, которая идёт поверх всякой логики.

В. А. Стеклов

... всякой аксиоматической обработке математического материала должно предшествовать конкретное, я бы сказал наивное овладение им.

П. С. Александров

Огромное большинство чисто логических сущностей и понятий, встречающихся на путях логического порядка обычно бесполезны и не могут оказать никакого влияния на прогресс науки.

Н. Н. Лузин

... чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишённому натуры, модели — его творческая сила быстро бы иссякла.

А. Пуанкаре
Основные философские понятий, которые должны быть знакомы каждомуФилософия
8 Сен 2016 01:12:38
Evgeniy

Основные философские понятий, которые должны быть знакомы каждому

Теория идей Платона

Платон был первым, кто отделил «мир вещей» от «мира идей». Идея (эйдос) по Платону — это исток вещи, ее прообраз, лежащий в основе конкретного предмета. Присутствующая в нашем сознании, к примеру, «идея стола» может либо совпасть с конкретным столом в действительности, либо не совпасть, но «идея стола» и «конкретный стол» по прежнему продолжат существовать в сознании раздельно. Яркой иллюстрацией разделения мира на идейный мир и мир предметный является знаменитый платоновский миф о пещере, в которой люди видят не предметы и других людей, а только их тени на стене пещеры. Пещера для Платона является аллегорией нашего мира, где люди живут, полагая, что тени на стенах пещер — единственный способ познания реальности. Однако на деле тени — всего лишь иллюзия, но иллюзия, из–за которой человек не в состоянии отказаться из–за своей неспособности поставить критический вопрос о существовании реальности и перебороть свое «ложное сознание». Развивая платоновские идеи, философы более позднего времени дошли до концепции трансцендентного и «вещи-в-себе».

Интроспекция

Интроспекция (от лат. introspecto — смотрю внутрь) — способ самопознания, в ходе которого человек наблюдает за своей внутренней реакцией на события внешнего мира. Интроспекция — это фундаментальная потребность человека, позволяющая ему тщательно изучать самого себя, объяснять себе, почему он верит в то, во что верит, и есть ли возможность того, что его вера ошибочна. Основоположником метода считается британский педагог и философ Джон Локк, который, опираясь на идеи Рене Декарта, указал, что существует лишь два прямых источника всех знаний: объекты внешнего мира и разум человека. В связи с этим все значимые психологические факты сознания открыты для изучения только самому субъекту познания — вполне может быть, что «синий цвет» для одного человека — совсем не то же самое, что «синий цвет» для другого.

Метод интроспекции помогает отслеживать стадии мышления, расчленяя чувства на элементы и предоставляя полную картину взаимосвязи мыслей и действий. Интроспекция учит мыслить абстрактнее и шире, к примеру воспринимать «большое красное яблоко», как «ощущение красного, сменяющееся впечатлением круглого, одновременно с которым возникает легкое щекотание в языке, по-видимому, след вкусового ощущения». Но не стоит слишком углубляться в интроспекцию — чрезмерная сосредоточенность на отслеживании собственных впечатлений притупляет восприятие реальности.

Солипсизм

Солипсизм (от лат. solus — «единственный» и ipse — «сам») — философская концепция, по которой человек признает в качестве единственной существующей и всегда доступной для его вмешательства реальности лишь собственный разум. «Нет бога, нет вселенной, нет жизни, нет человечества, нет рая, нет ада. Все это только сон, замысловатый дурацкий сон. Нет ничего, кроме тебя. А ты только мысль, блуждающая мысль, бесцельная мысль, бездомная мысль, потерявшаяся в вечном пространстве» — так формулирует основной посыл солипсизма Марк Твен в своем рассказе «Таинственный незнакомец». Эту же идею, в целом, иллюстрируют киноленты «Господин Никто», «Начало» и «Матрица».

Логическое обоснование солипсизма — то, что человеку доступно лишь его восприятие действительности и его мысли, тогда как весь внешний мир находится за гранью достоверности. Существование вещей для человека всегда будет лишь предметом веры, не более, так как если кто-то потребует доказательств их существования, человек не сможет их предоставить. Иначе говоря, ни один человек не может быть уверен в существовании чего-либо вне его сознания. Солипсизм — это не столько сомнение в существовании реальности, сколько признание первичности роли собственного разума. Концепт солипсизма либо необходимо усвоить таковым, какой он есть, либо принять «солипсизм наоборот», то есть дать себе рациональное объяснение относительного внешнего мира и обосновать для самого себя, почему этот внешний мир все же существует.

