x, y, z

Поиск сообщений на форуме

Запрос:
Автор:
Номер темы:
Номер форума:
Сортировать:
Сообщения: 1
ПодгруппаМатематика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи
28 Апр 2021 12:15:52
Evgeniy

Подгруппа

Множество $G$ является группой, если на нем определена бинарная операция $*$ и при этом выполняются аксиомы:
1) $\forall x, y, z\in G \quad (x*y)*z=x*(y*z)$ {ассоциативность};
2) $\exists e\in G \ \forall x\in G \quad x*e=e*x=x$ {есть единица};
3) $\forall x\in G \ \exists x^{-1}\in G \quad x*x^{-1}=x^{-1}*x=e$ {каждый элемент множества $G$ имеет обратный}.

Докажите, что:
1) единица группы единственная;
2) каждый элемент группы имеет единственный обратный.

Подмножество $H$ группы $G$ называется подгруппой, если оно само является группой относительно операции группы $G$.

Докажите, что:
1) единица группы $H$ совпадает с единицей группы $G$;
2) обратный элемент в $H$ совпадает с обратным элементом в $G$.

Докажите, что подмножество $H$ группы $G$ образует подгруппу тогда и только тогда, когда выполняются два условия:
i) $\forall x, y\in H \quad x*y\in H$;
ii) $\forall x\in H \quad x^{-1}\in H$.