x, y, z

Глава 7. Ферзь-часовой / Математика на шахматной доске

Гик Е. Я.

Комментарии: 0
<<< |1|…|6|7|8|9|10|11|12|13|14|…|19| >>>

Глава 7. Ферзь-часовой

Если конь - самая «хитрая» шахматная фигура, а ладья - самая «неповоротливая», то ферзь является самой сильной шахматной фигурой. Возможности ферзя чрезвычайно богаты, и ему принадлежат многие рекорды на шахматной доске. Заметим, что большинство нерешенных шахматно-математических проблем связано именно с ферзями.

Задача о часовых. Около каждой тюремной камеры можно поставить часового. Находясь у одной из камер, часовой видит также, что происходит в некоторых других камерах, из которых к данной ведут коридоры. Каково наименьшее число часовых, необходимое для наблюдения за всеми камерами?

Если шахматную доску рассматривать как тюрьму (да простят нам шахматисты такую аналогию!), причем ее поля считать камерами, а вертикали, горизонтали и диагонали - коридорами, то «часовыми» естественнее всего назначить ферзей, которые могут вести наблюдение в произвольном направлении. При этом задаче о часовых можно придать следующую шахматную интерпретацию.

Какое наименьшее число ферзей можно расставить на шахматной доске при условии, что они держат под обстрелом все свободные поля доски?

Оказывается, пять ферзей вполне способны справиться со всей шахматной «тюрьмой». Доказано, что существует ровно 4860 способов, которыми можно расставить на доске пять ферзей-часовых. В расстановке на рис. 35,а ферзи держат под обстрелом все свободные поля доски, но сами не угрожают друг другу. На рис. 35,б все ферзи стоят на одной диагонали и, значит, защищают друг друга. Таким образом, во второй расстановке ферзи обстреливают не только свободные поля доски, но и занятые.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 35. Пять ферзей, доминирующих на шахматной доске:
а - ферзи не угрожают друг другу; б - под боем все 64 поля доски

Как бы мы ни расставляли на доске четырех ферзей, по меньшей мере два ее поля уже останутся «без присмотра», например a8 и b7, если ферзи стоят на полях c5, d1, g6, h2.

Пусть четыре ферзя стоят на полях a1, b1, g1, h1. К с кие четыре хода они должны сделать, чтобы взять под оЗстрел максимальное число свободных полей доски?

После ходов Фa1-a4, Фb1-b4, Фg1-g6 и Фh1-g2 лишь три поля доски - c1, c7 и c8 - недоступны ферзям (на одно поле больше возможного).

Пусть теперь на доске стоит всего один ферзь - на поле d1. Какой геометрически самый длинный несамопересекающийся путь он может сделать за пять ходов?

Искомый путь состоит из таких пяти ходов: Фd1-h1-a8-h8-h2-c7. Любопытно, что большинство решающих эту задачу предлагают другой путь: Фd1-h1-h8-a1-a8-g8. По числу посещаемых полей он действительно длиннее (32 > 30), однако в геометрическом смысле (см. гл. 3) - короче. Если ширину одного поля Доски считать равной 1, то первый путь длиннее второго всего на 0,05, но все-таки длиннее! В самом деле, получаем:

d1 = (4 + 7√2 + 7 + 6 + 5√2) = (17 + 12√2);

d2 = (4 + 7 + 7√2 + 7 + 6) = (24 + 7√2);

d1 - d2 = (5√2 - 7) ≈ 0,05

Рассмотрим теперь несколько вадач о маршрутах ферзя.

За какое наименьшее число ходов ферзь может обойти все поля шахматной доски?

