x, y, z

Поиск сообщений на форуме [3]

Запрос:
Автор:
Номер темы:
Номер форума:
Сортировать:
Сообщения: 217
<<< |1|2|3|4|5|6|7|…|22| >>>
Линейное пространство магических квадратов и его базисМатематика
30 Июл 2018 15:57:45
Evgeniy

Квадратная матрица называется полумагической (полумагическим квадратом), если суммы коэффициентов в каждой строке и в каждом столбце матрицы совпадают. Если к тому же эти суммы совпадают с суммами коэффициентов по диагоналям, то матрица называется магической (магическим квадратом).

Множество полумагических и магических квадратов образуют конечномерное линейное пространство. Действительно, например, сумма магических квадратов — магический квадрат, при умножении магического квадрата на константу также получается магический квадрат. Можно найти базис этого линейного пространства и параметризовать их.

Пример 1. Для простоты сначала рассмотрим полумагические квадраты размером 2×2, в которых равны суммы элементов по столбцам и по строкам. Базис состоит из двух квадратов:
$E_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad E_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
Всякий полумагический квадрат $A$ размером 2×2 является их линейной комбинацией
$A=aE_1+bE_2 = a\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$.
Пример 2. Рассмотрим полумагические квадраты размером 3×3. Базис состоит из пяти квадратов:
$E_1=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad E_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad E_3=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix},\quad E_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad E_5=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
Всякий полумагический квадрат $A$ размером 3×3 является их линейной комбинацией
$A = aE_1 + bE_2 + cE_3 + dE_4 + sE_5 = \begin{bmatrix} a+b+c+d-s & -a-c+s & -b-d+s \\ -a-b+s & a & b \\ -c-d+s & c & d \end{bmatrix}$.
Подобным образом можно исследовать квадраты любых размеров.
Почему аксиомы группы и кольца именно такие?Математика
23 Июл 2018 16:13:16
Evgeniy

Почему аксиомы группы и кольца именно такие?

Интуиция подсказывает, что основные структуры в математике должны быть исключительными и математически красивыми. В математике повсюду встречаются группы и кольца, а также их частные случай и расширения — поля, линейные пространства, алгебры. Но почему именно эти структуры? Чем уникальны наборы аксиом группы и кольца? .

Самая основная структура в математике — это множество. Трудно найти что-то более фундаментальное. Группа естественным образом появляется как семейство биекций множества $X$ в себя с операцией композиция, определенной так $(f\circ g)(x)=f(g(x))$, где $x\in X$. И обратно, всякая группа является множеством биекций некоторого множества в себя. Можно заметить, что биекции сохраняют мощность множества. Можно сказать, что группа — это семейство преобразований множества, которое сохраняет его основное структурное свойство — мощность.

В свою очередь, всякое кольцо является кольцом эндоморфизмов (гомоморфизмов в себя) некоторой коммутативной (абелевой) группы $(G,+)$. А именно, кольцевое произведение — это композиция эндоморфизмов группы $(\psi\circ\varphi)(g)=\psi(\varphi(g))$, где $g\in G$, а кольцевое сложение — сумма эндоморфизмов $(\varphi\oplus \psi)(g)=\varphi(g)+\psi(g)$, где $g\in G$. Можно проверить, что множество эндоморфизмов с такими операциями удовлетворяет аксиомам кольца. Можно сказать, что кольцо — это семейство преобразований группы, которое сохраняет основное структурное свойство группы — ее операцию.

Можно спросить, почему рассматривают автоморфизмы только коммутативной группы. Дело в том, что если группа не коммутативная, то сумма эндоморфизмов не всегда является эндоморфизмом.

Таким образом, каждая следующая структура возникает как семейство преобразований предыдущей, которые сохраняют ее основные структурные свойства.
Вопросы по LaTeXРазное
8 Июл 2018 15:34:41
Evgeniy

Если название раздела не нужно добавлять в содержание, то

\section*{Название раздела}

Если нужно добавить название добавлять в содержание, то

\section*{Название раздела}
\addcontentsline{toc}{section}{Название раздела}


или определить команду

\newcommand{\sectionnonum}[1]{\section*{#1}\addcontentsline{toc}{section}{#1}}

и использовать ее так

\sectionnonum{Название раздела}
Как изогнуть отрезок трубы, чтобы минимум радиуса кривизны был как можно больше?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
30 Июн 2018 12:40:54
Evgeniy

Как изогнуть отрезок трубы, чтобы минимум радиуса кривизны был как можно больше?

