x, y, z

Римановы поверхности и модулярные формы // Владимир Успенский ≫ Похожее

Публикации: 287
|1|2|3|4|5|…|15| >>>
  • Владимир Успенский
    Как известно, ежа нельзя причесать. Иными словами, на двумерной сфере нет касательного векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Трехмерная сфера ведет себя в этом отношении совсем иначе: на ней можно построить три касательных векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Это означает, что трехмерная сфера параллелизуема. Возникает вопрос, для каких n сфера размерности n–1 параллелизуема. С этим вопросом тесно связан другой: для каких n на n-мерном эвклидовом пространстве можно ввести билинейное умножение, при котором произведение любых двух ненулевых векторов ненулевое. Рассматривая вещественные числа, комплексные числа, кватернионы или октонионы, мы видим, что это можно сделать, если n принимает одно из значений 1, 2, 4, 8. Оказывается, что этот список значений и является ответом на оба поставленных выше вопроса. Это трудная теорема. Ее можно доказать методами К-теории. Курс будет посвящен объяснению основных идей доказательства.
  • Алексей Зыкин
    Задача о конгруэнтных числах, упоминавшаяся еще в арабских математических текстах X века, состоит в следующем: для каких рациональных чисел s найдется прямоугольный треугольник с рациональными сторонами и площадью s? Удивительным образом эта проблема оказывается связанной с самой современной математикой — ее решение может быть получено по модулю так называемой гипотезы Берча и Свиннертона-Дайра, входящей в список «Проблем тысячелетия» института Клэя и за решение которой предлагается миллион долларов. Я попытаюсь рассказать о том, откуда берется такая связь. По пути нам встретится множество объектов и теорем, имеющих огромную важность в современной арифметической геометрии и теории чисел. Мы обсудим эллиптические кривые и закон сложения на них, теорему Морделла–Вейля, поговорим о том, как полезно смотреть на решения уравнений по модулю простого числа pp и упомянем теорему Минковского–Хассе о квадратичных формах, по пути нам понадобятся такие классические утверждения как теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях и квадратичный закон взаимности. Наконец, если останется время, мы упомянем об L-функциях эллиптических кривых и модулярных формах, — то без чего невозможно представить современную теорию чисел.
  • Владимир Успенский
    Успенский Владимир Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 9 июля 2012 г.; XIV Летняя лингвистическая школа, г. Дубна, «Ратмино», 8-18 июля 2012 г.
  • Роман Федоров
    Дзета-функция Римана была введена Эйлером в 1737-м году. Она может быть задана рядом ζ(s) = ∑ 1/n^s при тех значениях s, при которых этот ряд сходится. Я буду рассказывать, в основном, об обобщениях дзета-функции Римана — так называемой арифметической дзета-функции, которая ставится в соответствие диофантову уравнению (дзета-функция Римана соответствует «тривиальному» уравнению x=0).
  • Владимир Успенский
    Эту формулу нашел Гаусс, он использовал ee в одном из своих доказательств квадратичного закона взаимности. Лишь через несколько лет он сумел доказать, что сумма S_m всегда положительна, так что S_m рано квадратному корню из m. Гаусс записал в дневнике, что его озарение было подобно “вспышке молнии”. Позднее многие известные математики предложили свои доказательства. Одно из самых элегантных принадлежит Дирихле, оно использует ряды Фурье. Предполагается знакомство с понятием сравнения по модулю. Полезно (но необязательно) иметь представление о малой теореме Ферма и о квадратичных вычетах по простому модулю. Знакомства с рядами Фурье не предполагается, необходимые сведения будут сообщены.
  • Владимир Успенский
    Около 20 лет назад произошло одно из самых сенсационных событий за всю историю математики: была доказана Великая Теорема Ферма. Эта теорема может быть выведена из так называемой гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля (которая теперь имеет статус теоремы): всякая эллиптическая кривая, определенная над полем рациональных чисел, модулярна. Цель нашего курса — разобраться в том, что означают эти слова. Мы познакомимся с необходимыми понятиями (римановы поверхности, модулярные формы, алгебраические кривые) и рассмотрим различные варианты теоремы о модулярности эллиптических кривых.
  • Галина Синкевич, Владимир Тихомиров
    Научная биография Карла Вейерштрасса, его основные работы, влияние его учения на развитие математики. Вейерштрасс и теория вещественного числа, зарождение общей топологии, начала математического анализа, комплексный анализ, теория эллиптических функций, теория чисел, вариационное исчисление. Размышления Вейерштрасса о математике и математической жизни.
  • Сергей Ландо
    Числа Гурвица были введены А. Гурвицем в конце 19 века. Они перечисляют разветвленные накрытия двумерных поверхностей и имеют множество других проявлений — перечисляют разнообразные классы графов, являются коэффициентами связи в симметрических группах, представляют собой инварианты Громова–Виттена комплексных кривых.
  • Владимир Арнольд
    Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.
  • Георгий Шабат
    Предполагается прочесть четыре лекции. Первые две будут популярны и общепонятны, а третья и четвёртая будут содержать довольно поверхностные обзоры некоторых перспективных направлений современной математики. 1. О геометрии над конечными полями. 2. Группы Шевалле и группы перестановок. 3. Линейная алгебра над F1 и гомотопическая топология. 4. Разное. Обобщённые кольца Дурова и F∅, F±1, F∞√1. Анализ на множестве корней из единицы (по Хабиро, Концевичу, Манину). О геометрии Аракелова. О тропической математике.
