Глава 3. Геометрия шахматной доски

Наиболее интересное свойство шахматной доски заключается в весьма необычном измерении расстояний ня ней. Например, в обычной, евклидовой геометрии расстояние от поля a1 до h8 больше, чем до a8 (имеются в виду центры полей), однако король оба пути может преодолеть ровно за семь ходов! Удобнее всего расстояние между полями шахматной доски определять как число ходов, за которое данная фигура попадает с одного из этих полей ва другое. Разумеется, расстояние, введенное таким образом, зависит от конкретной фигуры. При этом для всех фигур, кроме пешки и рокирующего короля, расстояние от поля а до поля b равно расстоянию от b до а, а расстояние от а до с не больше, чем сумма расстояний от а до b и от b до с (так называемое неравенство треугольника).

Свойства наших «расстояний» не во всем похожи на обычные. На плоскости две точки соединяет лишь один кратчайший путь, а на шахматной доске король, например, может перейти с f7 на a7 за пять ходов 46 различными способами - и, значит, здесь у нас 46 «отрезков», соединяющих эти поля.

Эффектную иллюстрацию указанного свойства представляет собой известный этюд Р. Рети (рис. 11). Кажется совершенно невероятным, что в этом положении белый король в состоянии справиться с черной пешкой. Однако это становится возможным, если он отправится за ней не по обычной прямой, а по «королевской».
1. Крh8-g7 h5-h4
2. Крg7-f6! Теперь грозит 3. Крe6, после чего белая пешка при поддержке короля проходит в ферзи одновременно с неприятельской. Такая угроза не могла бы возникнуть, если бы белый король двигался за пешкой h прямолинейно.
2. … Крa6-b6
3. Крf6-e5! Снова король хочет помочь своей пешке, и хотя он довольно далеко удалился от вертикали h, после вынужденного
3. … Крb6:c6 он догоняет неприятельскую пешку как раз на пороге ее превращения:
4. Крe5-f4 h4-h3
5. Крf4-g3 h3-h2
6. Крg3:h2. Ничья!

Рис. 12. И. Майзелис. Белые начинают и выигрывают

Итак, движение короля по прямой в случае необходимости можно заменить движением по ломаной линии. В этюде И. Майзелиса (рис. 12) пешка на a7 беззащитна, л единственный шанс черных заключается в том, чтобы на неизбежное взятие Кр:a7 ответить Крc7, не выпуская короля противника из заточения. Путь белого короля до гешки a7 запимает пять ходов, причем существует 30 способов съесть эту пешку за столько ходов (на 16 меньше, чем число путей с f7 на a7, так как движение через b6 запрещено). Но лишь один из 30 путей приводит к цели (рис. 12):

1. Крf7-e6! Крb2-c3 2. Крe6-d5!! Белый король, как говорят шахматисты, «отталкивает плечом» своего черного оппонента. Теперь тот не может пойти на d4, и это оказывается для него губительпым. Не проходит, например, 1. Крe6 Крc3 2. Крd6 Крd4 3. Крc6 Крe5! 4. Крb7 Крd6 5. Кр:a7 Крc7 с ничьей.

После анализа этюдов нам теперь будет легко разобраться в следующем практическом окончании (рис. 13) случившемся в одном из чемпионатов Москвы между двумя мастерами. Вот как закончилась партия:
1. Крc8-c7 Крe3-d3
2. Крc7-b6 Крd3-c3
3. Крb6-b5 a4-a3
4. Крb5-a4 Крc3-b2
5. Крa4-b4 Крb2:a2. Белые сдались.

Покажем, что наши мастера были плохо знакомы с геометрией шахматной доски. Взять черную пешку белке все равно не могли, и поэтому их шанс заключался лишь в том, чтобы на неизбежное взятие Кр:a2 ответить Крc2, запирая черного короля (сравните с предыдущим этюдом). Итак, с самого начала у белых мог быть только сдип план: стремиться королем в обход и чем раньше, том лучше, т. е. надо было играть 1. Крd7! После ошибочного 1. Крc7 черный король направился к пешке a2, по при этом ему следовало «оттолкнуть плечом» белого короля: 1. … Крd4, а не 1. … Крd3, как было в партии. После 1… Крd3 белые снова могли поправить свои дела, отправившись в обход 2. Крd6!, но никак не 2. Крb6? Таким образом, противники сделали подряд три ошибки: сначала белые не нашли ничьей, затем черные пе воспользовались этим, и, наконец, белые снова выпустили ничью.