 
Рис. 36. Обходные маршруты ферзя на шахматной доске:
а - 14-ходовый самопсресекающийся маршрут; 6 - 15-ходовый несамопересекающийся маршрут

Конечно, ферзь может воспользоваться одним из маршрутов ладьи и потратить на обход столько же ходов (15 - на незамкнутый и 16 - на замкнутый). Однако он не обязан перемещаться так прямолинейно, а при умелом движении обходит всю доску за 14 ходов. Существует шесть вамкнутых маршрутов ферзя, состоящих из 14 ходов. Один из них показан на рис. 36,а, вот еще два маршрута: Фa1-h8-h3-c8-f8-a3-g3-g8-a2-h2-b8-b1-h1-a8-a1; Фa1-h1-a8-a2-h2-b8-b4-f4-f8-c8-g4-g8-b3-h3-h8-a1; остальные три маршрута получаются из приведенных отражением доски относительно диагонали a1 - h8. Для двадцати исходных полей (d1, d3, d4 и симметричных им) замкнутый маршрут ферзя уже состоит из 15 ходов. На рис. 36,а мы видим квадрат пересечений (в районе полей d5, d6, e5, e6), характерный для каждого замкнутого маршрута.

Заметим, что все кратчайшие маршруты ферзя самопересекаются. Несамопересекающимися являются только 15-ходовые маршруты. На рис. 36,б приведен один из таких маршрутов, имеющий весьма симметричный вид (разумеется, ладья по такому маршруту пройти никак не может!).

В популярной занимательной задаче требуется четырьмя линиями перечертить девять точек, расположенных в форме квадрата, пе отрывая карандаша от бумаги. Этой задаче легко придать шахматную интерпретацию.

Выберем на шахматной доске произвольный квадрат 3×3. Как за четыре хода ферзь может обойти все поля этого квадрата?

Пусть наша доска расположена в левом нижнем углу обычной доски 8×831, тогда искомым «маневром» является такой: Фa2-a4-d1-a1-c3. Как мы видим, ферзь вынужден дважды покинуть доску 3×3.

Прежде чем продолжить наш рассказ о ферзе, несколько отвлечемся и закончим тему, связанную с обходом шахматной доски другими фигурами. С маршрутами коня, ладьи и ферзя мы уже знакомы, осталось выяснить ситуацию с королем и слоном. Король может обойти всю доску за 63 хода (а в замкнутом случае за 64 хода), двигаясь, например, по маршруту ладьи, по только более медленным темпом. Интересна следующая задача:

Доказать, что если замкнутый маршрут короля по всей доске не имеет самопересечений, то он содержит не меньше 28 трямыхъ ходов (вдоль вертикалей и горизонталей доски).

Прежде всего приведем маршрут, в котором король делает в точности 28 «прямых» ходов (рис. 37,а). Рассмотрим теперь произвольный замкнутый маршрут без самопересечений, и занумеруем все-28 крайних полей доски числами 1, 2, …, 28 в том порядке, в котором король посещает их. Этот маршрут можно разбить на 28 участков: от первого поля до второго, от второго до третьего, и т. д., от поля 28 до поля 1.

 
Рис. 37. Задача о маршруте короля:
а - в маршруте 28 «прямых» ходов; б - нет пути между полями a6 и c1

Покажем, что оба крайних поля каждого из этих участков являются соседними на границе доски (рис. 37,а). Предположим противное: пусть крайние поля хотя бы одного из участков не соседние. Для участка, показанного на рис. 37,б, такими являются поля a7 и a4. Поскольку маршрут короля замкнут, то начальное поле и направление обхода можно выбрать произвольно. Будем считать, что маршру?, участок которого изображен на рисунке, начинается с поля a7 и идет в направлении к полю a4. Поскольку поля i7 и a4 не соседние, то рассматриваемый участок a7 - a4 разбивает доску на две части. Возьмем два поля, пришдлежащие разным частям, например поля a6 и c1. Возврацаясь с a4 на a7, король должен побывать и на этих нолях. При этом участок a6 - c1 обязательно пересечет учгсток a7 - a4. Таким образом, мы получили противоречив с тем, что маршрут короля не имеет самопересечений.

