x, y, z

Законы сохранения импульса и момента вращения

Комментарии: 0
Закон сохранения линейного импульса

Начав двигаться, тело имеет тенденцию продолжать движение. Первый закон механики Ньютона гласит: если тело движется, то при отсутствии внешних воздействий оно так и будет двигаться дальше прямолинейно и равномерно до тех пор, пока оно не подвергнется воздействию внешней силы. Эту тенденцию называют линейным импульсом. С ней часто сталкиваемся в повседневной жизни. Бильярдный шар катится по столу с той скоростью, которая придана ему кием, копье летит с той скоростью, с которой его метнули.

Физики определяют линейный импульс тела $\vec{p}$ как его массу $m$, умноженную на его скорость $\vec{v}$:

$\vec{p} = m\vec{v}$.

Буквы $\vec{p}$ и $\vec{v}$ отмечены стрелкой, чтобы показать, что эти величины характеризуются не только абсолютным значением, но и направлением. Так, применительно к скорости, мы не просто говорим, что машина движется со скоростью 40 км/ч, а что она движется со скоростью 40 км/ч, например, на север. Величина, которая кроме абсолютного значения имеет направление, называется вектором.

Понятно, что, согласно первому закону Ньютона, количество движения отдельно взятого тела в отсутствии внешних сил сохраняется. Закон же сохранения импульса гласит, что при соблюдении этого условия сохраняется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую механическую систему. В таком представлении система из двух бильярдных шаров массой $m$, пущенных друг навстречу другу с одинаковыми скоростями $v$, будет иметь нулевой момент импульса, хотя каждый из шаров по отдельности и обладает импульсом $mv$. Однако импульсы шаров взаимно погасятся вследствие их векторной природы (поскольку их скорости противоположно направлены).

Вообще, любая величина, характеризующая систему и не изменяющаяся в результате взаимодействия внутри нее, называется консервативной, и для нее имеется свой закон сохранения. В частности, в механических системах, помимо закона сохранения импульса действует еще и закон сохранения момента импульса или количества вращения — величины, которая описывает количество движения тел вокруг собственной оси и по изогнутым траекториям.

Что же происходит при прямолинейном соударении двух бильярдных шаров на встречных курсах? Происходит сразу несколько явлений. Во-первых, в момент столкновения шары слегка деформируются и часть их кинетической энергии переходит в тепловую. Во-вторых, мы знаем, что совокупный импульс системы из двух шаров не изменяется и остается равным нулю. Значит, видя, что один шар откатывается после лобового столкновения в обратном направлении с определенной скоростью, мы можем с уверенностью сказать, что второй шар в данный момент времени катится в обратном направлении с ровно той же скоростью.

Второй закон механики Ньютона, кстати, можно легко интерпретировать и как формулу, согласно которой скорость изменения импульса равна силе, приложенной к замкнутой системе. Таким образом, чтобы изменить импульс системы, требуется внешняя сила. В молекулярно-кинетической теории, например, это наглядно просматривается: давление объясняется импульсами ударов молекул о стенки сосуда, содержащего газ. Поскольку молекулы газа упруго отскакивают в обратном направлении, их импульсы меняются на противоположные, а значит, стенка оказывает силовое воздействие на ударяющиеся об нее молекулы. Но это означает, что и молекулы, в силу третьего закона Ньютона, оказывают силовое воздействие на стенку, которое и воспринимается нами как давление.

Закон сохранения момента импульса

Вращающееся вокруг своей оси тело при отсутствии тормозящих вращение сил так и будет продолжать вращаться. Физики привычно объясняют этот феномен тем, что такое вращающееся тело обладает неким количеством движения, выражающимся в форме углового момента количества движения или, кратко, момента импульса или момента вращения. Момент импульса вращающегося тела прямо пропорционален скорости вращения тела, его массе и линейной протяженности. Чем выше любая из этих величин, тем выше момент импульса. Если теперь допустить, что тело вращается не вокруг собственного центра массы, а вокруг некоего центра вращения, удаленного от него, оно всё равно будет обладать вращательным моментом импульса. В математическом представлении момент импульса $L$ тела, вращающегося с угловой скоростью $\omega$, равен $L = I\omega$, где величина $I$, называемая моментом инерции, является аналогом инерционной массы в законе сохранения линейного импульса, и зависит она как от массы тела, так и от его конфигурации — то есть, от распределения массы внутри тела. В целом, чем дальше от оси вращения удалена основная масса тела, тем выше момент инерции.

