x, y, z

Поиск сообщений на форуме [2]

Запрос:
Автор:
Номер темы:
Номер форума:
Сортировать:
Сообщения: 217
<<< |1|2|3|4|5|6|…|22| >>>
Что такое o-малое и O-большоеМатематика
9 Апр 2019 15:29:52
Evgeniy

Что такое o-малое и O-большое

Определение 1. Говорят, что функция $f(x)$ есть о-малое от $g(x)$ при $x\to x_0$, записывая это как $f(x)=o(g(x))$ при $x\to x_0$, если в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\alpha(x)g(x)$, где $где \alpha(x)$ — бесконечно малая при $x\to x_0$.

Примечание. Данное определение задает целый класс функций, обладающих такими свойствами, поэтому правильнее было бы писать не $f(x)=o(g(x))$, а $f(x)\in o(g(x))$, но исторически сложилась традиция писать равенство.

Утверждение 2. $f(x)=o(g(x))$ при $x\to x_0$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon>0$ найдется окрестность $U(x_0)$ такая, что для любого $x\in U(x_0)$ верно неравенство $|f(x)|\le \varepsilon|g(x)|$.

Доказательство.

Пусть $f(x)=o(g(x))$ при $x\to x_0$ в смысле первого определения, то есть в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\alpha(x)g(x)$, где $\alpha(x)$ — бесконечно малая при $x\to x_0$. Так как $\alpha(x)$ бесконечно малая, то для любого $\varepsilon>0$ найдется окрестность $U'(x_0)\subseteq U(x_0)$ такая, что для любого $x\in U(x_0)$ верно $|\alpha(x)|<\varepsilon$, а следовательно в этой окрестности верно неравенство $|f(x)|=|\alpha(x)|\cdot|g(x)|\le \varepsilon|g(x)|$.

Обратно, пусть для любого $\varepsilon>0$ найдется окрестность $U(x_0)$ такая, что для всех $x\in U(x_0)$ верно выполняется неравенство $|f(x)|\le \varepsilon|g(x)|$. Из этого неравенство следует, что $f(x)=0$, если $g(x)=0$. Определим функцию
$\alpha(x)= \begin{cases} 0, & g(x)=0,\\ \frac{f(x)}{g(x)}, & g(x)\ne 0. \end{cases}$
Нетрудно проверить, что верно равенство $f(x)=\alpha(x)g(x)$, причем $\alpha(x)$ — бесконечно малая при $x\to x_0$.

Определение 3. Говорят, что функция $f(x)$ есть О-большое от $g(x)$ при $x\to x_0$, записывая это как $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$, если в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\beta(x)g(x)$, где $\beta(x)$ — ограниченная в $U(x_0)$.

Утверждение 4. $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$ тогда и только тогда, когда найдется окрестность $U(x_0)$ и константа $C$ такие, что для всех $x\in U(x_0)$ верно неравенство $|f(x)|\le C|g(x)|$.

Доказательство.

Пусть $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$ в смысле первого определения, то есть в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно представление $f(x)=\beta(x)g(x)$, где $\beta(x)$ — ограниченная в $U(x_0)$. Так как $\beta(x)$ ограниченная в $U(x_0)$, то найдется константа $C$ такая, что для любого $x\in U(x_0)$ верно $|\beta(x)|<C$, а следовательно в этой окрестности верно неравенство $|f(x)|=|\beta(x)|\cdot|g(x)|\le C|g(x)|$.

Обратно, пусть есть окрестность $U(x_0)$ и константа $C$ такие, что для всех $x\in U(x_0)$ верно неравенство $|f(x)|\le C|g(x)|$. Из этого неравенство следует, что $f(x)=0$, если $g(x)=0$. Определим функцию
$\beta(x)= \begin{cases} 0, & g(x)=0,\\ \frac{f(x)}{g(x)}, & g(x)\ne 0. \end{cases}$
Нетрудно проверить, что верно равенство $f(x)=\beta(x)g(x)$, причем $\beta(x)$ — ограниченная в $U(x_0)$.

