x, y, z

Магия марковских троек // Александр Веселов ≫ Похожее [7]

Публикации: 204
<<< |1|…|3|4|5|6|7|8|9|10|11| >>>
  • Алексей Сосинский
    Один из важнейших понятий механики и теоретической физики — понятие конфигурационного пространства механической системы — почему-то остается неизвестным не только школьникам, но и большинству студентов-математиков. В лекции рассмотрен очень простой, но весьма содержательный класс механических систем — плоские шарнирные механизмы с двумя степенями свободы. Мы обнаружим, что в «общем случае» их конфигурационные пространства суть двумерные поверхности, и постараемся понять — какие именно. (Здесь имеются окончательные результаты десятилетней давности Димы Звонкина.) Далее обсуждаются нерешенные математические задачи, связанные с шарнирными механизмами. (В том числе две гипотезы, а точнее — недоказанные теоремы, американского математика Билла Тёрстона.)
  • Этьен Жис
    Я буду говорить об одном из самых классических геометрических сюжетов — о кривых на плоскости. Через точку на кривой можно провести «соприкасающуюся окружность»: окружность, проходящую через эту точку, и наилучшим образом приближающую данную кривую. Её радиус это радиус кривизны. Я начну с того, что покажу неожиданное, почти неправдоподобное поведение таких окружностей при движении точки вдоль кривой. Я не буду здесь формулировать никаких утверждений, потому что это испортит сюрприз! Затем, мы перейдём к обсуждению соприкасающихся эллипсов и алгебраических кривых более высокой степени; мы увидим красивые и интересные картины!
  • Владимир Арнольд
    Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.
  • Юрий Матиясевич
    Метод координат, придуманный Рене Декартом, позволяет переформулировать любую задачу «на доказательство» из элементарной (грубо говоря, «школьной») геометрии в виде высказывания о вещественных числах. А что делать потом? Ведь уже для корней алгебраических уравнений пятой степени с одной неизвестной не существует явной формулы «в радикалах», а при переводе геометрических утверждений на алгебраический язык будут возникать сложные утверждения, содержащие много переменных, связанных как кванторами существования (это «неизвестные»), так и кванторами общности (это «параметры»). К счастью, польский логик и математик Альфред Тарский нашел в сороковые годы двадцатого столетия универсальный метод, позволяющий узнавать истинность или ложность любого высказывания про конечное множество вещественных чисел. Первоначальное авторское изложение этого метода занимало целую книгу и было очень трудно для восприятия. С тех пор многие авторы упрощали метод Тарского, и сегодня этот замечательный результат может быть доказан со всеми деталями за два часа и, надеюсь, понят старшеклассниками и младшекурсниками.
  • Владимир Успенский
    Составленная из нулей и единиц цепочка 100010111011110100000111 выглядит более случайной, чем цепочка 010101010101010101010101. Возможно ли разделить все цепочки нулей и единиц на случайный и не случайные? Для конечных цепочек эта задача вряд ли осуществима. Однако можно пытаться решать её для бесконечных цепочек, т.е. для последовательностей. Иными словами, можно пытаться найти строгое математическое определение для понятия «случайная последовательностей нулей и единиц».
  • Александр Разборов
    Теория сложности вычислений — бурно развивающаяся область теоретической информатики (theoretical computer science) и охватывает как чисто теоретические вопросы, так и вопросы, непосредственно связанные с практикой. Среди наиболее важных приложений этой теории можно назвать способы построения и анализа эффективных алгоритмов, а также современные криптографические методы. Поэтому знакомство с основами теории сложности, безусловно, полезно любому, кто собирается серьезно заниматься практическим программированием или теоретическими исследованиями.
  • Сергей Ландо
    Долгое время наличие у биномиальных последовательностей многочисленных общих свойств воспринималось как нечто таинственное и необъяснимое, почему их изучение и было названо umbral calculus, т.е. теневое исчисление. Работы Рота в 60-х годах прошлого века сорвали с теневого исчисления покров тайны, однако не уменьшили интерес к биномиальным последовательностям, поскольку они регулярно возникают в самых разных областях математики. На занятиях мы обсудим, как выписывать все биномиальные последовательности и какие у них свойства. Все необходимые для этого выходящие за рамки школьной (а изредка и университетской) программы сведения будут сообщены.
  • Сергей Новиков
    В совместной работе с И. Дынниковым мы предложили дискретный вариант комплексного анализа, который стартует с решётки правильных треугольников на плоскости. Нам представляется, что этот подход лучше обычного подхода, использующего квадратную решётку.
  • Лев Беклемишев
    Классическая логика высказываний исходит из предположения о том, что любые высказывания либо истинны, либо ложны. Логика доказуемости отражает более глубокую картину мира, осознанную после теорем Гёделя о неполноте: истинность высказывания, вообще говоря, не равносильна его доказуемости. Можно ли — и если да, то как — говорить на уровне логики о доказуемости или недоказуемости высказываний, наряду с их истинностью или ложностью? Программа: Логика высказываний и её модели. Модальная логика, модели Крипке. Логика Гёделя-Лёба GL. Теорема о полноте логики GL по Крипке на конечных деревьях. Формальная арифметика Пеано. Гёделева нумерация. Теорема о неподвижной точке. Формулы доказуемости и непротиворечивости. Теоремы Гёделя, Россера и Лёба. Доказуемость как модальность: арифметическая интерпретация логики GL. Замкнутые модальные формулы, последовательность Тьюринга, локальная рефлексия. Существование и единственность модально определимых неподвижных точек (теорема де Йонга).
