5. Парадоксы, связанные с бесконечностью / Парадоксы теории множеств

Иван Ященко

5. Парадоксы, связанные с бесконечностью

С бесконечными множествами мы уже встречались и даже установили один удивительный факт: множества $\mathbb{N} \setminus \{1\}$ и $\mathbb{N}$ равномощны. Мы знаем, что если к конечному множеству добавить элемент, то полученное множество неравномощно тому, которое было{2}. Это очень важное различие между конечными и бесконечными множествами, и даже определение бесконечного множества в некоторых учебниках дается так: множество называется бесконечным, если оно равномощно себе плюс еще один элемент.

А теперь — еще одна история.

5.1. Дед Мороз и конфеты

На Новый год к детишкам пришел Дед Мороз с мешком конфет. Конфет в мешке бесконечно много, и они занумерованы натуральными числами^*9. На каждой конфете написан ее номер, и для каждого натурального числа есть ровно одна конфета с этим номером. За одну минуту до полночи Дед Мороз взял конфету №1 и подарил детям. Через полминуты он дал детям конфеты №2 и №3 ^*10, но при этом конфету №1 забрал^*11. Еще через четверть минуты он дал детям конфеты №4, №5, №6 и №7, но забрал конфеты №2 и №3. И так далее: щедрый Дед Мороз каждый раз дает вдвое больше конфет, чем на предыдущем шаге, и за $\dfrac{1}{2^n}$ мин. до полночи дает конфеты с номерами

$2^n, 2^n + 1, \dots , 2^{n + 1} - 1$ ,

а забирает конфеты с номерами

$2^{n - 1}, 2^{n - 1} + 1, \dots , 2^n - 1$ ,

которые сам же дал на предыдущем шаге. При этом количество конфет у детей стремительно возрастает^*12.

^*9 Наверное, Дед Мороз был математический…

^*10 Видимо, понял, что дал мало.

^*11 Неужели дети ее за полминуты еще не съели?

^*12 Так что дети чувствуют себя совершенно счастливыми.

Сколько конфет будет у детей в полночь?

Давайте разбираться последовательно. У кого будет в полночь первая конфета? У Деда Мороза. А вторая конфета? У Деда Мороза: он забрал ее себе за четверть минуты до полночи^*13. У кого будет $m$ -я конфета? Если $2^{n-1} \le m \le 2^{n}-1$ , то за $\dfrac{1}{2^n}$ мин. до полночи хитрый Дед Мороз ее забрал. Итак, каждая конкретная конфета в полночь окажется у Деда Мороза. Что же получается? После каждого шага у детей становится в два раза больше конфет, а в полночь происходит катастрофа?

^*13 М-да… Начинают закрадываться подозрения.

На самом деле парадокса тут никакого нет^*14. Все дело в том, что бесконечные множества устроены существенно сложнее конечных, и интуиция тут не всегда срабатывает правильно.

^*14 Все нормально, кроме того, что обидно. Но не каждое верное утверждение должно быть приятно.

Математики довольно долго боялись абстрактного понятия "множество". Понятно почему: возникали парадокс брадобрея, парадокс с нерефлексивным прилагательным и другие очень странные множества, например, бесконечные, свойства которых иногда очень непохожи на свойства конечных множеств{3}. Кроме этого, рассматривая бесконечные множества, математики столкнулись с аксиомой выбора, которую мы уже упоминали.

{2}. Несмотря на очевидность этого утверждения, доказывается оно довольно сложно. Кроме того, перед доказательством нужно еще понять, что такое "конечное множество".

{3}. Даже Евклид опасался бесконечных множеств и свою знаменитую теорему о том, что простых чисел бесконечно много, формулировал так: простых чисел больше любого наперед заданного количества, т. е. какое бы число мы ни взяли, простых чисел все равно больше чем это число.