Теодицея

Если мир создан по какому-то высшему замыслу, почему в нем столько абсурда и страдания? Большинство верующих рано или поздно начинают задаваться этим вопросом. На помощь отчаявшимся приходит теодицея (от греч. θεός, «бог, божество» + греч. δίκη, «право, справедливость») — религиозно-философская концепция, согласно которой Бог безоговорочно признается абсолютным добром, с которого снимается любая ответственность за наличие зла в мире. Это учение было создано Лейбницем для того, чтобы условно «оправдать» Бога. Главный вопрос этой концепции: «почему Бог не желает избавить мир от несчастий?» Варианты ответов свелись к четырем: либо бог хочет избавить мир от зла, но не может, либо может, но не хочет, либо не может и не хочет, либо и может, и хочет. Первые три варианта не соотносятся с представлением о Боге как Абсолюте, а последний вариант не объясняет наличие зла в мире.

Проблема теодицеи возникает в любой монотеистической религии, где ответственность за зло в мире теоретически должна была бы возлагаться на Бога. На практике же возложение ответственности на Бога не представляется возможным, так как Бог признается религиями своеобразным Идеалом, имеющим право на презумпцию невиновности. Одной из основных идей теодицеи является идея, что мир, сотворенный Богом, априори есть самый лучший из всех возможных миров, а, значит, и в нем собрано лишь самое лучшее, и наличие зла в этом мире рассматривается лишь как последствие необходимости в этическом разнообразии. Признавать теодицею или нет — личное дело каждого, но изучить эту концепцию, безусловно, стоит.

Моральный релятивизм

Жизнь была бы гораздо проще, если бы добро и зло были фиксированными, абсолютными понятиями — но часто мы сталкиваемся с тем, что то, что является добром в одной ситуации, может оказаться злом в другой. Становясь менее категоричными относительно того, что такое хорошо и что такое плохо, мы приближаемся к моральному релятивизму — этическому принципу, отрицающему дихотомическое разделение понятий «добро» и «зло» и не признающему наличие обязательных нравственных норм и категорий. Моральный релятивизм, в отличие от морального абсолютизма, не считает, что существуют абсолютные универсальные моральные стандарты и принципы. Не мораль главенствует над ситуацией, а ситуация над моралью, то есть важен не просто факт какого-то действия, а его контекст.

Философская доктрина «вседозволенности» признает за каждым индивидом право на формирование собственной системы ценностей и собственного представления о категориях добра и зла и позволяет утверждать, что мораль, в сущности, понятие относительное. Вопрос в том, до чего додумается конкретный человек, взяв на вооружение такую концепцию, — знаменитый девиз Раскольникова, «тварь я дрожащая, или право имею?» тоже вырос из идеи морального релятивизма.

Трактовать эту идею можно по-разному — «от ничего святого» до «не стоит слепо вгонять жизнь в узкие рамки». В любом случае спектр вопросов, которые ставит моральный релятивизм, — полезное упражнение для ума и хорошая проверка любых убеждений.

Категорический императив

Золотое правило этики — «поступай с другими так, как хотел бы, чтобы поступали с тобой» — звучит еще весомее, если сослаться на Иммануила Канта: это положение входит в его концепцию категорического императива. По этой этической концепции, человек должен поступать согласно той максиме, которая, по его мнению, могла бы стать всеобщим законом. Так же в рамках данной концепции Кант предлагает не рассматривать другого человека как средство, а относиться к нему как к конечной цели. Разумеется такой подход не избавит нас от ошибок, но решения становятся гораздо осознаннее, если думать, что каждый раз выбираешь не только за себя, но и за все человечество.