На рис. 13 показан прямоугольный зигзаг, по которому должен был пройти белый король* прежде чем с c8 попасть на c2 (причем эа те же шесть ходов, что и при движения по прямой). Каждый ход короля обозначен на рисунке отрезком, соединяющим центры соответствующих нолей. При этом путь короля изображается ломаной линией. В дальнейшем мы часто будем пользоваться графическим изображением перемещений по доске шахматных фигур. Подобные графики, как мы увидим, часто имеют весьма любопытную форму.

Рис. 13. Пешечный эндшпиль

Конечно, за доской шахматиста никто не заставляет решать математические задачи - чтобы хорошо играть в шахматы, совсем не обязательно быть математиком. Беспрерывный расчет вариантов, который приходится ему вести во время партии, имеет совершенно иную специфику, чем аналогичная работа математика. И все же математический навык, как мы убедились, иногда оказывается полезным. Приведем еще один случай из практики, в котором один из партнеров упустил из виду упомянутое свойство доски, и это привело к драматической развязке.

Позиция на рис. 14 возникла после 56-го хода черных в шестой партии матча на первенство мира М. Ботвинник - Д. Бронштейн. Здесь Бронштейн, игравший белыми, легко делал ничью путем 57. Кe6+ и 58. Кd4, однако он решил сначала подтянуть короля к опасной проходной пешке и пошел 57. Крb3-c2. Разумеется, гроссмейстер хорошо видел возможность появления черного короля на поле f2, но рассматривал лишь естественный маршрут Крf4-f3-f2, полагая, что и здесь успеет сыграть Кe6 и Кd4+ с ничьей. Каково же было изумление белых, когда король Ботвинника действительно отправился к полю f2, но не по прямому пути, а по обходному. После 57. … Крf4-g3!! белым пришлось сдаться, так как оказалось, что пешку e3 остановить невозможно: на 58. Кe6 теперь следует 59. … e2, и белый конь попадает на d4 без шаха.

Итак, от одного поля доски до другого король может пройти многими кратчайшими путями. Выясним, например, сколькими различными способами он может добраться с e1 до d8, двигаясь кратчайшим путем (т. е. за семь ходов). Очевидно, он может идти к цели самыми причудливыми зигзагообразными маршрутами, лишь бы на каждом ходу переходить с одной горизонтали на следующую и находиться в рамках прямоугольника e1 - a5 - d8 - h4.

Для подсчета искомого числа путей составим таблицу чисел, которые будем помещать прямо на полях доски. Число, стоящее на данном поле, равно числу кратчайших путей до него с поля e1. На поля d2, e2 и f2 король может попасть кратчайшим путем (в один ход) единственным способом, и поэтому на них ставятся единицы. По той же причине единицы попадают на поля c3 и g3. На d3 за два хода король попадает двумя способами (с полей d2 и e2, 1 + 1 = 2), а на e3 - тремя (с полей d2, e2 и f2, 1 + 1 + 1 = 3). В общем случае число кратчайших путей до данного поля складывается из одного, двух или трех чисел, стоящих на полях предыдущей горизонтали (с которых за один ход король попадает на данное поле). Пользуясь этой простой закономерностью, мы заполним всю таблицу и получим, что с поля e1 до поля d8 король может добраться кратчайшим путем 357 способами.

Аналогичным образом, заполняя соответствующую таблицу, можно находить число кратчайших путей между различными полями и для любых фигур. При этом доска может иметь произвольную форму и даже содержать запрещенные поля.

Заметим, что заполняемая нами таблица представляет собой фрагмент так называемого 3-арифметического треугольника с границами. Это название связано с тем, что наша таблица имеет вид треугольника, обрезанного краями доски, а каждый элемент таблицы является суммой не более чем трех элементов, стоящих в таблице под данным. Существуют несложные формулы для вычисления всех элементов такого треугольника. Они позволяют выражать число кратчайших путей между двумя данными полями через их координаты. Разумеется, если использовать такую формулу для нашей задачи о движении короля с e1 до d8, мы также получим число 357. Пользуясь комбинаторным принципом включения и исключения16, можно найти формулы и для более сложных случаев. Подробнее на таких задачах мы не станем останавливаться, большое число их содержится у Окунева, Фабеля и Крайчика.