Сохраняющейся или консервативной принято называть величину, которая не изменяется в результате рассматриваемого взаимодействия. В рамках закона сохранения момента импульса консервативной величиной как раз и является угловой момент вращения массы — он не изменяется в отсутствие приложенного момента силы или крутящего момента — проекции вектора силы на плоскость вращения, перпендикулярно радиусу вращения, помноженной на рычаг (расстояние до оси вращения). Самый расхожий пример закона сохранения момента импульса — фигуристка, выполняющая фигуру вращения с ускорением. Спортсменка входит во вращение достаточно медленно, широко раскинув руки и ноги, а затем, по мере того, как она собирает массу своего тела всё ближе к оси вращения, прижимая конечности всё ближе к туловищу, скорость вращения многократно возрастает вследствие уменьшения момента инерции при сохранении момента вращения. Тут мы и убеждаемся наглядно, что чем меньше момент инерции $I$, тем выше угловая скорость $\omega$ и, как следствие, короче период вращения, обратно пропорциональный ей.

Следует отметить, однако, что не любая приложенная извне сила сказывается на моменте вращения. Предположим, вы поставили свой велосипед «на попа» (колесами вверх) и сильно раскрутили одно из его колес. Понятно, что, приложив тормозящую силу трения к любой окружности колеса (нажав на ручной тормоз, приложив руку к резине или вращающимся спицам), вы, тем самым, снизите угловую скорость его вращения. Однако, сколько бы вы ни старались, вы не остановите вращения колеса, пытаясь воздействовать на ось вращения. Иными словами, для изменения момента вращения необходима не просто сила, а момент силы — то есть, сила, приложенная по направлению, отличному от направления оси вращения, и на некотором удалении от нее. Поэтому закон сохранения момента вращения можно сформулировать и несколько иначе: момент вращения тела изменяется только в присутствии момента силы, направленной на его изменение.

И тут возникает важное дополнительное замечание. До сих пор мы говорили об изменении момента вращения в плане ускорения или замедления вращения, как такового, но при этом тело продолжало вращаться всё в той же плоскости, и ось вращения не изменяла своей ориентации в пространстве. Теперь предположим, что момент силы приложен в плоскости, которая отличается от плоскости, в которой вращается тело. Такое воздействие неизбежно приведет к изменению направления оси вращения. В отсутствие же внешних воздействий закон сохранения момента импульса подразумевает, что направление оси вращения остается неизменным.

Этот принцип широко используется в так называемых гироскопических навигационных приборах. В их основе лежит массивное, быстро вращающееся колесо — гироскоп, — которое не изменяет своей ориентации в пространстве, благодаря чему прибор стабильно указывает заданное направление, вне зависимости от угла поворота субмарины, самолета или спутника, на котором он установлен. С технической точки зрения гироскоп представляет собой массивный диск на осевых подшипниках низкого трения, раскрученный с очень большой скоростью.

Идеальный гироскоп — это диск бесконечной массы, вращающийся с бесконечной скоростью в идеальном вакууме. В таком случае закон сохранения момента импульса подскажет нам, что направление оси такого идеального гироскопа не отклонится от исходной ни на одну угловую секунду, и он вечно будет указывать нам на изначально заданную точку. Искусственные спутники Земли, как правило, оснащаются несколькими независимыми гироскопами, вращающимися в разных плоскостях, и бортовая электроника, сопоставляя данные нескольких гироскопических компасов и усредняя поправки на возможные отклонения их показаний, безошибочно определяет координаты и ориентацию спутника в околоземном пространстве.

Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».
Джеймс Трефил — профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.
Комментарии: 0