Сантехнику надо соединить гибкой трубой две трубы, расположенные перпендикулярно друг другу. Как изогнуть гибкий отрезок трубы, чтобы минимум радиуса изгиба был как можно больше?

Как изогнуть гибкий отрезок трубы, чтобы минимум радиуса изгиба был как можно больше?
Из мужского рода в женскийЛингвистика, филология
30 Мая 2018 13:26:11
Evgeniy

Из мужского рода в женский

Посвящается памяти А. А. Зализняка

В этой задаче речь пойдёт о трёх русских существительных, очень близких друг другу по форме и по смыслу и какое-то время назад параллельно бытовавших в русском языке.

Прежде чем сформулировать условие задачи, мы предлагаем вам попытаться самостоятельно найти первого «героя» нашего сюжета, решив задачу А. А. Зализняка, впервые заданную на V Традиционной олимпиаде по лингвистике и математике в 1969 году:

Задача А. А. Зализняка

Одно из слов — дверь, горсть, тень, лошадь, постель, кровать — изменило в ходе истории свой род (однако некоторые следы того, что оно было ранее другого рода, в русском языке сохранились).

Задание: Найдите это слово. Обоснуйте свой ответ.


ВНИМАНИЕ! Не открывайте задачу ниже, не решив сначала задачу А. А. Зализняка, так как в ней содержится ответ на задачу Зализняка.






Источники:
1) Кузнецова, Ефремова 1986 — А. И. Кузнецова, Т. Ф. Ефремова. Словарь морфем русского языка. М: Русский язык, 1986.
2) СРЯ 1978 — Словарь русского языка XI–XVII вв. Вып. 5. М.: Наука, 1978.
3) Фасмер 2003 — М. Фасмер. Этимологический словарь русского языка. Т. 2. М.: Астрель, АСТ, 2003.

Светлана Переверзева
«Элементы»
26.02.2018
Супремум и инфимумМатематика
25 Мая 2018 22:48:33
Evgeniy

Супремум и инфимум

Определение

Число $a$ называется верхней границей множества $X$, если любое число $x\in X$ не превосходит $a$. Иными словами, $a$ — верхняя граница множества $X$, если $\forall x\in X\ x\le a$.

Множество называется ограниченным сверху, если оно имеет хотя бы одну верхнюю границу.

Если множество ограничено сверху, то его минимальная верхняя граница $s$ называется точной верхней границей, или супремумом, и обозначается $s=\sup X$.

Минимальность верхней границы $s$ означает, что ее нельзя уменьшить. Если мы уменьшим супремум $s$ на любое небольшое $\varepsilon>0$, то число $s-\varepsilon$ уже не будет верхней границей для множества $X$, то есть найдется число $x_0\in X$, для которого $s-\varepsilon$ уже не является верхней границей, то есть будет верно неравенство $x_0 > s-\varepsilon$.

$\begin{tikzpicture}[scale=2] \draw[->] (0,0) -- (4,0); \fill [red] (3,0) circle (0.6pt); \draw (3,0) node[above] {$s$}; \fill [red] (2,0) circle (0.6pt); \draw (2,0) node[above] {$x_0$}; \fill [red] (1,0) circle (0.6pt); \draw (1,0) node[above] {$s-\varepsilon$}; \end{tikzpicture}$


Определение супремума в формальной записи:

$\sup X=s$, если
1) $s$ — верхняя граница $X$, то есть $\forall x\in X\ x\le s$;
2) $s$ — минимальная верхняя граница $X$, то есть $\forall \varepsilon>0\ \exists x_0\in X \colon x_0> s-\varepsilon$.

Аналогично определяется нижняя граница и точная нижняя граница как максимум всех нижних границ.

Число $b$ называется нижней границей множества $X$, если любое число $x\in X$ не меньше $b$. Иными словами, $b$ — нижняя граница $X$, если $\forall x\in X\ x\ge b$.

Множество называется ограниченным снизу, если оно имеет хотя бы одну нижнюю границу.

Если множество ограничено снизу, то его максимальная нижняя граница $i$ называется точной нижней границей, или инфимумом, и обозначается $i=\inf X$.