Детерминизм / индетерминизм

Размышляя о свободной воле, судьбе и предопределении, мы вступаем на поле детерминизма (лат. determinare — определять, ограничивать) — философского учения о предопределении, взаимосвязанности происходящего и о наличии у всего существующего единой причины. «Все предопределено. Все будет происходить по заданной схеме» — вот главный постулат детерминизма. Свободной воли, согласно этому учению, не существует, причем в разных трактовках детерминизма судьба человека зависит от различных факторов: либо она заранее определена Богом, либо обширной философски осмысляемой категорией «природа».

В рамках учения детерминизма никакие события не считаются случайными, а являются последствием заранее предрешенной, но неизвестной человеку цепочки событий. Детерминизм исключает веру в свободу воли, при которой вся ответственность за поступки ложится на самого человека, и заставляет личность целиком вверить свою судьбу причинности, закономерности и всевластию внешнего мира. Удобная, в общем-то, концепция — для тех, кто не хочет брать на себя ответственность за собственную жизнь. А тем, кому в рамках детерминизма слишком тесно, стоит изучить аргументы противоположной концепции — индетерминизма.

Cogito ergo sum

«Я мыслю, следовательно, я существую» — философский концепт рационалиста Рене Декарта и хорошая опора для сомневающихся во всем. Эта формула возникла при попытках найти первичную, бесспорную и абсолютную истину, на базе которой можно построить философскую концепцию абсолютного знания. Декарт ставил под сомнение все: внешний мир, свои чувства, Бога, общественное мнение. Единственное, что не удалось поставить под сомнение, — это собственное существование, так как сам процесс сомнения в собственном существовании, являлся доказательством этого существования. Отсюда появилась формула: «Я сомневаюсь, значит, мыслю; я мыслю, значит, существую», преобразившаяся в «Я мыслю, следовательно, я существую» — эта фраза стала метафизической основой философии Нового времени. Она провозгласила главенствующее положение Субъекта, вокруг которого и стало возможным выстроить достоверное познание.

Смерть Бога по Ницше

«Бог умер! Бог не воскреснет! И мы его убили! Как утешимся мы, убийцы из убийц! Самое святое и могущественное Существо, какое только было в мире, истекло кровью под нашими ножами — кто смоет с нас эту кровь?». Тезис «Бог мертв» Ницше провозглашал, подразумевая не смерть Бога в буквальном смысле — он имел в виду, что в традиционном обществе существование Бога было фактом, он находился в единой реальности с людьми, но в эпоху модерна он перестал быть частью внешней реальности, став скорее внутренней идеей. Это вызвало кризис системы ценностей, которая раньше базировалась на христианском мировоззрении. А значит, настало время пересмотреть эту систему — собственно, этим и занимается философия и культура постмодерна.

Экзистенциальный кризис

Экзистенциальный кризис стал следствием описанного выше крушения традиционной системы ценностей — он порожден мыслью о том, что человеческое существование не имеет ни заранее заданного предназначения, ни объективного смысла. Это противоречит нашей глубочайшей потребности верить в то, что человеческая жизнь имеет ценность. Но отсутствие исходного смысла не означает потери смысла вообще — согласно концепции экзистенциализма, ценность жизни проявляется именно в том, как человек сам себя осуществляет, в сделанных им выборах и совершенных поступках.
Какова вероятность того, что треугольник ABC остроугольный?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
15 Авг 2016 13:12:45
Evgeniy

Какова вероятность того, что треугольник ABC остроугольный?

На окружности случайным образом выбрано три точки $A, B, C$. Какова вероятность того, что треугольник $ABC$ остроугольный?

Формулы LaTeX на сайтеРабота сайта
10 Авг 2016 00:25:15
Evgeniy

$%\usepackage{rotating} \fcolorbox{red}{yellow}{ \begin{turn}{20} $F(x)=\int\limits_{a}^{x}f(t)dt$ \end{turn}} %$ $%\usepackage{rotating} \begin{turn}{-20} $F(x)=\int\limits_{a}^{x}f(t)dt$ \end{turn} %$
Цитаты и афоризмы о математикеМатематика
7 Авг 2016 12:04:32
Evgeniy

Цитаты и афоризмы о математике

Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой.
(Евклид)

Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.
(Леонардо да Винчи)

Математическая истина, независимо от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же.
(Блез Паскаль)

Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом.
(Карл Вейерштрасс)

Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.
(А. Пуанкаре)

