x, y, z

Капитализация процентов и число e

Комментарии: 0
Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или при наличии долга проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты.

Капитализация процентов может быть полугодовой, ежеквартальной, ежемесячной. Есть один тонкий момент: банки обязаны начислять проценты по вкладу каждый день, и расчет процентов по вкладу делается с точностью до дня. Но капитализация вклада (то есть добавление процентов к основной сумме вклада, на которую потом снова начисляются проценты) происходит в зависимости от того, что прописано в вашем договоре с банком. Чем чаще происходит капитализация вклада, тем быстрее он будет расти.

Математически капитализация процентов может быть и ежеминутной, ежесекундной. Формулы финансовой математики позволяют рассчитать сумму дохода и при непрерывной капитализации. Тогда вы узнаете предельную сумму дохода, которую можно получить при заданной процентной ставке.

Рассмотрим простой пример.

При вкладе размером $x$ по ставке $s$% годовых, после первого года хранения общий капитал составит $x$ плюс $s$% от $x$, то есть возрастет в $(1+s/100)$ раза. Во второй год $s$% рассчитывается уже не от $x$, а от величины $x(1+s/100)$. И, в свою очередь, данная величина за второй год увеличится также в $(1+s/100)$ раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад, за два года капитал возрастет в $(1+s/100)^2$ раз. За три года — в $(1+s/100)^3$ раз. К концу $k$-го года капитал вырастет до величины в $(1+s/100)^k$ раз больше первоначальной и составит $x(1+s/100)^k$.

Теперь рассмотрим более общий случай.

Пусть процентная ставка составляет $s$% годовых и капитализация процентов происходит $n$ раз за год. Для удобства положим $\alpha = s/100$.

Тогда при вкладе размером $x$ за первый отрезок времени в $\frac{1}{n}$ года общий капитал составит $x\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)$. При истечении второго отрезка времени в $\frac{1}{n}$ года капитал составит $x\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^2$. При истечении $k$-ого отрезка в $\frac{1}{n}$ года капитал составит $x\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^k$. Таким образом, за год капитал составит $x\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n$.

Можно заметить, что $\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n \to e^{\alpha}$ при $n \to \infty$, причем эта последовательность возрастает. Из этого следует, что даже при неограниченном росте $n$ общий капитал за год не превысит $x e^{\alpha}$. Для сравнения, без промежуточной капитализации процентов общий капитал к концу года имел бы размер $x (1+\alpha)$.
Комментарии: 0