x, y, z

Магия марковских троек // Александр Веселов ≫ Похожее [5]

Публикации: 204
<<< |1|2|3|4|5|6|7|8|9|…|11| >>>
  • Наталия Гончарук
    В каждой точке плоскости нарисуем вектор. Получилось векторное поле. Будем считать, что по плоскости течёт вода, а векторы — её скорости течения в разных точках. Теперь бросим в воду несколько щепок и нарисуем траектории их движения. Получится фазовый портрет векторного поля. По картинке стало видно, что происходит со щепками: некоторые приближаются к внешнему предельному циклу, от другого цикла все щепки отдаляются. Куда ещё могут накапливаться траектории щепок (теорема Пуанкаре-Бендиксона). Как ещё могут быть устроены фазовые портреты. Также мы обсудим бифуркации: перестройки фазовых портретов, когда векторное поле слегка меняется. Будут свежие результаты и открытые вопросы.
  • Лев Беклемишев
    Классическая логика высказываний исходит из предположения о том, что любые высказывания либо истинны, либо ложны. Логика доказуемости отражает более глубокую картину мира, осознанную после теорем Гёделя о неполноте: истинность высказывания, вообще говоря, не равносильна его доказуемости. Можно ли — и если да, то как — говорить на уровне логики о доказуемости или недоказуемости высказываний, наряду с их истинностью или ложностью?
  • Николай Долбилин
    Теорема о существовании и единственности выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями его граней, открытая Минковским в 1897 году, наряду с теоремами Эйлера, Коши, А. Д. Александрова, является одной из фундаментальных теорем о многогранниках. Рассказано о нескольких приложениях этой замечательной теоремы.
  • Владимир Успенский
    Если в качестве значений переменных разрешается брать только элементы носителя, язык называют элементарным языком, или языком первого порядка. Если же в качестве значений переменных разрешается брать также функции и отношения, язык называют языком второго порядка. Выразительные возможности языков первого порядка довольно ограничены. Например, на языке первого порядка можно сообщить, что носитель содержит ровно 17 элементов, но невозможно выразить его конечность. На языке второго порядка выразить конечность носителя возможно. Возникает совершенно естественное недоумение: а зачем тогда пользоваться языками первого порядка с их бедными выразительными средствами, не лучше ли пользоваться языками второго порядка?
  • Юлий Ильяшенко
    Эволюционные процессы происходят повсюду вокруг нас — от движения атомов до движения планет. Ньютон понял, что эти процессы описываются дифференциальными уравнениями, и что эти уравнения полезно решать. В последующие полтора столетия стало ясно, что большинство дифференциальных уравнений решить нельзя. Пуанкаре создал новую ветвь математики — качественную или геометрическую теорию дифференциальных уравнений, которая изучает свойства решений непосредственно по уравнению, минуя попытки это уравнение решить. Оказалось, что даже на качественном уровне поведение решений может быть очень сложным. Ситуация резко упрощается, если «все» уравнения заменить на «типичные». С физической точки зрения интересны именно типичные дифференциальные уравнения. В лекциях будет рассказано об эволюции этих концепций и сформулированы некоторые нерешенные проблемы.
  • Владимир Арнольд
    Астроидой называется гипоциклоида с четырьмя остриями. Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению. Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях.
  • Дмитрий Аносов
    Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 2001 г.
  • Сергей Новиков
    Лекцию читает Новиков Сергей Петрович, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 20 июля 2003 г.
  • Владимир Успенский
    Успенский Владимир Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 9 июля 2012 г.; XIV Летняя лингвистическая школа, г. Дубна, «Ратмино», 8-18 июля 2012 г.
  • Александр Кузнецов
    Система корней — этот конечный набор векторов в евклидовом пространстве, такой что для любого из этих векторов v зеркальная симметрия s_v относительно гиперплоскости H_v, перпендикулярной к v, сохраняет систему, причем для всякого вектора v' из системы s_v(v') − v' является целым кратным вектора v. Оказывается, системы корней можно полностью классифицировать. Возникает несколько «серий» (бесконечных последовательностей) и несколько «исключительных» систем. Мы поговорим о системах корней в пространствах произвольной размерности, их классификации, и возникающих в связи с этим диаграммах Дынкина.
  • Александр Кириллов
    Фракталы можно в первом приближении описать как множества дробной размерности. В курсе в основном рассказано про ковер Серпинского (размерности log[2]⁡3=1.585…) и ковер Аполлония размерности 1.308… (точное значение неизвестно!).
  • Иван Лосев
    В лекциях вводятся основные сведения из теории представлений конечных групп, объясняется подход Вершика и Окунькова к представлениям симметрических групп, рассказывается о том, что происходит в положительной характеристике и при чем тут алгебры Ли. Курс должен быть понятен студентам, начиная с первого курса, хорошо освоившим курс алгебры.
