В 1994 году английский математик Эндрю Джон Уайлс опубликовал доказательство Великой теоремы Ферма, которое, после некоторых доработок, было признано исчерпывающим. Доказательство заняло более ста журнальных страниц и основывалось на использовании современного аппарата высшей математики, который в эпоху Ферма разработан не был. Так что же тогда имел в виду Ферма, оставляя на полях книги сообщение о том, что доказательство им найдено? Большинство математиков, с которыми я беседовал на эту тему, указывали, что за века накопилось более чем достаточно некорректных доказательств Великой теоремы Ферма, и что, скорее всего, сам Ферма нашел подобное доказательство, однако не сумел усмотреть в нем ошибку. Впрочем, не исключено, что все-таки имеется какое-то короткое и изящное доказательство Великой теоремы Ферма, которое никто до сих пор не нашел.

Если в детстве вы не могли выучить таблицу умножения, в школе паниковали перед надвигающейся контрольной по алгебре, а позже с большим облегчением расстались с устным счетом вообще, то, возможно, вам не повезло столкнуться с состоянием, которое называют математической тревожностью. О том, что это такое, из-за чего она появляется и как с ней пытаются бороться, читайте в нашем материале.

Стоит ли доверять математической статистике? Если взять наугад сотню научных статей, использующих статистические методы, сколько в них будет ошибочных выводов? Как работает математическая статистика? Часто ли она ошибается? Что означает «различие оказалось статистически значимым (p<0.05)»? Мы попробуем во всём этом разобраться.

Физики зачастую делают необоснованные с точки зрения математики предположения. Например, они совершенно свободно переставляют порядок интегрирования в многомерных интегралах, не задумываясь об их сходимости. Или определяют дельта-функцию как функцию, интеграл от которой равен единице, — от этого у математиков становится особенно тяжело на душе. Или проверяют, что какая-нибудь формула выполняется в нескольких частных случаях, а потом без доказательства считают, что она работает всегда. Поэтому математикам приходится строго обосновывать физические теории, а в некоторых случаях искать для них контрпримеры. Здесь мы рассмотрим пример равенства, которое справедливо для огромного числа частных случаев, но в целом не верно.

Из всех теорем Игоря Шафаревича мы выбрали одну, точнее, даже не теорему, а следствие из нее, мимоходом закрывшее изящный вопрос из теории групп, сформулированный за 60 лет до этого, — оно отрицательно решило общую проблему Бернсайда. Это красивая история, в которой Шафаревич появляется как известный актер в камео — с короткой и яркой репликой.

В математике полно странных числовых систем, о которых большинство людей никогда не слышало. Некоторые из них даже сложно будет представить. Но рациональные числа знакомы всем. Это числа для счёта предметов и дроби — все числа, известные нам с начальной школы. Но в математике иногда сложнее всего понять самые простые вещи. Они простые, как гладкая стена, без трещин и выступов, или других очевидных свойств, за которые можно было бы ухватиться. Выдающийся математик раскрыл подробности того, как его успехи в изучении тысячелетних математических вопросов связаны с концепциями, взятыми из физики

В физике есть уравнения, описывающие всё, от растяжения пространства-времени до полёта фотона. Однако же лишь один набор уравнений считается настолько математически сложным, что его выбрали в роли одной из семи «Задач тысячелетия», за решение которых Математический институт Клэя предлагает премию в миллион долларов: это уравнения Навье-Стокса, описывающие течение жидкостей. Почему же эти уравнения, описывающие такие знакомые явления, как вода, текущая по шлангу, математически понять гораздо сложнее, чем, допустим, уравнения поля Эйнштейна, включающие в себя такие ошеломляющие объекты, как чёрные дыры? Ответ кроется в турбулентности. Это явление испытывали мы все, в полёте в неоднородном воздухе на высоте в 10000 м, или при наблюдении за воронкой от уходящей в слив воды в ванне. Однако из осведомлённости не следует познание: турбулентность — одна из наименее понятных областей физического мира.

Уравнения Навье-Стокса при помощи нескольких лаконичных членов описывают одно из самых распространённых явлений физического мира: течение жидкостей. Эти уравнения используются для описания всего, от океанских течений и турбулентности, следующей за самолётом до потока крови в сердце. Хотя физики считают эти уравнения надёжными, как молоток, математики относятся к ним с недоверием. Для математика то, что эти уравнения вроде бы работают, мало что значит. Им нужны доказательства того, что уравнения безошибочны: что для любой жидкости и для долгосрочного прогноза, распространённого сколь угодно далеко в будущее, математика уравнений не подведёт.