Итак, крайние поля каждого из наших 28 участков являются соседними на границе доски. Ввиду того, что эти поля имеют разный цвет, вдоль каждого из участков король делает хотя бы один «прямой» ход. Из этого и следует, что искомый маршрут содержит не менее 28 ходов по вертикали и горизонтали. Поскольку король может при желании все 64 хода сделать «прямые», то попутно мы выяснили следующее обстоятельство. Минимальная длина замкнутого, несамопересекающегося маршрута короля по всей доске равна 64, а максимальная равна 28 + 36√2.

 
Рис. 38. Маршруты слона по одноцветным полям шахматной доски:
а - 16-ходовый маршрут; б - 17-ходовый симметричный маршрут

Слон, очевидно, не может обойти все поля доски, однако если ограничиться полями одного цвета, то задача о кратчайшем маршруте становится корректной и для него. Самый быстрый маршрут состоит из 16 ходов (рис. 88,а). Маршрут, предложенный Дьюдени (рис. 38,б), на один ход длиннее, но зато его график имеет более симметричную форму и, кроме того, в графике нет «точек возврата». Заметим, что при обходе всех одноцветных полей доски мимо некоторых из них слон вынужден пройти более одного раза, т. е. его маршрут всегда является самопересекающимся.

В общем случае быстрейший маршрут слона по всем одноцветным полям доски состоит из 5n/2 - 4 ходов при четных n и (5n + 1)/2 - 4 ходов при нечетных n (n ≥ 3; во втором случае имеются в виду поля того цвета, которого да доске больше). Метод нахождения соответствующих маршрутов можно извлечь из рис. а.

Интересный факт установил победитель XVI Международной математической олимпиады школьников (ГДР, 1974 г.) бакинец А. Григорян. Он доказал, что несамопересекающийся путь слона по доске проходит максимум (n² - 1)/2 полей при нечетном n (слон посещает все поля того цвета, которого на доске меньше) и максимум (n² - n + 2)/2 полей при четном п. Для обычной доски получаем, что слон проходит через 29 полей из 32 возможных. Вот один из искомых путей: Сh1-g2-h3-g4-h5-g6-h7-g8-e6-f5-e4-f3-e2-d1-c2-d3-c4-d5-c6-d7-c8-a6-b5-a4-b3-a2-b1. Непройденными здесь остались три поля: a8, e8 и f1. Поскольку длина хода слона между двумя полями равна √2, то мы выяснили также, что максимальная длина несамопересекающегося пути слона в зависимости от n равна √2(n² - 3)/2 или √2(n² - n)/2

Закончим наше отступление от ферзевой темы еще одной задачей о маршруте слона32:

С углового поля доски m×n (m, n > 1) начинает двигаться слон, который изменяет направление движения только на границе доски. Слон останавливается, как только достигает углового поля. При каких m и n он обойдет все поля доски?

Можно показать, что при указанном передвижении слон в состоянии посетить все поля доски, тогда и только тогда, когда числа m - 1 и n - 1 взаимно просты.

Вернемся снова к задачам о ферзях. На обычной доске, как мы знаем, пять удачно расположенных ферзей держат под обстрелом все свободные поля. С увеличением размеров доски число «ферзей-часовых», естественно, возрастает, однако общая формула для доски n×n до сих пор неизвестна. Любопытно, что на досках 9×9, 10×10 и даже 11×11 также достаточно иметь в распоряжении всего пять «ферзей-часовых». Необходимые расстановки показаны на рис. 39, причем сверху сразу для двух досок - 10×10 и 11×11.

Пять ферзей и больше можно поставить на доске 8×8, чтобы какие-нибудь поля не находились под обстрелом. Даже восемь ферзей удается расставить так, чтобы 11 полей (но не больше) находились вне поля их зрения (ферзи на полях a2, a7, b1, b3, b7, c2, g1, g2).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 39. Пять ферзей, доминирующих на досках 9×9, 10×10 и 11×11

Какое максимальное число ферзей можно расставить так, чтобы ферзи разного цвета не били друг друга, причем на доске должны находиться ферзи обоих цветов?

