x, y, z

Смысл соотношения E0=mc^2

Эмиль Ахмедов

Комментарии: 0

Практически все знают соотношение E0=mc2. Любой образованный человек знает, что E=mc2. При этом забывают, что если тоньше приглядеться и неколлоквиально смотреть на него, то соотношение выглядит как E0=mc2, у E есть индекс 0, и оно связывает энергию покоя с массой и скоростью света. При этом надо помнить, что энергия здесь ключевое понятие. Значит, коллоквиально говоря, это соотношение говорит о том, что любая масса — это энергия, но не любая энергия — это масса. Вот об этом не надо забывать, что не любая энергия — это масса! Любая масса — это энергия, но обратное неверно. И не для любой энергии, а только для энергии покоя верно, что она равна mc2.

Откуда следует это соотношение? Есть пространство-время Минковского, в нем существует понятие «4-вектор» (четырехмерное пространство). Четыре-вектор — это практически то же самое, что и три вектора (сейчас мы с условностями оговоримся).

В трехмерном пространстве есть вектор. Можно взять его начало в какой-то точке, и он куда-то направлен. Можно эту точку начала перенести в начало координат, и будет вектор, который куда-то направлен. Вектор тогда задается тремя координатами его конца, если его начало лежит в начале координат. Длина вектора вычисляется следующим образом. Вы берете квадрат его иксовой координаты, прибавляете квадрат игрековой координаты, прибавляете квадрат зетовой координаты, и квадратный корень из этого дает вам длину вектора. Так в школе определяется вектор в трехмерном пространстве. Что такое пространство-время — обсуждается отдельно. Там есть четвертая координата — c умножить на время, так что четвертая координата тоже измеряется в метрах. Но причина не в том, что там c стоит, а в определении длин векторов в пространстве-времени.

В пространстве-времени есть четырехмерный вектор, он называется 4-вектор. У него есть три пространственных направления, четвертое во времени. Среди четырех векторов есть 4-вектор импульса частицы. Еще раз подчеркну, что такое вектор: трехмерный вектор — это иксовая компонента, это игрековая компонента и зетовая компонента, а у простейшего 4-вектора есть компоненты ct, x, y и z — четыре компонента. Свойством пространства-времени Минковского является то, что квадрат этого вектора (то есть величина, модуль этого вектора) есть квадратный корень не из ct2+x2+y2+z2, а квадратный корень из ct2–x2–y2–z2. Так вычисляются длины 4-векторов. Это следует из совокупности опытных данных.

Есть 4-вектор импульса для частицы. Его компонентами являются энергия частицы поделить на скорость света (это нулевая компонента) и три компонента ее импульса — px, py и pz: компоненты импульса вдоль иксового направления, вдоль игрекового направления и вдоль зетового направления. Квадрат 4-импульса частицы, то есть E поделить на c2 минус квадрат трехмерного импульса, равняется массе этой частицы в квадрате умножить на скорость света в квадрате. Это следует из совокупности опытных данных, такое свойство 4-вектора частицы.

Если частица имеет массу 0, E2/c2–p2=0. Например, для фотона верно это соотношение. В частности, из него следует известное всем соотношение: энергия фотона есть ħω, где ħ — это постоянная Планка, а ω — это циклическая частота. Трехмерный импульс фотона — это ħ на волновой вектор, после чего сразу получается, что модуль волнового вектора для фотона равен его частоте поделить на c. Такое известное свойство для фотонов.

Теперь для частицы с массой m соотношение опять же выглядит E2–p2=m2c2. Как видно из этого соотношения, E не равняется mc2. E зависит от импульса, если частица движется, то для нее E не равняется mc2, оно больше. E есть квадратный корень из mc2, возведенное в квадрат, плюс p2 умножить на c2. Это следует из формулы. И только если импульс частицы равен нулю, то E0=mc2, как следует из той формулы, которую я только что вербально сообщил. Только если импульс частицы равен нулю, E=mc2. То есть только энергия покоя частицы равняется mc2, а не любая другая.

Люди обычно представляют себе, что из этой формулы следуют многие реакции. Например, что легкие частицы можно разогнать до больших энергий и столкнуть, поэтому могут рождаться более тяжелые частицы. Это утверждение следует не из формулы E=mc2, а из более общей формулы, в которой присутствует импульс. Вы можете разогнать две частицы, например два протона, в Большом адронном коллайдере до таких энергий, что в результате они родят частицу, которая будет нести ненулевой импульс. Она будет двигаться и иметь массу большую, чем эти два протона, вместе взятых. Это является следствием свойств 4-импульсов. Большая часть утверждений из кинематики специальной теории относительности следует из формул для 4-импульсов частиц.

Можно получить одно замечательное утверждение, которое следует из этой формулы. Всем известно, что электрон может излучать электромагнитные волны, то есть фотон. Но верно это, только если на электрон действует какая-то сила, то есть когда он двигается с ускорением, тогда он может рождать фотон. Если на электрон действует сила, то для него уже эта формула E/c2–p2=mc2 неверна. Эта формула верна, только если частица двигается свободно, то есть на нее не действует сила.

Можно воспользоваться этой формулой и вывести следующий факт: свободно двигающийся электрон не может излучить фотон. То есть если вы рассмотрите движение свободного электрона и зададитесь вопросом, может ли он излучить фотон и продолжить движение с какой-то измененной скоростью… Он отдал какой-то импульс фотону и продолжил движение. При этом есть закон сохранения 4-импульса, который есть совокупность, одновременно закон сохранения энергии плюс закон сохранения импульса.

Одновременно удовлетворить закон сохранения энергии и закон сохранения импульса для того процесса невозможно. Свободный электрон не может излучить свободный фотон, и это следует из этой кинематической формулы. То есть на электрон должны действовать силы, чтобы он излучал. Для чего это важно? Оказывается, что если вы рассмотрите ситуацию более детально, то, если бы электрон мог двигаться со скоростью большей, чем скорость света, он мог бы излучить фотон. Ничему бы это не противоречило. Вы получили бы много других логических противоречий из этой теории. Но если бы в этом вычислении вы предположили, что электрон может двигаться со скоростью большей, чем скорость света, то он смог бы излучать фотон.

И вышла статья о том, что в Италии на эксперименте OPERA было обнаружено, что нейтрино от ускорителя из Швейцарии до Италии долетают со скоростью большей, чем скорость света. Люди мгновенно задались вопросом: почему они не видят, что эти нейтрино излучают Z-бозоны? Потому что это ничему не противоречит. Они могут излучать, это не противоречит никаким законам сохранения. Значит, это не противоречит вроде бы никаким законам сохранения, кроме закона сохранения энергии импульса. Но никто не видел этого излучения. Это было из логических противоречий. Сам факт, что нейтрино могут двигаться со скоростью большей, чем скорость света, противоречит теории относительности, поэтому почему бы и этому факту мы не нашли противоречий?

Это был аргумент, что что-то там не так. И надо бы детальнее обсудить, потому что наша задача заключается не в том, чтобы описать отдельный какой-то экспериментальный факт, а в том, чтобы уложить его в общую картину, в совокупность опытных данных. И потом, когда перепроверили и увидели, что в эксперименте что-то неправильно измеряли, поэтому нейтрино двигаются на самом деле со скоростью все-таки меньшей, чем скорость света, к сожалению. А то было бы интересно посмотреть, что же происходит, если они все-таки действительно двигаются со скоростью большей, чем скорость света.

Эмиль Ахмедов, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института теоретической и экспериментальной физики имени А. И. Алиханова, профессор кафедры теоретической физики МФТИ.

ПостНаука
Комментарии: 0