Определение 5. Говорят, что функция $f(x)$ эквивалентна $g(x)$ при $x\to x_0$, записывая это как $f(x)\sim g(x)$ при $x\to x_0$, если в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\gamma(x)g(x)$, где $\gamma(x)\to 1$ при $x\to x_0$.

Примеры

$x^2=o(x)$ при $x\to 0$.

$x=o(x^2)$ при $x\to +\infty$.

$x^n=o(e^x)$ при $x\to +\infty$ (при любом $n$).

$x^2=O(2x^2+3x-1)$ при $x\to +\infty$.

$$\frac{\sin x}{x}=O\left(\frac{1}{x}\right)$$ при $x\to +\infty$.

$$\frac{\sin x}{x}\sim x$$ при $x\to 0$.

$e^x-1\sim x$ при $x\to 0$.

$\ln(x+1)\sim x$ при $x\to 0$.
По кругу записаны n≥3 натуральных чиселМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
22 Мар 2019 20:48:45
Evgeniy

По кругу записаны n≥3 натуральных чисел

По кругу записаны $n\geqslant 3$ натуральных чисел так, что для каждого числа отношение суммы его соседей к нему является натуральным числом. Докажите, что сумма всех таких отношений не меньше $2n$ и не больше $3n$.

(18-я всесоюзная олимпиада, 9 класс, Ашхабад, 1984)
В строку в возрастающем порядке выписали n различных действительных чиселМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
22 Мар 2019 20:45:55
Evgeniy

В строку в возрастающем порядке выписали n различных действительных чисел

В строку в возрастающем порядке выписали $n$ различных действительных чисел. Под ними во вторую строку выписали те же числа, только, быть может, в другом порядке. Для каждой пары чисел, выписанных одно под другим, нашли сумму. Эти суммы образовали третью строку. Оказалось, что числа в третьей строке также расположены в возрастающем порядке. Докажите, что первая строка совпадает со второй.

(18-я всесоюзная олимпиада, 10 класс, Ашхабад, 1984)
ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левееМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
24 Ноя 2018 16:59:37
Evgeniy

ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее

ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее

Натуральные числа от 1 до 1982 расположены одно за другим в некотором порядке. ЭВМ просматривает слева направо пары стоящих рядом чисел (первое и второе, второе и третье и т.д.) вплоть до последней и меняет местами числа в просматриваемой паре, если большее из них стоит левее. Затем она просматривает все пары справа налево от последней пары до первой, меняя местами числа в парах по тому же закону. По окончании этого просмотра работающий с ЭВМ оператор получил информацию, что число, стоящее на сотом месте, оба раза не сдвинулось со своего места. Найдите это число.

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
Как по параболе с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
24 Ноя 2018 16:57:21
Evgeniy

Как по параболе с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

https://pp.userapi.com/c847124/v847124579/13574b/iktzmxlNRGA.jpg

На координатной плоскости $xOy$ нарисовали график функции $y=x^2$. Потом начало координат и оси стёрли — осталась только парабола. Как с помощью циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
Расположите числа в порядке возрастанияМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
17 Окт 2018 11:11:59
Evgeniy

Расположите числа в порядке возрастания

Числа $a, b, c$ лежат на интервале $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ и удовлетворяют равенствам $\cos a = a$, $\sin \cos b = b$, $\cos \sin c = c$. Расположите эти числа в порядке возрастания.

(16-я всесоюзная олимпиада, 10 класс, Одесса, 1982)
Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Олимпиадные и нестандартные задачи
14 Окт 2018 10:52:48
Evgeniy

Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?

В числовых последовательностях $a_{n}$ и $b_{n}$ каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, причем $a_{1} = 1$, $a_{2}=2$, $b_{1} = 2$, $b_{2}=1$. Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательностях?

(16-я всесоюзная олимпиада, 8 класс, Одесса, 1982)
Помогите извлечь корень из комплексного числаМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
19 Сен 2018 17:50:25
Evgeniy

Пусть $\xi = \sqrt[n]{z}$, что равносильно $\xi^n = z$.

