Ортогональные полиномы

Александр Буфетов, Севак Мкртчян

Часть 1

Часть 2

Часть 3

Часть 4

Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином $P_n(x)$ степени $n$ со старшим коэффициентом $1$ , такой что величина

$\max_{x\in[-1,1]}|P_n(x)|$

принимает наименьшее возможное значение.

Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы даются формулой

$P_0(x)=1,\qquad P_n(x)=2^{1-n}\cos(n \arccos x),\quad n>1$ .

Последовательность полиномов Чебышева — классический пример семейства ортогональных полиномов. Общее определение таково.

Рассмотрим на отрезке $[a,b]$ положительную непрерывную функцию $\rho(x)$ . Семейство полиномов $P_n,\ n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ , называется семейством ортогональных полиномов с весом, если

полином $P_n$ имеет степень $n$ ;
при $n_1 \ne n_2$ выполнено

$\int_{a}^{b}P_{n_1}(x)P_{n_2}(x)\rho(x)dx=0$ .

Такое семейство $\{P_n\}$ единственно с точностью до умножения каждого $P_n$ на ненулевую константу. Упражнение для читателя: с каким весом ортогональны на отрезке $[-1,1]$ полиномы Чебышева?

Если $[a,b]=[-1,1]$ , а $\rho(x)\equiv 1$ , то возникают так называемые полиномы Лежандра, впервые возникшие в работе Лежандра о движении планет в Солнечной системе и возникающие в самых разных областях математики.

Например, рассмотрим матрицу растущего формата, элементы которой задаются случаем. Как ведут себя собственные числа этой матрицы? Мы увидим, что ключевую роль в этой задаче играют как раз полиномы Лежандра.

Для понимания курса достаточно уметь интегрировать элементарные функции в объёме программы средней школы; таким образом, курс доступен школьникам.

Буфетов Александр Игоревич, доктор физико-математических наук;
Мкртчян Севак Мартинович.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна.
19-28 июля 2011 г.

Комментарии: 0

Похожее

Вариационные задачи

Владимир Протасов

Вариационное исчисление — наука о поиске минимума функции в бесконечномерном пространстве. В отличие от привычных нам задач на минимум, когда нужно оптимальным образом выбрать число (параметр), или, скажем, точку на плоскости, в вариационных задачах требуется найти оптимальную функцию. При этом, одним и тем же набором средств решаются задачи самого разного происхождения: из классической механики, геометрии, математической экономики и т.д. Мы начнем со старых задач, известных с XVII века, и, перекидывая мостки от одной задачи к другой, быстро доберемся до современных результатов и нерешенных проблем.
Теоремы о неподвижных точках

Валерий Опойцев

Речь о теореме Брауэра и её обобщениях. В поле зрения теорема о еже, фиксирующая невозможность причесать сферу без макушки. Эффективность инструмента (степень отображения, вращение векторного поля) иллюстрируется также на задачах о единственности решения и о количестве решений.
Полнота и минимальность

Александр Буфетов

Последовательности {a_n} вещественных чисел сопоставим последовательность экспонент {exp⁡(a_n)} на отрезке [−π,π]. При каких условиях на последовательность {a_n} эта система полна, то есть любую функцию можно приблизить линейной комбинацией наших экспонент? Вопрос становится особенно интересным, если последовательность {a_n} определяется случаем.
День числа Пи

Александр Буфетов

Традиция отмечать неофициальный день числа Пи зародилась в Соединенных Штатах почти 30 лет назад, когда известный американский физик Ларри Шоу обратил внимание на то, что 14 марта совпадает с первыми тремя цифрами знаменитой "архимедовой константы" — 3,14. На следующий год, с подачи Шоу, в этот день посетителей музея начали угощать пирогами (из-за сходного звучания слов "пирог" и "Пи" английском языке "pi" — "pie"), после чего к ежегодному отмечанию этой даты постепенно присоединились физики и математики со всего мира.
Примеры и применения метрических пространств

Иван Ященко

Мы обсудим понятие, которое все используют, но о котором обычно рассказывают по ходу дела — о метрическом пространстве. Постараемся разобрать красивые примеры, обсудить факты и методы применяемые повсюду: от дифференциальных уравнений до теории кодирования и стеганографии — пополнении, принципе сжимающих отображений, теореме Бэра, компактности, теореме Вейерштрасса…
Метрические пространства

Иван Ященко

Будет рассказано о понятии, которое все используют, но обычно рассказывают по ходу дела — метрическом пространстве. Будет разобрано много красивых примеров, рассказано о фактах и методах применяемых повсюду: от дифференциальных уравнений до теории кодирования — пополнении, принципе сжимающих отображений, теореме Бэра.
Диаграммы Юнга, ортогональные полиномы и случайные матрицы

Александр Буфетов, Никита Козин

Диаграммы Юнга дают естественный способ параметризовать разбиение натурального числа в сумму невозрастающих слагаемых. Вопросом о количестве диаграмм Юнга с данным числом клеток занимался еще Эйлер.
Марковские процессы

Александр Буфетов

Лягушка сидит в вершине квадрата и раз в десять секунд принимает решение и совершает прыжок: с вероятностью p по часовой стрелке, с вероятностью q против часовой стрелки, с вероятностью 1−p−q на месте. Через десять секунд вновь решая куда прыгнуть, лягушка принимает во внимание лишь ту вершину, в которой она находится. Таким образом, положения лягушки в различные моменты времени не независимы, однако, при фиксированном настоящем, будущее лягушки независимо от её прошлого. В честь открывшего их нашего великого соотечественника Андрея Андреевича Маркова такие системы испытаний называют цепями Маркова. Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию марковских процессов со счётным числом состояний.
Теория КАМ для начинающих

Юлий Ильяшенко

Теория Колмогорова–Арнольда–Мозера отвечает на вопросы типа «Могут ли планеты упасть на Солнце? Если да, то с какой вероятностью? И через какое время?» Математическая постановка задачи: предположим, что массы столь малы, что их притяжением друг к другу можно пренебречь. Тогда траектории движения планет можно посчитать; это сделал ещё Ньютон. Если перейти к реальному случаю, когда взаимное притяжение планет влияет на их орбиты, получится малое возмущение интегрируемой, т.е. точно решаемой, системы. Исследование малых возмущений интегрируемых систем классической механики Пуанкаре считал основной задачей теории дифференциальных уравнений. В лекциях будет рассказано, на уровне, доступном старшим школьникам, об основных идеях теории КАМ. Мы не поднимемся до задачи n тел и классической механики, но обсудим диффеоморфизмы окружности и основной шаг индукционного процесса, предложенного Колмогоровым для задач небесной механики.
Спиноры

Александр Буфетов, Роман Авдеев

Курс посвящён обобщению понятия вращения евклидова пространства. Оказывается, что с каждым евклидовым пространством можно связать новое пространство, объекты которого называются спинорами. Между исходным пространством и пространством спиноров имеется замечательная связь: всякому вращению исходного пространства можно сопоставить преобразование пространства спиноров, определённое однозначно с точностью до знака. Получаемые таким образом преобразования пространства спиноров образуют группу, называемую спинорной группой.

Далее >>>

∀ x, y, z

Ортогональные полиномы

Александр Буфетов, Севак Мкртчян

Теги

Похожее