Автоморфизмы аффинного пространства
Автоморфизм  -мерного аффинного пространства — это отображение  , где  — многочлены от переменных  , для которого существует обратное отображение, также заданное многочленами.
Мы начнем с полного описания автоморфизмов прямой. Про автоморфизмы плоскости известно много, но не все; знаменитый открытый вопрос — это проблема якобиана. Мы определим ручные и дикие автоморфизмы, докажем, что все автоморфизмы плоскости являются ручными, и немного поговорим о доказательстве теоремы Шестакова и Умирбаева (2004) о том, что автоморфизм Нагаты трехмерного пространства (1972) является диким. Также мы обсудим свойство бесконечной транзитивности действия группы автоморфизмов и его связь с локально нильпотентными дифференцированиями. Будет сформулирован ряд известных открытых проблем аффинной алгебраической геометрии: проблема сокращения, проблема выпрямления, проблема линеаризации для торов и ее связь с градуировками.
Хорошо бы понять, почему такие важные и элементарно формулируемые утверждения до сих пор не удается ни доказать, ни опровергнуть.
Несмотря на устрашающие слова, курс полностью элементарен и использует только алгебру многочленов.
Материалы к лекции: 1.pdf (93 Kb); 2.pdf (94 Kb); 3.pdf (99 Kb).
Аржанцев Иван Владимирович, доктор физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
21–24 июля 2013 г.
Похожее
-
Иван Аржанцев
Теория кодирования – это отличный повод поговорить о красивых задачах из алгебры и комбинаторики, о линейной алгебре и алгебраической геометрии над конечными полями, конечных геометриях, простых группах и алгоритмах, связанных с передачей информации. Программа курса: Основные задачи теория кодирования. Коды, исправляющие ошибки. Расстояние Хемминга и неравенство треугольника. Предварительные сведения из алгебры. Строение конечных полей. Линейная алгебра над конечными полями. Линейные коды и их характеристики. Код Хемминга. Совершенные коды. Двойственный код и тождество Мак-Вильямса. Эквивалентность кодов. Методы вычисления минимального расстояния для подпространства. Циклические коды и главные идеалы. Алгеброгеометрические коды. Грассманианы и плюккеровы координаты. Грассмановы коды и минимальные расстояния. Точки на минимальной сфере. Алгоритмы декодирования. Синдромы и минимальные представители. Коды Голея. Конечные геометрии и группы Матье.
-
Иван Аржанцев
Знакомая большинству из вас формула Лейбница утверждает, что (fg)′=f′g+fg′. А какие ещё операции обладают аналогичным свойством? Задавшись этим вопросом, естественно определить дифференцирование алгебры А как такое линейное отображение D из A в A, что D(fg)=D(f)g+fD(g) для любых f,g ∈ A. В этом курсе мы поговорим о дифференцированиях коммутативных алгебр, в первую очередь, алгебры многочленов от многих переменных. Хотелось бы описать все дифференцирования и изучить их свойства. Начала этой теории вполне элементарны. В то же время дифференцирования тесно связаны со сложными задачами алгебраической геометрии, теории групп преобразований и теории представлений.
-
Иван Аржанцев
В этом курсе изучается такой замечательный и вполне элементарный объект, как конечномерные коммутативные ассоциативные алгебры над комплексными числами. Здесь достаточно легко доказать первые структурные результаты, но получить полную классификацию едва ли возможно. Мы обсудим различные техники работы с конечномерными алгебрами (максимальные идеалы и локальные алгебры, фильтрации и градуировки, последовательность Гильберта-Самюэля и цоколь) и получим явное описание алгебр малых размерностей. Оказывается, конечномерные алгебры тесно связаны с действиями с открытой орбитой коммутативных групп матриц на аффинных и проективных пространствах. Мы объясним эту связь. В процессе объяснения естественно возникнут такие понятия как экспонента линейного оператора, представление группы и циклический модуль, алгебра Ли и ее универсальная обертывающая.
-
Дмитрий Аносов
Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 16-18 июля 2002 г.