Как мы видели, шахматная геометрия отличается от обычной, евклидовой геометрии, которую изучают в школе. Однако в шахматной композиции известны задачи, в которых существенную роль играет именно евклидово расстояние. Такие задачи называются максимуммерами, и в них одна или обе стороны (чаще одни черные) должны обязательно делать максимальные по длине ходы. Длина хода фактически равна евклидовой длине отрезка, соединяющего центры соответствующих полей. Так, например, длина хода Лc1 - c4 или Фc1 - c4 равна трем, а длина хода Сf1 - c4 или Фf1 - c4 определяется по теореме Пифагора и равна √3² + 3² = 3√2. Из этого следует, что ход ферзем с a1 до f6 длиннее, чем до a8 (5√2 ≈ 7,05 > 7). Длина хода короля равна 1 или √2, длина короткой рокировки равна 4 (т. е. 2 + 2), а длинной - 5 (т. е. 2 + 3).

В максимуммерах обычно требуется дать кооперативный мат (белые стремятся заматовать себя, а черные им помогают) или обратный мат (черные не желают давать мат белому королю, а белые их заставляют). А следующую задачу можно назвать «минимуммером».

Придумать такую шахматную партию, которая заканчивается матом и имеет минимальную сумму длин всех ходов.

Как известно, партия может закончиться матом уже на втором ходу: 1. f2-f3 e7-e6 2. g2-g4 Фd8-h4 мат (белые могут объявить аналогичный мат только на третьем ходу). Здесь сумма длин всех сделанных ходов равна 4 + 4√2 ≈ 9,66. Эта партия является кратчайшей в шахматном смысле, но не в геометрическом. Искомой же партией является такая:
1. d2-d3 e7-e6
2. Фd1-d2 Крe8-e7
3. Фd2-e3 e6-e5
4. Фe3:e5 мат. Сумма длин всех ходов этой партии равна 7 + √2 ≈ 8,41 < 9,66.

Второй и третий ходы черных можно поменять местами, и в результате мы получаем две партии, заканчивающиеся матом и имеющие минимальную сумму длин ходов.

Рис. 15. Геометрия шахматной доски: а - правило квадрата; б - правило треугольника

Раз уж мы затронули математические стороны самой игры, остановимся еще на некоторых геометрических идеях, возникающих на шахматной доске. Заметим попутно, что математики уже давно отчаялись создать строгую математическую теорию шахмат и ограничиваются лишь частными вопросами. Впрочем, исследование многих шахматных позиций носит вполне математический характер. Все дальнейшие примеры относятся к теории пешечных окончаний.

В позиции на рис. 15,а белый король не принимает участия в игре, и все зависит от того, успеет ли его черный оппонент догнать пешку h3. Неопытные шахматисты сСычно рассуждают так: пешка идет сюда₁ король - туда, пешка - сюда, король - туда, и т. д. При этом они часто путаются (особенно, когда на доске есть еще какие-нибудь пешки) и дело кончается просчетом. Однако исход игры легко оценить при помощи «правила квадрата». Достаточно выяснить, может ли король при своем ходе вступить в «квадрат» пешки, в данном случае изображенном на рис. 15,а. Для удобства можно мысленно провести всего одну линию - диагональ квадрата (h3 - c8). Итак, в данной позиции черные при своем ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.

Рассмотрим теперь позицию на рис. 15,б. Здесь черные при своем ходе сразу проигрывают, так как белый король идет на b6 и берет пешку a6. Но как белым передать очередь хода противнику или, пользуясь шахматным языком, выиграть темп? После 1. Крd5 Крc8 ничего не дает 2. Крd6 Крd8 3. c7+ Крc8 4. Крe6 - пат!, а 2. Крc5 Крc7 приводит к исходной позиции. Выигрыш темпа достигается при помощи так называемого «правила треугольника». Для данного примера этот треугольник (c4 - d4 - d5) изображен на рис. 15,б. После
1. Крc5-d5 Крc7-c8
2. Крd5-d4 Крc8-b8
3. Крd4-c4! Крb8-c8
4. Крc4-d5 белые достигают своей цели, так как на 4. … Крd8 теперь выигрывает 5. Крd6, а на 4. … Крc7 5. Крc5.

Обратимся теперь к более сложной позиции на рис. 16,а.

12   4   6   9   ♟       1   3   5   8   ♙     ♟     7   10   12 ♙   1   ♙     11   2   4   3   4   3 ♙   2 ♟     6   5   6   5   7   ♙     9   8   9   8   10   11       6   5   6   5   7   2     Рис. 16. Р. Бианкетти. Белые начинают н выигрывают: а - этюд; 6 - таблица соответствия полей

Хотя у белых здесь две лишние пешки, выиграть чрезвычайно трудно. Для анализа подобных позиций с блокированной пешечной структурой применяются различные методы: «критические расстояния Бианнетти», «координатная система Эберса» и др. Теория таких окончаний носит название теории соответственных полей. Исследование каждой конкретной позиции можно рассматривать как решение тонкой математической задачи17, однако общей математической теории пока создать не удалось. Здесь мы не в состоянии остановиться на всех деталях теории соответственных полей18, ограничимся исследованием позиции на рис. 16,а, отмечая результаты анализа на рис. 16,б.