Теплым весенним утром Джун Ху шел в зал Макдоннелла Пристонского университета, где его ждали студенты. Однако он не был уверен, что идет в нужном направлении. Ху работает в элитарном Институте перспективных исследований, который располагается неподалеку от студгородка Принстона. Будучи сотрудником института, Ху не обязан преподавать. Тем не менее, он вызвался прочитать студентам продвинутый курс по коммутативной алгебре.

В журнале «Квантик» № 5, 2016 была опубликована задача:«Робот-пылесос, имеющий форму круга, проехал по плоскому полу. Для каждой точки граничной окружности робота можно указать прямую, на которой эта точка оставалась в течение всего времени движения. Обязательно ли и центр робота оставался на некоторой прямой в течение всего времени движения?» Удивительно, но ответ отрицателен — центр мог двигаться не по прямой! Мы дадим несколько решений, начнём издалека, зато узнаем по дороге много интересного.

Окраска многих животных устроена причудливо и замысловато. На клеточном уровне ее возникновение описывается реакционно-диффузными моделями при помощи систем дифференциальных уравнений. В недавней работе группа ученых из Швейцарии детально изучила механизм формирования окраски глазчатых ящериц Timon lepidus. Оказалось, что это происходит по правилам, характерным для дискретного клеточного автомата, где в роли ячеек автомата выступают отдельные чешуйки кожи ящериц. Математическое моделирование позволило понять, что реакционно-диффузная система может порождать клеточный автомат благодаря особым условиям — в данном случае это подходящие размеры чешуек и толщина кожи ящериц внутри и на границе чешуек.

Возьмите простое решетчатое пространство. Задайте набор нехитрых правил. Запустите время. Вы получили клеточный автомат — почти что целый мир.

Ученые из Оксфордского университета заявили, что самым ранним известным употреблением цифры 0 для обозначения отсутствия значения разряда (как в числе 101) следует считать текст индийского манускрипта Бахшали.

Генно-инженерные эксперименты показали, что количество пальцев у мышей зависит от двух взаимодействующих систем генов-регуляторов. По мере отключения этих генов пальцы становятся многочисленнее, короче и тоньше, а их концы соединяются костно-хрящевой дугой, так что в итоге кисть начинает напоминать плавник примитивной рыбы. Новые данные согласуются с гипотезой о том, что развитие пальцев основано на реакционно-диффузионном механизме самоорганизации, придуманном Аланом Тьюрингом в 1952 году.

Сергей Ландо, докт. физ.-мат. наук, профессор факультета математики Высшей школы экономики, стоял у истоков возникновения факультета математики и исполнял обязанности декана с момента создания факультета в 2007 году до весны 2015 года. Людмила Сапченко расспросила Сергея Константиновича о его научной деятельности, о том, какое место занимают математические науки в современном мире, как создавался факультет, какие задачи ставятся перед факультетом в настоящее время.

Математик Мишель Рудольф-Лилит из Национального центра научных исследований Франции описала особенности окружностей, начерченных в дискретном пространстве, в качестве примера которого ученый рассмотрела пересечения улиц и проспектов Манхэттена — центрального района Нью-Йорка. Оказалось, что можно аналитически описать несколько алгоритмов, следуя которым, гипотетический таксист проедет вдоль линии, максимально приближенной к идеальной окружности, а при достаточно большом ее радиусе можно с хорошей точностью измерить число π.

В 1936 году советский инженер и учёный Владимир Лукьянов создал вычислительную машину, все математические операции в которой выполняла текущая вода. Гидравлический интегратор Лукьянова — первая в мире вычислительная машина для решения дифференциальных уравнений в частных производных — на протяжении полувека был единственным средством вычислений, связанных с широким кругом задач математической физики.

Опыт создания учебников для средней школы учеными-математиками двадцатого века я считаю трагическим. Мой дорогой учитель, Андрей Николаевич Колмогоров, долго убеждал меня в необходимости дать наконец школьникам "настоящий" учебник геометрии, критикуя все существовавшие за то, что в них такие понятия, как "угол величиной в 721 градус", остаются без точного определения.

Я собираюсь рассказать сегодня о довольно грустных обстоятельствах, связанных с положением математического образования во всем мире. Больше всего я знаю положение, естественно, в России, а также во Франции и в Соединенных Штатах. Но процессы, о которых я буду говорить, примерно одновременно идут во всем мире. Они несколько невероятны, но то, что я буду рассказывать, как бы это ни было невероятно, — чистая правда.

Математика — это не только замечательная точная наука, но еще и удивительные человеческие судьбы. Девушка из Ирана по имени Мариам Мирзахани стала первой в мире женщиной, получившей Филдсовскую медаль — пожалуй, самую престижную награду в математике. Мариам показала как иранским ученым, так и простым людям, в частности женщинам, — чего может добиться человек собственным умом и собственной настойчивостью.