Представим оба числа в тригонометричсекой форме

$$$z=r(\cos \varphi + i\sin \varphi),\\ \xi=\rho(\cos \psi + i\sin \psi).$$$

Тогда по формуле Муавра получим

$$\bigl[\rho(\cos \psi + i\sin \psi)\bigr]^n = \rho^n(\cos n\psi + i\sin n\psi) = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$$,

что равносильно системе

$\left\{\begin{aligned} &\rho^n = r, \\ &n\psi = \varphi + 2\pi k, \ k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &\rho = \sqrt[n]{r}, \\ &\psi = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}, \ k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}\right.$

При $k=0,...,n-1$ получаем различные значения $\xi$.

Таким образом, если

$z=r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$,

то

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right), \ k=0,...,n-1$$.

В данном случае

$$2-2i = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$,

$$\sqrt[3]{2-2i} = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3} + i\sin \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\left(\cos \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} k\right) + i\sin \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} k\right) \right), \ k=0,...,n-1$$.
Как возвести в степень комплексное число?Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
18 Сен 2018 22:13:03
Evgeniy

Нужно представить число в тригонометрической форме и воспользоваться формулой Муавра

$$\bigl[r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\bigr]^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$$.

$$1+i = \sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$.

$$$$(1+i)^{25} = (\sqrt2)^{25}\left(\cos \frac{25\pi}{4}+i\sin \frac{25\pi}{4}\right) = 2^{12}\sqrt2\left(\cos \left(6\pi+\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(6\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right) = \\ = 2^{12}\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right) = 2^{12}(1+i). $$$$
Бинарные отношенияМатематика
4 Авг 2018 20:04:14
Evgeniy

Бинарные отношения

Бинарное отношение любви, к сожалению, не симметрично
Определение. Пусть $X, Y$ — множества. Множество упорядоченных пар $(x,y)$, где $x\in X$, $y\in Y$, называется декартовым произведением множеств и обозначается $X \times Y = \{(x,y)\colon x\in X, y\in Y\}$. Упорядоченных значит, что порядок в паре $(x,y)$ имеет значение.

Определение. Пусть $X, Y$ — множества. Бинарное отношение $\sigma$ на множествах $X$ и $Y$ задается выбором подмножества декартова произведения $M_{\sigma} \subseteq X\times Y$. Если пара $(x,y) \in M_{\sigma}$, то пишут $x\sigma y$.

Следующее определение получается из этого при $X=Y$.

Определение. Пусть $X$ — множество. Бинарное отношение на множестве $X$ задается выбором подмножества декартова произведения $M_{\sigma} \subseteq X\times X$. Если пара $(x,y) \in M_{\sigma}$, то также пишут $x\sigma y$.

Пример. Пусть $X$ — множество людей. Если $x$ влюблен в $y$, то это можно записать как бинарное отношение $x \heartsuit y$. Причем из того, что $x$ влюблен в $y$, вообще говоря, не следует, что $y$ влюблен в $x$. То есть может быть $x \heartsuit y$, но не быть $y \heartsuit x$. Важен порядок.

Некоторый элемент $x$ может ни с кем не быть в отношении $\heartsuit$. Как в качестве влюбленного (то есть не существует $z$ такого, что $x \heartsuit z$). Также в качестве того, в кого влюблены (не существует $z$ такого, что $z \heartsuit x$).

Какой-то $x$ может состоять в отношении $\heartsuit$ одновременно с несколькими. Как на первом месте ($x$ может быть влюблен сразу в нескольких людей, то есть имеет место $x \heartsuit y_1$ и $x \heartsuit y_2$). Так и на втором месте (в $x$ влюблены несколько человек: $y_1 \heartsuit x$ и $y_2 \heartsuit x$).

Также не исключено, что $x$ нарцисс и $x \heartsuit x$.