Белые намерены прорваться либо через поле d6, либо через поле f4, и черный король должен воспрепятствовать обоим планам. Таким образом, если белый король попадет на c5, черный должен встретить его на e7 (при короле наc17 черные не успевают защитить пешку g4: Крc5-d4-e3-f4). Другими словами, полю c5 соответствует поле e7. При положении белого короля на f4 черный должен успеть на h5, т. е. полю f4 соответствует поле h5.

Если белый король попал на d4, черный в этот момент должен занять поле f7, чтобы на Крc5 ответить Крe7, а на Крe3 иметь ответ Крg6. С поля c4 белые могут пойти как Крc5, так и Крd4, и король черных в этом случае должен располагаться на f8, чтобы встать на e7 (при Крc5) или на f7 (при Крd4). С поля d3 возможны ходы Крc4, Крd4, Крe3, и поэтому полю d3 соответствует поле g7.

Обходя последовательно все наиболее важные поля, имеющиеся в распоряжении белого короля, и подыскивая поля соответствия для его черного коллеги, получаем рис. 16,б, на котором соответственные поля обозначены одним и тем же номером. Найденное соответствие не является взаимно однозначным, что и видно на рисунке. Например, полям b4 и d4 для белого короля соответствует одно и то же поле f7 для черного.

Теперь решение шахматной позиции находится почти автоматически. Следует руководствоваться лишь единственным правилом: ставить белого короля на такое поле, которому в данный момент соответствует поле нахождения черного короля, или на такое поле, соответствующее которому недоступно черному королю за один ход. Так как полю b1 соответствует поле g7, полю b2 - h7, а полю a2 - h8, то решает только 1. Крa1-a2!! После 1. Крb1? Крg7! или 1. Крb2? Крh7! черные добиваются ничьей.

Поскольку дальнейший ход игры проще, приведем лишь основной вариант (если черные играют иначе, они проигрывают еще быстрее).
1. Крa1-a2!! Крh8-h7
2. Крa2-b2! Крh7-g7
3. Крb2-b3! Крg7-g8
4. Крb3-c3! Крg8-f8
5. Крc3-c4! Крf8-f7
6. Крc4-d4! По лестнице, изображенной на рис. 16,а, белый король совершил восхождение на самую верхнюю ступеньку, и черные беззащитны! Очевидно, с помощью таблицы иа рис. 16, 6 легко оценить нашу позицию и при других начальных расположениях королей, но только при данной пешечной конфигурации.

Заканчивая эту главу о математических элементах шахматной игры, приведем один пример «изобразительной» задачи. В изобразительном (символическом) жанре шахматной композиции начальное расположение фигур или траектория их движения в процессе решения символически изображает некоторый рисунок (букву, цифру, предмет) или замысловатую геометрическую фигуру.

Рассмотрим следующую задачу И. Клинга. Белые: Крb5, Фh7, пп. b6, e6; черные: Крa8, Фb8, Кg8, пп. a2, e7. Белые начинают и дают мат в 14 ходов.

Решение состоит из 14 ходов ферзя: Фe4+, Фa4+, Фf4+, Фf8+, Фf3+, Фa3+, Фg3+, Ф:g8+, Фg2+, Ф:a2+, Фh2+, Фh8+, Фa1+, Фa6 мат (все ходы черных вынуждены). Если нарисовать путь, который проходит ферзь в процессе решения, можно обнаружить, что он имеет довольно забавный вид. Заметим, что такие сложные возвратно-поступательные движения ферзя (на достаточно широких просторах доски) шахматные композиторы называют виражом.

16. Об этом принципе рассказывается в книге Н. Виленкина «Популярная комбинаторика» (М., «Наука», 1975). В этой книге можно найти много интересных комбинаторных задач на шахматной доске. В ней же рассказывается о так называемом треугольнике Паскаля и его различных обобщениях, одно из которых представляет собой 3-арифметический треугольник.

17. Так, в статье Б. Митягина и др. «Решение одной игры на графах» («Проблемы математического анализа сложных систем», вып. 1. Воронеж, 1967) для исследования пешечного окончания используется аппарат теории графов.

18. Подробнее с этой теорией можно ознакомиться в кн.: «Шахматные окончания», т. 1. Под ред. Ю. Авербаха. М., «Физкультура и спорт», 1956.