Определение инфимума в формальной записи:

$\inf X=i$, если
1) $i$ — нижняя граница $X$, то есть $\forall x\in X\ x\ge i$;
2) $i$ — максимальная нижняя граница $X$, то есть $\forall \varepsilon>0\ \exists x_0\in X \colon x_0< i+\varepsilon$.

Свойства

Лемма 1. $\inf(A+B) = \inf A + \inf B$, где $A,B \subset \mathbb{R}$ и $A+B = \{a+b\colon a \in A,\; b \in B\}$.

Доказательство.

Так как $\forall a \in A \ (\inf A \le a)$ и $\forall b \in B \ (\inf B \le b)$, то $\forall a + b \in A + B \ (\inf A + \inf B \le a + b)$, а значит, число $\inf A + \inf B$ является нижней границей для множества $A + B$.

Покажем, что эта граница точная. Возьмем произвольное $\varepsilon > 0$. По определению инфимума $\exists a' \in A \ \left(a' < \inf A + \varepsilon/2 \right)$ и $\exists b' \in B \ \left(b' < \inf B + \varepsilon/2 \right)$, а значит, $a' + b' < \inf A + \inf B + \varepsilon$. Следовательно, $\forall \varepsilon > 0 \ \exists a' + b' \in A + B \ ( a' + b' < \inf A + \inf B + \varepsilon)$, то есть число $\inf A + \inf B$ является точной нижней границей множества $A + B$.

Лемма 2. $$\sup A - \inf A = \sup_{x,y\in A}|x-y|$$.

Доказательство.

Так как $\{|x-y| \colon x,y\in A\} = \{x-y \colon x,y\in A,\; x>y\}$, то $$\sup_{x,y\in A}|x-y| = \sup_{x,y\in A, \atop x>y}(x-y)$$.

Так как $\forall x\in A\ (x \le \sup A)$ и $\forall y\in A\ (y \ge \inf A)$, то $\forall x,y\in A \ (x-y \le \sup A - \inf A)$, а следовательно $\sup A - \inf A$ есть верхняя граница множества $\{x-y \colon x,y\in A,\; x>y\}$.

Покажем, что эта граница точная. Возьмем произвольное $\varepsilon > 0$. По определению супремума и инфимума $\forall \varepsilon > 0\ \exists x'\in X \ \left(x' > \sup A - \varepsilon/2 \right)$ и $\exists y'\in X \ \left(y' < \inf A + \varepsilon/2 \right)$, а значит, $x'-y' > (\sup A - \inf A) - \varepsilon$. Следовательно, $\varepsilon > 0 \ \exists x',y'\in X \ \bigl(x'-y' > (\sup A - \inf A) - \varepsilon\bigr)$, то есть число $\sup A - \inf A$ является точной верхней границей множества $\{x-y \colon x,y\in A,\; x>y\}$.
Можно ли отличить материю от информации?Философия
2 Мар 2018 15:40:50
Evgeniy

Можно ли отличить материю от информации?

Обычно реальность, физическую материю отделяют от идеального, информации, виртуального. При этом есть убеждение, что реально существует материя и только она, а все остальное это нечто несуществующие, ненастоящее, иллюзия, производное. Но если попытаться найти четкий критерий, как отличить одно от другого, то вряд ли это получится. Вспомните сюжет фильма Матрица.

Для иллюстрации даже не нужен фильм Матрица. Вся реальность, которую мы наблюдаем — это иллюзия, созданная мозгом. Объективно не существует ни твердых предметов, ни расстояния, ни цвета, ни запаха. Например, твердые предметы — это скопления частиц, которые сами представляют из себя сгустки полей. Мы ощущаем твердый стол — это значит, что сгустки поля, из которых состоит стол, передают информацию о себе сгусткам поля, из которых состоит наша рука. Цвет характеризуется длиной волны и т.д.

Материя неотличима от информации, поэтому можно все считать информацией. Материя, или информация о материальных объектах отличается тем, что эти объекты подчиняются так называемым физическим законам. Еще ее особенность в том, что мы считаем ее объективной, то есть эта информация воспринимается всеми субъектами относительно одинаково.

Материалы по теме:
1. Наша реальность состоит из полей, а мы лишь элементарные возбуждения этих полей;
2. Это не желтый.
Что такое информация?Философия
2 Мар 2018 15:38:52
Evgeniy

Что такое информация?

