x, y, z

Лекции по математическому анализу

Валерий Опойцев

Комментарии: 0
Матанализ традиционно включает в себя дифференциальное и интегральное исчисление. С теми или иными отступлениями и дополнениями. Вплоть до премудростей функционального анализа. Но в любом случае всё начинается с первой ступени:

  1. Последовательности и пределы
  2. Производная, свойства, производные элементарных функций
  3. Неопределённый и определённый интеграл

Сюда можно добавить двойные, тройные и криволинейные интегралы, частные производные, простейшие дифференциальные уравнения. Это тот минимум, с которого начинается высшее математическое образование. Независимо от того, занимаетесь ли вы самообразованием, учитесь в школе или двигаетесь по университетской колее.

Часть видео лекций идентичны школьным, потому что видео объяснения завязаны на суть, а не на объём. Тексты, разумеется, отличаются, поскольку студенческие варианты шире, иногда существенно. Многие темы полностью выходят за рамки школьного варианта матанализа, но школьники вполне могут поинтересоваться, что там за горизонтом. С точки зрения трудности освоения тут всё приблизительно на том же уровне. Зато в понимании теории функций возникают качественные прорывы.

1. Последовательности и пределы
Некоторая канитель с определениями. Зачем нужны последовательности Коши.

2. Дифференцирование, производная
Понятие производной. Правила дифференцирования. Дифференциалы.

3. Дифференцирование, производные. Часть 2
Формулы производных элементарных функций, стандартные трюки.

4. Разложение Тейлора
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Простой вывод формулы Тейлора и оценки остаточного члена. Кое что о степенных рядах.

5. Как работают производные
Использование производных для оптимизации. Примеры решения динамических задач. Кинематический сюрприз. Раскрытие неопределённостей.

6. Контрпримеры и парадоксы
Рассматриваются примеры, где суть противоречит интуитивным представлениям. Теоремы выстилают асфальт в допустимых направлениях, парадоксы — не дают свалиться в кювет. Однако вторые манят, первые отпугивают.

7. Интеграл
Неопределённый и определённый интегралы. Техника интегрирования. Некоторые приложения. Несобственные интегралы.

8. Дифференциальные уравнения
Простейшие уравнения и описание физических объектов типа маятника или колебательного контура. Почему в таких моделях всегда возникает экспонента, и почему без комплексных чисел здесь трудно обойтись.

9. Функции нескольких переменных
Частные производные. Поверхности постоянного уровня. Градиент, свойства, интерпретация.

10. Приращения и дифференциалы
Частные производные. Полное приращение функции. Полный дифференциал. Градиент. Теорема о среднем.

11. О роли повторных пределов
Повторные и двойные пределы. Можно ли менять порядок дифференцирования, дифференцировать интеграл по параметру под знаком интеграла, — это вопросы равенства повторных пределов.

12. Функциональные ряды
Сходимость функциональных рядов. Степенные ряды. Радиус сходимости. Ряды Фурье.

Лекции читает Опойцев Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН.

Дополнительные материалы: oschool.ru
Комментарии: 0