-
Владимир Успенский
Эту формулу нашел Гаусс, он использовал ee в одном из своих доказательств квадратичного закона взаимности. Лишь через несколько лет он сумел доказать, что сумма S_m всегда положительна, так что S_m рано квадратному корню из m. Гаусс записал в дневнике, что его озарение было подобно “вспышке молнии”. Позднее многие известные математики предложили свои доказательства. Одно из самых элегантных принадлежит Дирихле, оно использует ряды Фурье. Предполагается знакомство с понятием сравнения по модулю. Полезно (но необязательно) иметь представление о малой теореме Ферма и о квадратичных вычетах по простому модулю. Знакомства с рядами Фурье не предполагается, необходимые сведения будут сообщены.
-
Аскольд Хованский
Сколько вещественных корней имеет заданный полином с вещественными коэффициентами? Замечательная теорема Штурма дает исчерпывающее решение этой задачи. “Теорема, имя которой я имею честь носить”, – так говорил об этом результате Штурм, который считал его главным достижением своей жизни. Совместна ли заданная система полиномиальных уравнений и неравенств от нескольких вещественных переменных? Теорема Зайденберга–Тарского, отвечающая на этот вопрос, является грандиозным многомерным обобщением теоремы Штурма. В лекциях будет рассказано новое наглядное решение задачи Штурма. Оно несложно переносится на многомерный случай и приводит к доказательству теоремы Зайденберга–Тарского.
-
Сергей Ландо
Что такое каустики, знает всякий, кто когда-либо выжигал по дереву, собирая солнечные лучи с помощью линзы, видел световые блики на дне неглубокого водоема от ряби на поверхности воды или наблюдал игру света, отражающегося от дна чашки. Латинское слово «каустик» означает «жгучий», и им называют множество тех точек в пространстве, в которых собирается больше лучей какого-либо светового потока, чем в соседних точках. Скажем, каустика равномерно излучающей сферы это ее центр — в него приходят все лучи. Однако если сферу немного возмутить — сжать в одном направлении и растянуть в другом, то каустика превращается из точки в очень интересную поверхность, о которой, в основном, и пойдет речь.
-
Владимир Тихомиров
Выпуклый анализ — раздел математики, в котором изучают выпуклые объекты: выпуклые множества, выпуклые функции и выпуклые экстремальные задачи. Таким образом, этот раздел имеет пересечения с геометрией (выпуклость — геометрическое понятие), анализом (функция — одно из основных понятий анализа) и теорией экстремума. Основная часть этой лекции будет посвящена двуединству геометрического и алгебро-аналитического подходов к понятию выпуклости.
-
Георгий Шабат
Программа курса: История. Первые оценки. Проблема соизмеримости длины окружности с ее диаметром. Бесконечные ряды, произведения и другие выражения для π. Сходимость и ее качество. Выражения, содержащие π. Последовательности, быстро сходящиеся к π. Современные методы вычисления π, использование компьютеров. Об иррациональности и трансцендентности π и некоторых других чисел. Предварительных знаний для понимания курса не требуется.
-
Владимир Успенский
Как известно, ежа нельзя причесать. Иными словами, на двумерной сфере нет касательного векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Трехмерная сфера ведет себя в этом отношении совсем иначе: на ней можно построить три касательных векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Это означает, что трехмерная сфера параллелизуема. Возникает вопрос, для каких n сфера размерности n–1 параллелизуема. С этим вопросом тесно связан другой: для каких n на n-мерном эвклидовом пространстве можно ввести билинейное умножение, при котором произведение любых двух ненулевых векторов ненулевое. Рассматривая вещественные числа, комплексные числа, кватернионы или октонионы, мы видим, что это можно сделать, если n принимает одно из значений 1, 2, 4, 8. Оказывается, что этот список значений и является ответом на оба поставленных выше вопроса. Это трудная теорема. Ее можно доказать методами К-теории. Курс будет посвящен объяснению основных идей доказательства.
Далее >>>
|
|