Передачей информации можно считать любое взаимодействие, при котором изменяется состояние. Камень упал на землю, оставил вмятину — передал информацию. Но состояние может быть интерпретировано только тогда, когда интерпретирующему в каком-то смысле известно, какие еще могли быть варианты состояний. Поэтому можно дать такое определение: информация — это зафиксированный выбор одного из возможных вариантов. И не важно, состояние чего меняется. Это может быть абстрактный 0 или 1, а может быть выключенный или включенный тумблер. Важен только факт различий, изменений. Такое определение согласуется и с теорией Шеннона, и с обыденным понятием информации. Скажем, человек смотрит на предмет, чтоб узнать его цвет. По сути происходит фиксация одного цвета из множества всех цветов.
Гипотеза Била за 1 миллион долларовМатематика
11 Янв 2018 17:26:23
Evgeniy

Генниалин писал(а):
В тексте, Гипотеза Била.. есть предложение: ...ЧТО ПРОТИВОРЕЧИТ МИНИМАЛЬНОСТИ ВЫБОРА С. Нельзя ли поподробнее узнать что это такое на примере? С уважением Генниалин. почта: nilaineg1936@bk.ru
Если существуют натуральные числа $n > 2$ и $A$, $B$, $C$ такие, что $A^n+B^n=C^n$ и у чисел $A$, $B$, $C$ есть наибольший общий делитель $d>1$, то можно перейти к тройке $A/d$, $B/d$, $C/d$, которая также удовлетворяет уравнению Ферма $(A/d)^n+(B/d)^n=(C/d)^n$. Иначе говоря, если существует удовлетворяющая уравнению Ферма тройка $A$, $B$, $C$, тогда существует тройка $A'$, $B'$, $C'$, где $C'$ взаимно просто с $\operatorname{\text{НОД}}(A',B')$. Именно это означает минимальность $C'$.
Когда x^5 = x?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
3 Янв 2018 03:07:03
Evgeniy

Когда x^5 = x?

Во многих книжках по занимательной математике, начиная с «Занимательной алгебры» Я. И. Перельмана и «Математических эссе и развлечений» У. Р. Болла, обсуждается задачка о числах, квадраты которых заканчиваются «на само число». Такие числа образуют цепочки: 52 = 25, 252 = 625, 6252 = 390625, 906252 = 8212890625 и т. д. Другая цепочка начинается с 6: 62 = 36, 762 = 5776, 3762 = 141376, 93762 = 87909376... Математики говорят, что квадратное уравнение x2 = x, кроме двух обычных корней 0 и 1, имеет еще два 10-адических корня U = ...890625 и 1 − U = ...109376, то есть каждая из приведенных выше цепочек соответствует одному 10-адическому числу — бесконечно продолжаемой влево последовательности цифр.

Замечание. Второе число не случайно обозначено 1 − U. Нетрудно убедиться, что сумма U + (1 − U) = ...890625 + ...109376 = ...000001 (последнее число — единица, перед которой записано бесконечно много нулей, — такое 10-адическое число вполне логично обозначить 1, что мы и сделали).

Наша задача посвящена другому 10-адическому уравнению — x5 = x. На обычном языке отыскание таких решений можно было бы сформулировать, например, так:

Назовем натуральное число удачным, если его пятая степень заканчивается на все цифры самого числа. Найдите все удачные натуральные числа.

Нетрудно понять, что удачными являются все однозначные числа, потому что пятая степень любого числа от 0 до 9 заканчивается на это число. Кроме того, нетрудно понять, что удачным будет число U: поскольку произведение его квадрата на него заканчивается на те же цифры, что и оно само, то отсюда выводится, что любая его степень заканчивается на них же.

Задача:

1) Найдите все двузначные удачные числа.

2) Докажите, что существует последовательность удачных чисел, заканчивающихся двойкой — V = ...186432, которую можно строить рекуррентно: v1 = 2, vn + 1 = vn5 (mod 10n+1).

3) Докажите, что все числа, образованные последними цифрами разности между U и (1 − U), то есть ...890625 − ...109376 = ...781249, являются удачными.

4) Докажите, что 10-адические числа U и V связаны соотношениями: UV = 0 (то есть произведение n-значных «хвостов» U и V заканчивается на n нулей) и U = 1 + V2. (из последнего равенства, в частности, следует возможность записать число 1 − U как −V2).

5) Докажите, что 10-адические удачные числа, заканчивающиеся на 7, равны V − U и V + U.





<<< |1|2|3|4|5|6|7|…|22| >>>