Искомое число ферзей равно 43, при этом одна из сторон имеет всего одного ферзя, который может стоять на любом крайнем поле доски (42 ферзя другого цвета размещаются вне линий его действия). В общем случае на доске n×n можно расставить максимум (n - 2) (n - 1) ферзей так, чтобы ферзи разного цвета не били друг друга.

На доске n×n (n > 1) расставить 2n ферзей так, чтобы на каждой вертикали, горизонтали и диагонали стояло не более двух из них.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 40. Задача о 2n ферзях: а - решение на четной доске; б - решение на нечетной доске

Очевидно, более 2n ферзей, удовлетворяющих условию задачи, расставить невозможно. На рис. 40,а дана расстановка 16 ферзей на доске 8×8, а на рис. 40,б - 18 ферзей на доске 9×9. Легко видеть, что первая расстановка обобщается для всех четных досок, а вторая для всех нечетных. На четных досках ферзи располагаются парами, а на нечетных одна пара ферзей (на средней вертикали) разбивается. Заметим, что решение этой задачи, найденное Лойдом для обычной доски (Фa2, a6, b4, b6, c7, c8, d2, d4, e5, e7, f1, f3, g5, g8, h1, h3), отличается от рис. 40,а и его не удается обобщить на другие доски.

С математической точки зрения ферзь является самой интересной шахматной фигурой, и не случайно задачи о ферзях встречаются во многих главах нашей книги. В частности, следующая глава будет целиком посвящена классической задаче о расстановке восьми ферзей. Сейчас же остановимся еще на некоторых вопросах, имеющих более близкое отношение к шахматной игре.

Каждый начинающий шахматист быстро постигает искусство матования королем и ферзем одинокого короля противника. Известно, что при точной игре такой мат дается не позднее девятого хода. Заменим теперь короля сильнейшей стороны вторым ферзем. За сколько ходов в этом случае дается мат? Возникает следующая задача.

За какое минимальное число ходов два ферзя могут заматовать одинокого короля противника на доске n×n? Тот же вопрос - для бесконечной шахматной доски.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 41. На любой прямоугольной доске два ферзя матуют неприятельского короля не позднее четвертого хода

Оказывается, каковы бы ни были размеры доски, мат дается не позднее четвертого хода! Первым ходом один из ферзей дает шах по вертикали, в ответ на что неприятельский король отходит на одну из соседних вертикалей. Вторым ходом другой ферзь (с помощью первого) зажимает короля на двух вертикалях. При этом возникает позиция, как на рис. 41 (мы считаем сейчас, что обычная шахматная доска является как бы фрагментом бесконечной). Теперь на любой ход короля следует соответствующий горизонтальный шах, например на
2. … Крd4-c4
3. Фc1-c4+
, и мат следующим ходом:
3. … Крe4-e5 (e3)
4. Фf8-f4
мат.

Черный король мог быть аналогично «схвачен» и по горизонталям. Ясно, что приведенное решение годится для произвольной доски n×n (при n < 8 оно еще короче), для прямоугольных досок и для бесконечной; при этом начальное расположение белых ферзей несущественно.

Неприкосновенный король. Белый король находится на поле c3 и не имеет права двигаться (поэтому он и называется неприкосновенным). Может ли белый ферзь с помощью своего неприкосновенного короля заматовать одинокого короля черных?

Эта задача была известна еще в прошлом веке. Многие шахматисты, в том числе гроссмейстеры, ошибочно думали, что заматовать короля нельзя. На помощь вновь была привлечена ЭВМ. Математики А. Брудно и И. Ландау33 выяснили с помощью машины, что мат всегда дается, причем не позднее двадцать третьего хода и только при неприкосновенном короле на полях c3, c6, f3 и f6. Кажется, это был первый случай в истории шахмат (и математики), когда ЭВМ решила шахматную задачу раньше человека. Справедливости ради надо отметить, что если квалифицированному шахматисту сообщают, что мат есть, то он его находит сам.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 42. Задача о неприкосновенном короле

