x, y, z

Магия марковских троек // Александр Веселов ≫ Похожее

Публикации: 204
|1|2|3|4|5|…|11| >>>
  • Александр Веселов
    Рассмотрим квадратичную форму Q от двух переменных с целыми коэффициентами и зададимся вопросом, какие значения она может принимать на целочисленной решетке. В частном случае стандартной евклидовой формы это классический вопрос о том, когда заданное натуральное число представляется как сумма двух квадратов, исследованный Гауссом. Около 20 лет назад английский математик Джон Конвей предложил геометрический подход к этому вопросу, используя плоское бинарное дерево. Получаемое описание называется топографом формы. В случае когда форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, они разделяются бесконечным путем на этом дереве, называемым рекой Конвея. Я расскажу, как река Конвея связана с парусом Арнольда из геометрической теории цепных дробей на целочисленной решетке, восходящей к Клейну.
  • Александр Буфетов, Никита Козин
    Диаграммы Юнга дают естественный способ параметризовать разбиение натурального числа в сумму невозрастающих слагаемых. Вопросом о количестве диаграмм Юнга с данным числом клеток занимался еще Эйлер.
  • Юрий Матиясевич
    В 1900 году великий немецкий математик Давид Гильберт сформулировал свои знаменитые Математические проблемы. В десятой из них он просил найти алгоритм для распознавания наличия решений у произвольных диофантовых уравнений. Семьдесят лет спустя было установлено, что такого алгоритма не существует. Техника, развитая для доказательства этого, позволила получить ещё много интересных результатов, например, построить многочлен с целыми коэффициентами, множество всех положительных значений которого (принимаемых при произвольных целочисленных значениях переменных) есть в точности множество всех простых чисел.
  • Иван Ященко
    Мы попытаемся рассказать о криптографии — бурно развивающейся прикладной науке, оказывающей огромное влияние на развитие не только техники, но и математики. Особое внимание будет уделено тому, как важно правильно ставить задачи, а также тому, как можно использовать не только достижения, но и “неудачи” математики на практике. В частности, будет рассказано, что такое криптография с открытым ключом и как можно убедить учителя, что ты знаешь ответ на вопрос, так и не дав этого ответа.
  • Владимир Успенский
    Как известно, ежа нельзя причесать. Иными словами, на двумерной сфере нет касательного векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Трехмерная сфера ведет себя в этом отношении совсем иначе: на ней можно построить три касательных векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Это означает, что трехмерная сфера параллелизуема. Возникает вопрос, для каких n сфера размерности n–1 параллелизуема. С этим вопросом тесно связан другой: для каких n на n-мерном эвклидовом пространстве можно ввести билинейное умножение, при котором произведение любых двух ненулевых векторов ненулевое. Рассматривая вещественные числа, комплексные числа, кватернионы или октонионы, мы видим, что это можно сделать, если n принимает одно из значений 1, 2, 4, 8. Оказывается, что этот список значений и является ответом на оба поставленных выше вопроса. Это трудная теорема. Ее можно доказать методами К-теории. Курс будет посвящен объяснению основных идей доказательства.
  • Алексей Буфетов
    Цель данного курса — показать, как вероятностные методы и интуиция помогают отвечать на теоретико-числовые вопросы. Я расскажу про два существенно разных сюжета. 1) Верно ли, что простых чисел-близнецов бесконечно много? Верно ли, что любое четное число раскладывается в сумму двух простых? Ответы на эти вопросы, формально говоря, еще не получены. Однако, существуют правдоподобные гипотезы, дающие куда более точную информацию. 2) Типичное число простых множителей натурального числа. Пусть w(n) — число различных простых делителей натурального числа n. Выберем n равномерно случайно из {1,2,…,N} для большого N. Чему равно типичное значение w(n)? На этом материале мы познакомимся с базовыми теоремами теории вероятностей: законом больших чисел и центральной предельной теоремой.