  • Юрий Бурман
    Число В вершин, число Р ребер и число Г граней выпуклого многогранника связаны соотношением В−Р+Г=2. Легко сообразить, что это широко известное утверждение не имеет прямого отношения к выпуклости: если на боку выпуклого многогранника сделать вмятину, то он перестанет быть выпуклым, а количество вершин, ребер и граней сохранится. В то же время для совершенно произвольного многогранника теорема неверна. В данном курсе мы выясним, в каких именно случаях эти утверждения верны и почему на самом деле это — одна и та же теорема. Также мы разберемся, как выглядят аналогичные утверждения для других поверхностей, и не только для поверхностей (а, например, для графов или для многомерной сферы).
  • Александр Буфетов, Севак Мкртчян
    Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином Pn(x) степени n со старшим коэффициентом 1, такой что величина max_{x∈[−1,1]}|Pn(x)| принимает наименьшее возможное значение. Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы — последовательность полиномов Чебышева, который являются классическим примером семейства ортогональных полиномов.
  • Александр Буфетов
    Лягушка сидит в вершине квадрата и раз в десять секунд принимает решение и совершает прыжок: с вероятностью p по часовой стрелке, с вероятностью q против часовой стрелки, с вероятностью 1−p−q на месте. Через десять секунд вновь решая куда прыгнуть, лягушка принимает во внимание лишь ту вершину, в которой она находится. Таким образом, положения лягушки в различные моменты времени не независимы, однако, при фиксированном настоящем, будущее лягушки независимо от её прошлого. В честь открывшего их нашего великого соотечественника Андрея Андреевича Маркова такие системы испытаний называют цепями Маркова. Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию марковских процессов со счётным числом состояний.
  • Армен Сергеев
    Теорема Римана — один из центральных результатов теории функций комплексного переменного. В докладе будет рассказано о месте теоремы в математике и приведена идея ее доказательства, предложенного самим Риманом и основанного на соображениях из гидродинамики.
  • Павел Семенов
    Любая функция, непрерывная на отрезке I, ограничена на нем и достигает своего наибольшего (наименьшего) значения. На какое подмножество К числовой прямой можно заменить I так, чтобы приведенное утверждение (теорема Вейерштрасса) осталось верным? Ответ: на компакт и только на компакт. Компакты на прямой, на плоскости, в пространстве и, вообще, в метрических пространствах, образуют один из самых хороших классов пространств, используемых в математическом и в функциональном анализе, топологии, математической экономике и других приложениях классической математики. Оказывается, среди компактов есть «самый большой» компакт, гильбертов куб. Он является (иньективно) универсальным. Эти слова означают, что гильбертов куб содержит в себе копии всех других компактов. Есть среди компактов объект, универсальный в несколько противоположном (проективном) смысле. Любой другой компакт может быть получен из этого единственного компакта с помощью непрерывного отображения.
  • Николай Тюрин
    Если представлять себе выдающиеся произведения научной литературы как горные маршруты, уводящие в небо, то наш небольшой курс — не более чем прогулка с видом на далекие белоснежные вершины. Мы собираемся просмотреть видимые начала одного из красивейших маршрутов, уводящего далеко за облака, к высоким перевалам и вершинам классической механики. Очень скоро вчерашние школьники сами выйдут на этот маршрут, а пока… давайте немного потренируемся.
  • Сергей Ландо
    Что такое каустики, знает всякий, кто когда-либо выжигал по дереву, собирая солнечные лучи с помощью линзы, видел световые блики на дне неглубокого водоема от ряби на поверхности воды или наблюдал игру света, отражающегося от дна чашки. Латинское слово «каустик» означает «жгучий», и им называют множество тех точек в пространстве, в которых собирается больше лучей какого-либо светового потока, чем в соседних точках. Скажем, каустика равномерно излучающей сферы это ее центр — в него приходят все лучи. Однако если сферу немного возмутить — сжать в одном направлении и растянуть в другом, то каустика превращается из точки в очень интересную поверхность, о которой, в основном, и пойдет речь.
  • Александр Кузнецов
    Инварианты Громова–Виттена – это замечательный набор численных инвариантов алгебраического (и, более общо, симплектического) многообразия, обобщающих индексы пересечения когомологических классов. Они позволяют ввести на кольце когомологий новое, так называемое квантовое умножение, являющееся деформацией обычного умножения в когомологиях, и являются первым шагом к пониманию зеркальной симметрии – удивительного явления, открытого физиками в конце 80-х годов прошлого века. Для алгебраического многообразия инварианты Громова–Виттена определяются через теорию пересечений пространства модулей кривых в этом многообразии. Я постараюсь объяснить, что такое пространство модулей кривых и как с ним обращаться, какие возникают сложности с вычислением инвариантов Громова–Виттена и как их преодолевают.
<<< |1|2|3|4|5|6|7|8|9|…|11| >>>