Для решения, прежде всего, черного короля следует загнать на угловое поле a8. С этим заданием ферзь справляется довольно легко и при этом может попасть на d7 (рис. 42). Если теперь ход черных, то после
1. … Крa8-b8
2. Фd7-c6! белые матуют в 10 ходов:
2. … Крb8-a7
3. Фe6-c8! Крa7-b6
4. Фc8-d7! Крb6-c5
(4… Крa5 5. Фb7 и 4. … Крa6 5. Фc7 Крa5 6. Фd6 приводит к основному варианту)
5. Фd7-e6 Крc5-b5
6. Фe6-d6 Крb5-a5
7. Фd6-b4+
(7. Фd6-c6 - пат!)
7. … Крa5-a6
8. Фb4-b8 Крa6-a5
9. Фb8-b7 Крa5-a4
10. Фb7-a6
мат.

Если же на рис. 42 ход белых, то они должны передать очередь хода противнику. Это достигается методом, очень напоминающим метод «треугольника», рассмотренный нами во второй главе:
1. Фd7-d5+ Крa8-a7 (1. … Крb8 2. Фc6!)
2. Фd5-b5 Крa7-a8
3. Фb5-a6+ Крa8-b8
4. Фa6-c6!
- и цель достигнута.

Последний пример убедительно иллюстрирует силу ферзя, справившегося с неприятельским королем лишь при косвенной поддержке своего короля.

Эндшпиль «ферзь с пешкой против ферзя» является одним из самых трудных. Вот какой курьезный случай произошел в 1968 г. в Москве на традиционном матче Москва - Ленинград. При счете 39½:39½ (матч проводился на 40 досках в два круга) оставалась всего одна незаконченная партия, которая и решала судьбу матча. Черными играл ленинградский мастер В. Лявданский, белыми - московский мастер А. Волович. Ленинградец имел лишнюю пешку, и в случае успеха его команда побеждала. Доигрываиие партии продолжалось ровно до той минуты, когда ленинградцы уже рисковали опоздать на поезд. В результате на доске возникла такая позиция - белые: Крg8, Фd5; черные: Крa2, Фf6, пb3.

Партию присуждала авторитетная комиссия. Однако вся беда состояла в том, что позицию «ферзь и коневая пешка против ферзя» шахматисты исследуют уже не один десяток лет, а к окончательному мнению прийти так и не могут. Жюри в растерянности признало партию ничьей, что вызвало естественное возражение со стороны ленинградцев. Дело кончилось тем, что ответный визит москвичей в Ленинград не состоялся, и многолетняя традиция была нарушена…

Здесь мы имеем хороший пример того, как можно использовать шахматные «способности» ЭВМ. Если бы машина «разбиралась» в подобных окончаниях, то никакого инцидента не произошло бы. Математики Э. Комиссарчик и А. Футер (сотрудники Института проблем управления, где была создана «Каисса») решили научить ЭВМ оценивать окончания указанного типа34. Пока писалась эта книга, машина успела изучить только позиции с коневой пешкой на предпоследней горизонтали. Теперь про каждую из них можно точно сказать, выигрывает ли здесь сильнейшая сторона (белые) или нет, а если выигрывает, то за сколько ходов пешка проходит в ферзи.

Любопытно, что машина обнаружила две выигрышные позиции, в которых при наилучшей игре обеих сторон соотношение сил удается изменить только на 59 ходу! Вот эти позиции. 1. Белые: Крd6, Фa6, пg7; черные: Крc2, Фb1; 2. Белые: Крh4, Фa6, ng7; черные: Крc2, Фb8. В обеих позициях ход черных. Рассмотрим первую из них. Тонкое маневрирование, начинающееся посредством
1. … Фb4+
, через 53 хода приводит к такому положению - белые: Крd2, Фf2, пg7; черные: Крb2, Фb3. Здесь черный ферзь вынужден занять пассивное положение -
54. … Фg8, и после
55. Фb6+ Крa3
56. Фb7 Крa4
57. Крc3 Крa5
58. Фb4+ Крa6
59. Фc4+
белые, наконец, разменивают ферзей и проводят свою пешку.