В математике нет символов для неясных мыслей.
(Анри Пуанкаре)

Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим.
(Бертран Рассел)

Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания.
(Давид Гильберт)

Математика — это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Ясно, что особенно важная роль при этом отводится придумыванию новых понятий. Запас интересных теорем в математике быстро исчерпался бы, если бы их приходилось формулировать лишь при помощи понятий, содержащихся в аксиомах.
(Юджин Пол Вигнер)

Математики похожи на французов: что бы вы ни сказали, они все переведут на собственный язык. Получится нечто противоположное.
(Иоганн Вольфганг Гете)

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней математики.
(Иммануил Кант)

Доказательство называется строгим, если таковым его считает большинство математиков.
(Моррис Клайн)

Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится математике настолько, что вконец запутается в бесконечных исключениях.
(Феликс Клейн)

Математические науки, естественные науки и гуманитарные науки могут быть названы, соответственно, науками сверхъестественными, естественными и неестественными.
(Лев Давидович Ландау)

Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием.
(Готфрид Вильгельм Лейбниц)

Женщине-католичке уже позволено избегать беременности при помощи математики, но строго-настрого запрещено прибегать к химии или физике.
(Генри Луис Менкен)

Легче найти квадратуру круга, чем перехитрить математика.
(Огастес де Морган)

Если бы я только имел теоремы! Тогда я бы мог бы достаточно легко найти доказательства.
(Бернхард Риман)

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.
(Джордж Сантаяна)

Математика может открыть определенную последовательность даже в хаосе.
(Гертруда Стайн)

Математики похожи на влюбленных — достаточно согласиться с простейшим утверждением математика, как он выведет следствие, с которым вновь прийдется согласиться, а из этого следствия — еще одно.
(Бернар Ле Бовье де Фонтенель)

Разве вы не математик? Нет. Тогда мне не о чем с вами говорить. Я разговариваю лишь с теми, кто владеет методом математического анализа.
(Анатоль Франс)

Если мы действительно что-то знаем, то мы знаем это благодаря изучению математики.
(Пьер Гассенди)

Математика похожа на мельницу: если вы засыпете в нее зерна пшеницы, то получите муку, если же засыпете отруби, отруби и получите.
(Андру Филлинг Хаксли)

Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно.
(Хуго Штейнгаус)

Легкость математики основана на возможности чисто логического ее построения, трудность, отпугивающая многих, — на невозможности иного изложения.
(Хуго Штейнгаус)

Между духом и материей посредничает математика.
(Хуго Штейнгаус)

Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.
(Альберт Эйнштейн)

Математик уже кое-что может, но, разумеется, не то, что от него хотят получить в данный момент.
(Альберт Эйнштейн)

Математика — это единственный совершенный метод водить самого себя за нос.
(Альберт Эйнштейн)

С тех пор как за теорию относительности принялись математики, я ее уже сам больше не понимаю.
(Альберт Эйнштейн)

Существует поразительная возможность овладеть предметом математически, не поняв существа дела.
(Альберт Эйнштейн)

Я с дрожью ужаса отворачиваюсь от ваших несчастных проклятых функций, у которых нет производных.
(Шарль Эрмит)

Математика — самая надежная форма пророчества.
(В. Швебель)

Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется.
(И. Гете)

В математике ум исключительно занят собственными формами познавания — временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом.
(А. Шопенгауэр)
Формулы LaTeX на сайтеРабота сайта
6 Авг 2016 23:52:47
Evgeniy

Добавлен пакет mhchem

$\ce{H2SO4 + 2NaOH -> Na2SO4 + 2H2O}$

$\ce{SO4^2- + Ba^2+ -> BaSO4 v}$

$\ce{KMn^{+7}O4 + KCl^{-1} + H2SO4 -> Cl^{0}_2 + Mn^{+2}SO4 + K2SO4 + H2O}$

Есть возможность подключить пакет chemfig

$\usepackage{chemfig}\chemfig{C(-[:0]H)(-[:90]H)(-[:180]H)(-[:270]H)}$    $\usepackage{chemfig}\chemfig{*6(=-=-=-)}$
<<< |1|2|3|4|5|6|7|8|9|…|22| >>>