x, y, z

Группы Шоттки

Наталия Гончарук, Юрий Кудряшов

Комментарии: 0
Часть 1

Часть 2

Часть 3

Часть 4

Параллельный перенос, поворот, поворотная гомотетия, композиция инверсии и осевой симметрии — частные случаи дробно-линейных отображений комплексной плоскости (в общем случае дробно-линейное отображение плоскости — это отображение, при котором точка $z=x+iy$ переходит в точку $\textstyle\frac{az+b}{cz+d}$).

Как известно, инверсия выворачивает круг наизнанку: то, что было внутри, оказывается снаружи, и наоборот.

Говорят, что набор дробно-линейных отображений $f_1,\dots,f_g$ порождает группу Шоттки, если есть набор замкнутых жордановых кривых $\gamma_1,\dots,\gamma_g$, таких что:

  1. Области, ограниченные кривыми $\gamma_j$, не пересекаются.

  2. Под действием отображения $f_j$ точки внутри $\gamma_{2j-1}$ оказываются снаружи $\gamma_{2j}$, а точки снаружи $\gamma_{2j-1}$ — внутри $\gamma_{2j}$.

Группа, порождённая отображениями $f_j$ — это множество всевозможных композиций отображений $f_j$ и обратных к ним. Оказывается, в группе Шоттки длинные композиции ведут себя так: бо́льшую часть плоскости переводят внутрь очень маленькой области.

Кривые γ_j (окружности) и их образы под действием отображений из группы Шоттки, g=2.
Кривые $\gamma_j$ (окружности) и их образы под действием отображений из группы Шоттки, $g=2$.

В курсе мы расскажем, как группа Шоттки связана с:

  1. канторовским множеством;

  2. сферой с $g$ ручками с комплексной структурой;

  3. трёхмерным пространством Лобачевского.

Кроме того, мы расскажем ответы на следующие вопросы:

  1. всегда ли в качестве $\gamma_j$ можно взять окружности?

  2. бывает ли так, что при одном выборе образующих получается взять в качестве $\gamma_j$ окружности, а при другом нет?

Предполагается, что слушатели умеют выполнять арифметические действия с комплексными числами. Курс будет понятен школьникам.

Материалы: ex1.pdf (30 KB), ex2.pdf (22 KB).

Гончарук Наталия Борисовна, Кудряшов Юрий Георгиевич
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20-28 июля 2015 г.
Комментарии: 0