x, y, z

Теневое исчисление

Сергей Ландо

Комментарии: 0
Лекция 1
20 июля 2008 г.

Лекция 2
21 июля 2008 г.

Аннотация:

Бином Ньютона

$$(x+y)^n=\tbinom{n}{0}x^n+\tbinom{n}{1}x^{n-1}y+\tbinom{n}{2}x^{n-2}y^2+\cdots+\tbinom{n}{n}y^n$$

(здесь $\tbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ это биномиальный коэффициент, обозначаемый также через $C_n^k$) можно интерпретировать как свойство последовательности степеней $x^0,x^1,x^2,\dots$ Оказывается, эта последовательность — не единственная последовательность с таким свойством. Например, если мы рассмотрим последовательность многочленов

$$(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)$$

(«нисходящие факториалы»), то для нее также

$$(x+y)_n=\tbinom{n}{0}(x)_n+\tbinom{n}{1}(x)_{n-1}(y)_1+\tbinom{n}{2}(x)_{n-2}(y)_2+\cdots+\tbinom{n}{n}(y)_n$$

(проверьте!). Такие последовательности многочленов называются биномиальными, их много, и многие из них оказываются очень интересными. Долгое время наличие у биномиальных последовательностей многочисленных общих свойств воспринималось как нечто таинственное и необъяснимое, почему их изучение и было названо umbral calculus, т.е. теневое исчисление. Работы Рота в 60-х годах прошлого века сорвали с теневого исчисления покров тайны, однако не уменьшили интерес к биномиальным последовательностям, поскольку они регулярно возникают в самых разных областях математики. На занятиях мы обсудим, как выписывать все биномиальные последовательности и какие у них свойства. Все необходимые для этого выходящие за рамки школьной (а изредка и университетской) программы сведения будут сообщены.

Материалы к лекции: [pdf 364 KB]

Ландо Сергей Константинович, доктор физико-математических наук.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20-21 июля 2008 г.
Комментарии: 0