  • Михаил Берштейн
    В этой лекции преподаватель магистерской программы «Математическая физика» Сколтеха Михаил Берштейн рассказывает о фазовых переходах и модели Изинга.
  • Михаил Цфасман
    Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры (особенно коммутативной) для решения задач, возникающих в геометрии.
  • Владимир Успенский
    Если разбить натуральный ряд на конечное число частей, то в одной из этих частей содержатся сколь угодно длинные арифметические прогрессии (теорема ван дер Вардена). Теорема Семереди усиливает теорему ван дер Вардена: если некоторые натуральные числа покрашены в зеленый цвет и при этом существуют сколь угодно длинные отрезки натурального ряда, в которых доля зеленых чисел составляет не менее одного процента (или любой другой положительной константы), то существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии, состоящие из зеленых чисел. Замечательное доказательство теоремы Семереди, предложенное Фюрстенбергом, основано на эргодической теории. Эта теория изучает преобразования, сохраняющие меру, и поведение таких преобразований при итерациях. В курсе будут изложены основные идеи доказательства Фюрстенберга.
  • Владимир Успенский
    В курсе будет изложена история гипотезы Пуанкаре — с точными определениями и формулировками, но без полных доказательств. Будут объяснены понятия, необходимые для понимания различных версий (топологическая, гладкая, кусочно-линейная) гипотезы Пуанкаре: многообразие, гомотопическая эквивалентность, фундаментальная группа. Слушатели узнают о классификации двумерных компактных многообразий («сферы с ручками и пленками Мебиуса»), об экзотических гладкостях на сферах и на R^4 и о том, что одна из версий гипотезы Пуанкаре (гладкая 4-мерная) остается открытой. Мы обсудим также различные версии проблемы Шенфлиса: ограничивает ли вложенная (n–1)-мерная сфера в R^n вложенный n-мерный шар? Некоторые из этих версий остаются открытыми проблемами.
  • Михаил Цфасман
    У древних греков было две никак не связанных между собой науки — арифметика и геометрия. В новое время математики осознали, что геометрические методы можно применять к арифметике, и наоборот. Двадцатый век пошёл много дальше. Сегодня целые числа для нас — геометрический объект ничуть не в меньшей степени, чем окружность. Осознание этого проходит через алгебру и алгебраическую геометрию. На этом пути была доказана великая теорема Ферма, но до неё мы, скорее всего в этих лекциях не дойдем. А впереди маячит гипотеза Римана, до которой не дойдём точно…
  • Сергей Новиков
    В совместной работе с И. Дынниковым мы предложили дискретный вариант комплексного анализа, который стартует с решётки правильных треугольников на плоскости. Нам представляется, что этот подход лучше обычного подхода, использующего квадратную решётку.
  • Виктор Клепцын
    Рассмотрим прямоугольник, составленный из маленьких правильных шестиугольных плиток. Подкинем для каждой из этих плиток монетку, и, если выпадет орел, объявим ее открытой, а иначе закрытой. С какой вероятностью от левого края прямоугольника до правого можно дойти путем, проходящим только по открытым плиткам? Этим и многими другими схожими вопросами занимается теория протекания. Ответ на вопрос о вероятности пробоя дается (на первый взгляд пугающей) формулой Карди, предсказанной им в 1991 г. из соображений конформной теории поля. Строго эта формула — в гораздо более приятно выглядящей переформулировке Л. Карлесона — была доказана лишь десять лет спустя С. К. Смирновым в его работах 2001-го года (одних из тех, за которые в 2010-м он получил премию Филдса). В нашем курсе мы, хоть и не в деталях, обсудим доказательство этой формулы — опирающееся на такую удивительную вещь, как дискретный комплексный анализ.
  • Каким образом появились числа и как они повлияли на развитие человечества – эти вопросы в центре внимания 5-серийного проекта. В эпизодах, которые пронесут нас сквозь время и пространство, мы увидим, что математика играла важную роль в Древнем Египте и Греции, Индии, Средневековой Европе и продолжает играть сейчас в нашем современном мире.
  • Георгий Шабат
    Пифагоровой тройкой называются три натуральных числа равные длинам сторон некоторого прямоугольного треугольника. Ещё древние вавилоняне умели находить такие тройки, причём огромных размеров и не пропорциональные друг другу. С современной точки зрения, такая задача равносильна нахождению точек с рациональными координатами на единичной окружности, стандартно вложенной в координатную плоскость. Успехи вавилонян объясняются тем, что множество таких точек бесконечно; в течение тысячелетий постепенно выяснилось, что большинство плоских кривых этим свойством окружности не обладает. Однако полная ясность наступила лишь в двадцатом веке: было обнаружено, что всё дело в топологии комплексификации кривой. На лекции будет рассказано об истории этих исследований и о проблемах, остающихся на сегодняшний день открытыми.
  • В середине XIX века были сделаны открытия, которые в корне изменили алгебру и привели к ее окончательному отделению от арифметики. История открытия алгебры кватернионов и булевой алгебры.
|1|2|3|4|5|…|15| >>>