  • Гаянэ Панина
    Как мы узнаем, выпуклые многогранники можно складывать и перемножать между собой. Далее, выпуклые многогранники можно умножать на рациональные числа. И наконец, что несколько неожиданно, для выпуклых многогранников можно определить логарифм и экспоненту. Вооружившись этими умениями, мы построим математически богатый замечательный объект — градуированную алгебру над Q — алгебру многогранников Питера Мак Маллена. С помощью этой алгебры мы докажем теорему об f-векторе выпуклого многогранника. Эта алгебра хорошо «отражается» в теории алгебраических торических многообразий.
  • Виктор Клепцын
    8 августа 1900 года Давид Гильберт сделал на Втором Математическом конгрессе доклад, представив слушателям ставший с тех пор знаменитым список проблем столетия. За прошедшие сто с лишним лет большая их часть была решена – и, что важнее, в ходе их решения появились новые сюжеты и новое понимание. Я собираюсь затронуть несколько из них и обсудить, в каком контексте они формулировались и куда продвинулось наше понимание за эти сто лет. Этот курс предполагается обзорным и адресованным школьникам (в частности, он не предполагает предварительных сведений).
  • Гаянэ Панина
    Некоторые комбинаторные схемы дают на выходе интересные выпуклые многогранники, имеющие отношение много к чему из современной математики. Перестановки дают пермутоэдр (перестановочный многогранник). Где он может пригодиться? (Конфигурационное пространство шарнирного многоугольника). Скобочные последовательности дают ассоциэдр (многогранник Сташефа). Зачем он нужен? («Чудесная» компактификация де Кончини–Прочезе.) Вторичный многогранник (secondary polytope Гельфанда–Капранова–Зелевинского) связан с совершенно иной комбинаторной схемой, и при этом обобщает предыдущие примеры.
  • Александр Кириллов
    Одна из нерешённых проблем Гильберта — математическая формулировка физики. Эта задача была решена Ньютоном, Лагранжем и Гамильтоном для классической механики, а Шредингером и Гейзенбергом для квантовой механики. Однако, эти решения были совершенно различны. В первом случае математическим аппаратом была симплектическая геометрия, во втором — спектральная теория операторов. Переход от одной теории к другой физики называют квантованием. Тема занятий — перевод этого термина на язык математики.
  • Георгий Шабат
    Детские рисунки (dessins d'enfants) – термин, введённый Александром Гротендиком в 70-е годы прошлого века. С «детской» точки зрения этот термин означает граф, вложенный в поверхность; с взрослой – это объект, в котором закодированы различные структуры, относящиеся к далёким друг от друга областям математики. Под подсчётом детских рисунков понимается подсчёт количества детских рисунков ограниченной сложности, которая будет определена. В последние годы были получены замечательные результаты о количествах детских рисунков. Элементарная часть этих результатов будет изложена в курсе.
  • Максим Казарян
    Непрерывная дробь — это выражение вида a0+(1/(a1+1/(a2+(1/(a3+… ))))), (конечное или бесконечное), где ai — натуральные числа. Выражения такого вида выглядят довольно забавными, но важность их заключается вовсе не в этом, а в том, что теория непрерывных дробей — это теория наилучших приближений иррациональных чисел рациональными. Например приближениие π≈22/7 точнее, чем более привычное 3,14=314/100, несмотря на то, что у первого знаменатель гораздо меньше второго. Каким образом это происходит, будет объяснено на занятиях.
  • Сергей Новиков
    Лекцию читает Новиков Сергей Петрович, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 21 июля 2005 г.
  • Сергей Новиков
    Квазипериодические функции: что это такое, откуда возникают, проблемы их изучения, как появляется топология и динамические системы. Лекцию читает Новиков Сергей Петрович, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор.
  • Иван Ященко
    Ященко Иван Валериевич, кандидат физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 2003 г.
  • Лев Беклемишев
    Вычислимая функция f:N→N называется доказуемо рекурсивной в данной формальной теории T, если существует алгоритм её вычисления такой, что в T можно доказать утверждение «для любого x существует y такой, что f(x)=y». В математической логике такие функции изучаются по двум причинам. Во-первых, для данной программы нас часто интересует доказательство её корректности, в частности вопрос о том, завершает ли она работу при любых исходных данных. С другой стороны, варьируя функцию f мы можем ставить для теории T сколь угодно сложные (вплоть до невыполнимости) задачи на доказательство. Тем самым, доказуемо рекурсивные функции могут быть использованы для изучения различных формальных теорий. Такой подход приводит к наиболее впечатляющим на сегодняшний день примерам недоказуемых комбинаторных утверждений. Мы начнем с понятия машины Тьюринга и вычислимой функции. Разберемся, как формальная арифметика может говорить о вычислениях. Поймем, что для любых разумных систем аксиом T их запас доказуемо рекурсивных функций никак не может исчерпывать все вычислимые всюду определенные функции. Отсюда выведем первую теорему Гёделя о неполноте.
  • Алексей Бондал
    Я постараюсь объяснить базисные проблемы и идеи гомологической алгебры и современную их интерпретацию с помощью производных категорий. Затем расскажу как надо думать об алгебраических многообразиях, чтобы применять методы гомологической алгебры и теории категорий к алгебраической геометрии. В качестве примера, объясню как можно описывать расслоения на проективных пространствах с помощью разбиений вещественного тора.
<<< |1|…|3|4|5|6|7|8|9|10|11| >>>