  • Keith Conrad
    ABC-гипотеза была сформулирована в 1985 г. и быстро стала центральной проблемой в теории чисел из-за её связей с другими нерешёнными проблемами, а также из-за того, что многие уже доказанные известные результаты были бы её следствиями. В 2012 году японский математик Мотидзуки выложил доказательство ABC-гипотезы в интернете, но математическое сообщество еще не пришло к единому мнению, правильно ли оно. В курсе мы введём ABC-гипотезу, опишем несколько эквивалентных её вариантов, и проследим ее связи с другими проблемами и теоремами в теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и многочленами над полями.
  • Владимир Успенский
    Если разбить натуральный ряд на конечное число частей, то в одной из этих частей содержатся сколь угодно длинные арифметические прогрессии (теорема ван дер Вардена). Теорема Семереди усиливает теорему ван дер Вардена: если некоторые натуральные числа покрашены в зеленый цвет и при этом существуют сколь угодно длинные отрезки натурального ряда, в которых доля зеленых чисел составляет не менее одного процента (или любой другой положительной константы), то существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии, состоящие из зеленых чисел. Замечательное доказательство теоремы Семереди, предложенное Фюрстенбергом, основано на эргодической теории. Эта теория изучает преобразования, сохраняющие меру, и поведение таких преобразований при итерациях. В курсе будут изложены основные идеи доказательства Фюрстенберга.
  • Keith Conrad
    Для каждого простого p существует нормирование на поле рациональных чисел, пополнение относительно которого называется p-адическими числами. Эти пополнения играют важную роль в теории чисел и смежных областях математики. В этом курсе мы узнаем, что такое p-адические числа, и обсудим несколько элементарных применений к задачам алгебры и теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и пополнением метрического пространствa.
  • Сергей Ландо
    Числа Гурвица были введены А. Гурвицем в конце 19 века. Они перечисляют разветвленные накрытия двумерных поверхностей и имеют множество других проявлений — перечисляют разнообразные классы графов, являются коэффициентами связи в симметрических группах, представляют собой инварианты Громова–Виттена комплексных кривых.
  • Михаил Цфасман
    Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры (особенно коммутативной) для решения задач, возникающих в геометрии.
  • Алексей Зыкин
    Задача о конгруэнтных числах, упоминавшаяся еще в арабских математических текстах X века, состоит в следующем: для каких рациональных чисел s найдется прямоугольный треугольник с рациональными сторонами и площадью s? Удивительным образом эта проблема оказывается связанной с самой современной математикой — ее решение может быть получено по модулю так называемой гипотезы Берча и Свиннертона-Дайра, входящей в список «Проблем тысячелетия» института Клэя и за решение которой предлагается миллион долларов. Я попытаюсь рассказать о том, откуда берется такая связь. По пути нам встретится множество объектов и теорем, имеющих огромную важность в современной арифметической геометрии и теории чисел. Мы обсудим эллиптические кривые и закон сложения на них, теорему Морделла–Вейля, поговорим о том, как полезно смотреть на решения уравнений по модулю простого числа pp и упомянем теорему Минковского–Хассе о квадратичных формах, по пути нам понадобятся такие классические утверждения как теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях и квадратичный закон взаимности. Наконец, если останется время, мы упомянем об L-функциях эллиптических кривых и модулярных формах, — то без чего невозможно представить современную теорию чисел.
  • Аркадий Скопенков
    Предлагаются наброски элементарных доказательств: теоремы Гаусса о построимости правильных многоугольников; теоремы о неразрешимости уравнений в вещественных радикалах; теорем Руффини-Абеля и Галуа о неразрешимости уравнений в комплексных радикалах. Приводимые доказательства не используют термина «группа Галуа» (даже термина «группа»). Несмотря на отсутствие этого термина, идеи приводимых доказательств являются отправными для теории Галуа (которая вместе с теорией групп развилась из опыта группировки корней многочлена, с помощью которой их можно выразить через радикалы). Приводимые идеи являются отправными также для конструктивной теории Галуа, активно развивающейся в настоящее время.