Бинарное отношение $\sigma$ на множестве $X$ может обладать различными свойствами, например:
$\forall x\in X \ x\sigma x$ — рефлексивность.
$\forall x,y\in X \ ( x\sigma y \Rightarrow y\sigma x )$ — симметричность.
$\forall x,y,z \in X \ ( x \sigma y \vee y \sigma z \Rightarrow x \sigma z)$ — транзитивность.
$\forall x,y\in X \ ( x\sigma y \vee y \sigma x \Rightarrow x=y )$ — антисимметричность.

Определение. Рефлексивное, симметричное, транзитивное бинарное отношение называют отношением эквивалентности. Обычно обозначают $x\sim y$.

Свойства отношения эквивалентности:
1) $\forall x\in X \ x\sim x$ — рефлексивность;
2) $\forall x,y\in X \ ( x\sim y \Rightarrow y\sim x )$ — симметричность;
3) $\forall x,y,z \in X \ ( x \sim y \vee y \sim z \Rightarrow x \sim z)$ — транзитивность.

Определение. Рефлексивное, антисимметричное, транзитивное бинарное отношение называют отношением порядка (частичного порядка). Обычно обозначают $x \le y$.

Свойства отношения порядка:
1) $\forall x\in X \ x \le x$ — рефлексивность;
2) $\forall x,y\in X \ ( x \le y \vee y \le x \Rightarrow x=y )$ — антисимметричность;
3) $\forall x,y,z \in X \ ( x \le y \vee y \le z \Rightarrow x \le z)$ — транзитивность.

Функцию $f\colon X \to Y$ также можно считать бинарным отношением на множествах $X$ и $Y$. Чтобы быть классической однозначной функцией, бинарное отношение $f$ должно удовлетворять следующему условию: $\forall x\in X$ найдется и единственный $y\in Y$ такой, что $x f y$. Заметим, что множество $M_f \subseteq X\times Y$ является ничем иным, как графиком функции $f$. С такой точки функция $f$ по сути задается своим графиком, или множеством пар $(x, f(x))$, где $x\in X$.

С другой стороны, бинарные отношение можно считать обобщением понятия функция (отображение).

Далее сформулируем и докажем свойства отношения эквивалентности.

Утверждение. Отношение эквивалентности $\sim$ на множестве $X$ разбивает множество $X$ на так непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности. Любые два элемента из класса эквивалентности эквивалентны друг другу.

Доказательство.

Рассмотрим множество $[a] = \{x \in X \colon x \sim a\}$, где $a \in X$. Покажем, что множество такого вида и будут искомыми классами эквивалентности.

Каждый элемент $a \in X$ лежит в множестве такого вида, а именно $a \in [a]$, поскольку $a\sim a$ ввиду рефлексивности. Из этого также следует, что множество $[a] \ne \varnothing$.

Так как любое $[a] \subseteq X$, то можно записать, что
$$X = \bigcup_{a\in X} [a]$$.
Покажем, что множества вида $[a]$ либо не пересекаются, либо совпадают.

Сначала покажем, что если $c \in [a]$, то $[c]=[a]$. Так как $c \in [a]$, то по определению $c\sim a$ и следовательно ввиду симметричности $a\sim c$.

Если $x \in [a]$, то по определению $x \sim a$. Ввиду транзитивности из $x \sim a$ и $a\sim c$ следует $x \sim c$, то есть $x\in [c]$. Следовательно, $[a] \subseteq [c]$.

Если $x \in [c]$, то по определению $x \sim c$. Ввиду транзитивности из $x \sim c$ и $c\sim a$ следует $x \sim a$, то есть $x\in [a]$. Следовательно, $[c] \subseteq [a]$.

Таким образом, $[c] = [a]$.

Допустим, что множества $[a]$ и $[b]$ пересекаются, то есть содержат какой-то общий элемент $c \in [a] \cap [b]$. Тогда по доказанному $c \in [a]$ и, следовательно, $[c]=[a]$. В то же время, $c \in [b]$ и, следовательно, $[c]=[b]$. В итоге $[a]=[c]=[b]$.
<<< |1|2|3|4|5|6|…|22| >>>