<<< |1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|…|17| >>>

Содержание

Комментарии: 0

Похожее

Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация

Парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.
А нужен ли выбор? (альтернатива аксиоме выбора в теории множеств)

Михаил Раскин

Современная математика в качестве своего основания использует теорию множеств. Традиционно при анализе теоретико-множественных тонкостей используется аксиоматика Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, обозначаемая ZFC. На аксиому выбора опираются доказательства наличия базиса в любом векторном пространстве и существования неизмеримого множества в математическом анализе. К сожалению, теория множеств обязана работать и со множествами, которые не описываются достаточно подробно и конкретно, чтобы мы могли себе их представить. В курсе будет рассмотрен один пример, к чему это приводит. Оказывается, ценой ослабления аксиомы выбора можно получить теорию множеств, в которой любая ограниченная функция на отрезке интегрируема по Лебегу. То, что используется аксиома выбора, в каком-то смысле, произошло исторически. Курс основан на статье Р.М. Соловэя о построении теории множеств, в которой все множества вещественных чисел измеримы.
«Мы не можем ждать милостей от природы», или применение метода вынуждения в построении моделей теории множеств

Михаил Раскин

В теории множеств есть несколько известных вопросов о том, следует ли из некоторых аксиом другая аксиома (или гипотеза; аксиома — это просто гипотеза, которой пользуется подавляющее большинство). Как и в других областях математики, недоказуемость можно продемонстрировать с помощью модели, в которой верны предположения, но не верна гипотеза. Для построения одного из самых известных таких примеров, модели теории множеств, в которой есть промежуточная мощность между мощностями натурального ряда и вещественной прямой, Коэн разработал метод вынуждения.
Теория множеств для начинающих

Виктор Викторов

Основные понятия, операции над множествами, тождества, свойства дополнения, правило Де Моргана, свойства симметрической разности; отображение (функция), факторотображение, отношение эквивалентности, парадокс брадобрея; упорядоченные множества, минимальный, наименьший, максимальный и наибольший элементы в упорядоченном множестве, мажоранта и миноранта; аксиома выбора, вполне упорядоченное множество.
Числа и многочлены

Проскуряков И. В.

Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств, действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с «дважды два — четыре» и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями. Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную роль.
Математика на шахматной доске

Гик Е. Я.

В книге рассказывается о разнообразных связях, существующих между математикой и шахматами: о математических легендах о происхождении шахмат, об играющих машинах, о необычных играх на шахматной доске и т. д. Затронуты все известные типы математических задач и головоломок на шахматную тему: задачи о шахматной доске, о маршрутах, силе, расстановках и перестановках фигур на ней. Рассмотрены задачи «о ходе коня» и «о восьми ферзях», которыми занимались великие математики Эйлер и Гаусс. Дано математическое освещение некоторых чисто шахматных вопросов - геометрические свойства шахматной доски, математика шахматных турниров, система коэффициентов Эло.
Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

Питер Эткинз

Эта книга предназначена для широкого круга читателей, желающих узнать больше об окружающем нас мире и о самих себе. Автор, известный ученый и популяризатор науки, с необычайной ясностью и глубиной объясняет устройство Вселенной, тайны квантового мира и генетики, эволюцию жизни и показывает важность математики для познания всей природы и человеческого разума в частности.
Алиса в Стране Смекалки

Смаллиан Рэймонд

В книге «Алиса в Стране Смекалки» кэрролловская Алиса из Страны Чудес и ее друзья раскрывают перед читателем нескончаемую вереницу задач-головоломок. Они доставят удовольствие всем любителям занимательной математики, а почитателям творчества Льюиса Кэрролла в особенности.
Математическое понимание природы

Владимир Арнольд

Сборник «Задачи для детей от 5 до 15 лет» вызвал много отзывов. И дети, и взрослые читатели часто сожалели, что там были только математические задачи, — ведь и все естествознание заслуживает столь же активного, творческого к себе отношения. Теперь я отвечаю на эти пожелания — следуя скорее Яну Амосу Каменскому, чем современным педагогам, то есть всегда стремясь быть понятным читателю, не имеющему предварительных знаний (но столь же любознательному, как большинство подростков).
Невероятные числа профессора Стюарта

Отрывок из книги «Невероятные числа профессора Стюарта» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта, посвященной роли чисел в истории человечества и актуальности их изучения в наше время.

Далее >>>

∀ x, y, z

5. Парадоксы, связанные с бесконечностью / Парадоксы теории множеств

Иван Ященко

5. Парадоксы, связанные с бесконечностью

5.1. Дед Мороз и конфеты

Теги

Похожее