  • Владимир Успенский
    Эту формулу нашел Гаусс, он использовал ee в одном из своих доказательств квадратичного закона взаимности. Лишь через несколько лет он сумел доказать, что сумма S_m всегда положительна, так что S_m рано квадратному корню из m. Гаусс записал в дневнике, что его озарение было подобно “вспышке молнии”. Позднее многие известные математики предложили свои доказательства. Одно из самых элегантных принадлежит Дирихле, оно использует ряды Фурье. Предполагается знакомство с понятием сравнения по модулю. Полезно (но необязательно) иметь представление о малой теореме Ферма и о квадратичных вычетах по простому модулю. Знакомства с рядами Фурье не предполагается, необходимые сведения будут сообщены.
  • Гаянэ Панина
    Курс представляет собой букет из трёх очень старых и трёх очень новых идей. Основной объект — число целых (т.е. с целыми координатами) точек в многограннике. Зачем нужны целые точки? Несколько примеров: многогранник Ньютона, Теорема Бриона — для начала без доказательства, просто в качестве фокуса, а также подсчёт целых метрических ленточных графов. Число целых точек в выпуклом многограннике ведёт себя как полином. Согласно конструкции, в полином, вычисляющий число целых точек, имеет смысл подставлять лишь положительные числа. Чтобы придать смысл отрицательной подстановке, нужны виртуальные многогранники. Двойственность Эрхарта и её естественное обобщение. Секрет фокуса Бриона.
  • Keith Conrad
    Когда Гаусс написал в 1801 г., что «Проблема различения простых и составных чисел и разложения последних на простые сомножители, как известно, является одной из самых важных и полезных в арифметике» он не знал, что 200 лет спустя эта проблема будет иметь огромное значение для криптографии: ее приложениями каждый день пользуются миллионы людей. Мы обсудим, как проверить простоту целых чисел детерминированными и вероятностными алгоритмами. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов, включая малую теорему Ферма.
  • Алексей Белов
    Всем говорят в школе, что число π иррационально и даже — трансцендентно, т. е. не является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Имеется изящное и вполне элементарное доказательство Эрмита иррациональности числа π (требующее только знания интегрирования по частям — понимания как вычислить интеграл ∫ x^k sin(x)dx в пределах от a до b). Наша цель — доказательство теоремы Линдемана–Веерштрасса (если α_i линейно независимые над Q алгебраические числа, то e^(α_i) алгебраически независимы), а также теоремы Гельфонда (если числа α ≠ 0,1; β ∉ Q алгебраические, то αβ есть число трансцендентное).
  • Роман Федоров
    Дзета-функция Римана была введена Эйлером в 1737-м году. Она может быть задана рядом ζ(s) = ∑ 1/n^s при тех значениях s, при которых этот ряд сходится. Я буду рассказывать, в основном, об обобщениях дзета-функции Римана — так называемой арифметической дзета-функции, которая ставится в соответствие диофантову уравнению (дзета-функция Римана соответствует «тривиальному» уравнению x=0).
  • Владимир Успенский
    Около 20 лет назад произошло одно из самых сенсационных событий за всю историю математики: была доказана Великая Теорема Ферма. Эта теорема может быть выведена из так называемой гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля (которая теперь имеет статус теоремы): всякая эллиптическая кривая, определенная над полем рациональных чисел, модулярна. Цель нашего курса — разобраться в том, что означают эти слова. Мы познакомимся с необходимыми понятиями (римановы поверхности, модулярные формы, алгебраические кривые) и рассмотрим различные варианты теоремы о модулярности эллиптических кривых.
  • Михаил Цфасман
    У древних греков было две никак не связанных между собой науки — арифметика и геометрия. В новое время математики осознали, что геометрические методы можно применять к арифметике, и наоборот. Двадцатый век пошёл много дальше. Сегодня целые числа для нас — геометрический объект ничуть не в меньшей степени, чем окружность. Осознание этого проходит через алгебру и алгебраическую геометрию. На этом пути была доказана великая теорема Ферма, но до неё мы, скорее всего в этих лекциях не дойдем. А впереди маячит гипотеза Римана, до которой не дойдём точно…
|1|2|3|4|5|…|11| >>>