x, y, z

Сиракузская последовательность и гипотеза Коллатца

Комментарии: 1
Гипотеза Коллатца (также сиракузская проблема или проблема 3n + 1) — одна из нерешённых проблем математики, названная по имени немецкого математика Лотара Коллатца, предложившего её в 1937 году. Для объяснения сути гипотезы рассмотрим следующую последовательность чисел, называемую сиракузской последовательностью. Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n + 1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.

Например, для числа 3 получаем:

3 — нечётное, 3×3 + 1 = 10
10 — чётное, 10:2 = 5
5 — нечётное, 5×3 + 1 = 16
16 — чётное, 16:2 = 8
8 — чётное, 8:2 = 4
4 — чётное, 4:2 = 2
2 — чётное, 2:2 = 1
1 — нечётное, 1×3 + 1 = 4

Очевидно, что, начиная с 1, начинают циклически повторяться числа 1, 4, 2.

Для числа 27 получаем:

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …

Последовательность пришла к единице только через 111 шагов, достигнув в пи́ке значения 9232.

Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу.

График сиракузской последовательности для числа 27.
График сиракузской последовательности для числа 27.

Гистограмма длин сиракузских последовательностей для чисел от 1 до 100 миллионов. Длина отмечена на оси х, частота на оси у.
Гистограмма длин сиракузских последовательностей для чисел от 1 до 100 миллионов. Длина отмечена на оси х, частота на оси у.

Длины сиракузских последовательностей для чисел от 1 до 9999
Длины сиракузских последовательностей для чисел от 1 до 9999
Комментарии: 1