Найденные позиции показывают, что известное ничейное «правило 50 ходов» для подобных эндшпилей требует уточнения. По-видимому, это первый случай, когда ЭВМ «вмешивается» в шахматный кодекс… Теперь машине предстоит заняться позициями с белой пешкой на шестой горизонтали (или с черной пешкой на третьей - как в партии Волович - Лявданский).

Таким образом, есть надежда, что традиционные матчи Москва - Ленинград скоро возобновятся…

С рассматриваемым эндшпилем связан еще один, также первый в истории случай - когда ЭВМ оказало практическую помощь гроссмейстеру. Это произошло в 1975 г, на зональном турнире в Вильнюсе. Партия Григорян - Бронштейн была отложена в позиции, которая форсированно переходила в окончание с ферзем и пешкой у черных против ферзя противника. Гроссмейстеру было известно об успехах ЭВМ, и он обратился к ней за «консультацией». Незадолго до начала доигрывания Бронштейн получил бандероль с таблограммой, содержащей анализ позиции! Однако Григорян ошибся уже в начале доигрывания, и гроссмейстер победил без «подсказки» ЭВМ.

Само по себе это событие весьма примечательно, но возникает естественный вопрос: а правомерно ли шахматисту в официальных соревнованиях прибегать к услугам электронной машины? С одной стороны, в этом нет ничего предосудительного - разрешается же при домашнем анализе пользоваться помощью тренеров и заглядывать в шахматные книги. Однако здесь есть существенная разница - ведь к товарищам или шахматным справочникам может обратиться любой шахматист, а общение с машиной доступно далеко не каждому. Немного фантазии, и легко представить себе ситуацию, когда звание чемпиона мира среди людей зависит от… быстродействия ЭВМ в странах, представляемых участниками матча!

Впрочем, что касается теоретических позиций (в том числе тех, о которых шла речь), то не исключено, что со временем ЭВМ станет «публиковать» свои анализы этих позиций в печати, и тогда наш вопрос отпадет сам собой.

Раз уж мы упомянули имя Д. Бронштейна, то закончим рассказ о ферзевых окончаниях одной задачей на «подсчет», которую придумал гроссмейстер.

Рассмотрим эндшпиль «ферзь против пешки», в котором пешка находится на пороге превращения (на предпоследней горизонтали). Теория утверждает, что если пешка не ладейная и не слоновая, то сильнейшая сторона, как правило, выигрывает. Гроссмейстера как раз и заинтересовало: а сколько существует исключений из этого правила?

Очевидно, достаточно найти число позиций при черной пешке на b2 и d2, а затем умножить его на четыре (остальные позиции получаются заменой пешек b2 на g2, d2 на e2, а также переменой цвета). Оказывается, что всего существует 50×4 = 200 (!) позиций, в которых ферзь не может справиться с пешкой. Самая любопытная позиция такова - белые: Крd5, Фd8; черные: Крd3, nd2. Грозит d2-d1Ф, причем у ферзя ни одного шаха нет, если же с шахом отступает белый король на линию с или е, то черный король идет соответственно на c2 или e2 - и шахов больше нет.



31. При рассмотрении досок размера меньшего, чем 8×8, для удобства всегда считаем, что они расположены в левом нижнем углу обычной шахматной доски.

32. Хотя задачи о королях и слонах встречаются в разных главах книги, специальные главы мы посвятили лишь наиболее популярным в шахматной математике фигурам - коню, ладье и ферзю.

33. А. Брудно, И. Ландау. Неприкасаемый король. - «Шахматы», 1969, № 19.

34. О своей программе авторы рассказывают в статье «Об анализе ферзевого эндшпиля при помощи ЭВМ» в выпуске «Проблем кибернетики», упомянутом в главе 1.

<<< |1|…|6|7|8|9|10|11|12|13|14|…|19| >>>
Комментарии: 0