Потеря и спасение факториальности
В кольце целых чисел каждый элемент (больше единицы) можно однозначно представить в виде произведения простых, с точностью до порядка сомножителей, это свойство называется факториальностью. Другие «области чисел» удовлетворяют этому свойству тоже, и факториальность вне рамок обыкновенных целых применяется в теории чисел, чтобы найти все решения некоторых диофантовых уравнений.
К сожалению, свойство факториальности работает не во всех ситуациях, где возникает понятие простых. К счастью, используя более широкую точку зрения о значении разложения на простых (а именно, какие объекты мы хотим разлагать), можно спасти идею факториальности во многих случаях.
Мы обсудим этот феномен для квадратичных колец целых, и увидим как некоторая абелева группа точно измеряет отклонение нового типа факториальности от классической факториальности.
От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов.
Keith Conrad, Ph.D. Harvard University 1997.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20-26 июля 2017 г.
Похожее
-
Алексей Белов
Планируется рассказать про свойства символьных последовательностей, и замечательные теоремы с ними связанные и их обобщения. Например, известно, что следующие классы слов почти эквивалентны: буквы a, b самым тщательным образом перемешаны, т.е. в кусках одинаковой длинны количество символов каждого сорта отличается не более чем на 1; количество различных подслов длины n равно n+1, т.е. минимально возможное; слово получается из поворота окружности на величину α при фиксации буквой a попадания на дугу длины α. Обобщение этой теоремы дает задача Арнольда о перекладывания отрезков. Красивые элементарные факты о поведении слов в которые добавляется не слишком много запретов, отражаются на теореме Голода–Шафаревича. Наверное, стоит упомянуть также теорему Ширшова о высоте.
-
Иван Панин
В курсе будет рассказано о замечательной теории, созданной В. Воеводским. В частности, будут даны и мотивированы определения гомологий Суслина, мотивных гомологий и когомологий Воеводского. Будет дана конструкция его категории мотивов алгебраических многообразий. Все эти построения опираются на понятия «многозначных» отображений и пучков. Оба последние понятия будут введены, пояснены и снабжены примерами. От слушателей предполагается знание того, что такое поле, векторное пространство, абелева группа и умение работать с многочленами нескольких переменных.
-
Алексей Савватеев
Вводный миникурс по алгебре, ориентированный на студентов-первокурсников, но всем остальным может быть интересно тоже.
-
Рид Майлс
I leave the title and abstract as vague as possible, so that I can talk about whatever I feel like on the day. Many varieties of interest in the classification of varieties are obtained as Spec or Proj of a Gorenstein ring. In codimension ⩽3, the well known structure theory provides explicit methods of calculating with Gorenstein rings. In contrast, there is no useable structure theory for rings of codimension ⩾4. Nevertheless, in many cases, Gorenstein projection (and its inverse, Kustin–Miller unprojection) provide methods of attacking these rings. These methods apply to sporadic classes of canonical rings of regular algebraic surfaces, and to more systematic constructions of Q-Fano 3-folds, Sarkisov links between these, and the 3-folds flips of Type A of Mori theory.
-
Арифметико-геометрическая прогрессия — последовательность чисел u_{n}, задаваемая рекуррентным соотношеним: u_{1}=a_{1}, u_{n+1}=qu_{n}+d, где q и d — постоянные числа. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при q=1) и геометрическая прогрессия (при d=0).
-
Алексей Савватеев
В миникурсе ликвидируются пробелы школьного образования, относящиеся к теории групп и к конкретным примерам групп. Будут установлены базовые факты про вычеты, доказана малая теорема Ферма, исследованы подгруппы групп перестановок на трёх и четырёх символах, введено понятие нормальной подгруппы данной группы и простоты группы. Затем будет доказано, что группа чётных перестановок на n≥5 символах — простая (что откроет желающим дорогу к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах), а также что подгруппа переносов плоскости (пространства) — нормальная в группе всех (аффинных) движений соответствующего объекта. Маломерные группы движений получат полную характеризацию (теорема Шаля и законы композиции движений разных видов).
-
Валерий Опойцев
Зеркальная симметрия. Изучение системы по реакциям на внешние воздействия. Нечувствительность к группам преобразований. Законы сохранения в механике как следствие инвариантности к преобразованиям Галилея. Поднимемся от зеркальной симметрии к общему понятию симметрии, каковым считают явление неизменности/инвариантности того или иного объекта при определённых преобразованиях/изменениях. «Объектом» может быть что угодно: геометрическая фигура, уравнение движения, модель того или иного явления и т. п.
-
Александр Буфетов
Лягушка сидит в вершине квадрата и раз в десять секунд принимает решение и совершает прыжок: с вероятностью p по часовой стрелке, с вероятностью q против часовой стрелки, с вероятностью 1−p−q на месте. Через десять секунд вновь решая куда прыгнуть, лягушка принимает во внимание лишь ту вершину, в которой она находится. Таким образом, положения лягушки в различные моменты времени не независимы, однако, при фиксированном настоящем, будущее лягушки независимо от её прошлого. В честь открывшего их нашего великого соотечественника Андрея Андреевича Маркова такие системы испытаний называют цепями Маркова. Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию марковских процессов со счётным числом состояний.
-
Сергей Ландо
Числа Гурвица были введены А. Гурвицем в конце 19 века. Они перечисляют разветвленные накрытия двумерных поверхностей и имеют множество других проявлений — перечисляют разнообразные классы графов, являются коэффициентами связи в симметрических группах, представляют собой инварианты Громова–Виттена комплексных кривых.
-
Александр Кузнецов
Система корней — этот конечный набор векторов в евклидовом пространстве, такой что для любого из этих векторов v зеркальная симметрия s_v относительно гиперплоскости H_v, перпендикулярной к v, сохраняет систему, причем для всякого вектора v' из системы s_v(v') − v' является целым кратным вектора v. Оказывается, системы корней можно полностью классифицировать. Возникает несколько «серий» (бесконечных последовательностей) и несколько «исключительных» систем. Мы поговорим о системах корней в пространствах произвольной размерности, их классификации, и возникающих в связи с этим диаграммах Дынкина.
Далее >>>
|
|
