x, y, z

Река Конвея и парус Арнольда

Александр Веселов

Комментарии: 0

Рассмотрим квадратичную форму Q от двух переменных с целыми коэффициентами и зададимся вопросом, какие значения она может принимать на целочисленной решетке. В частном случае стандартной евклидовой формы это классический вопрос о том, когда заданное натуральное число представляется как сумма двух квадратов, исследованный Гауссом.

Около 20 лет назад английский математик Джон Конвей предложил геометрический подход к этому вопросу, используя плоское бинарное дерево. Получаемое описание называется топографом формы. В случае когда форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, они разделяются бесконечным путем на этом дереве, называемым рекой Конвея.

Я расскажу, как река Конвея связана с парусом Арнольда из геометрической теории цепных дробей на целочисленной решетке, восходящей к Клейну. Подробности будут объяснены в моем курсе «Алгебра и геометрия цепных дробей».

Веселов Александр Петрович — доктор физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, г. Дубна
23 июля 2018 г.
Комментарии: 0