x, y, z

Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана

Комментарии: 1
Отрывок из книги «Величайшие математические задачи» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта о важнейших нерешенных математических задачах и их месте в общем контексте математики и естественных наук.

Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи
В 1859 году немецкий математик Бернхард Риман взял давнюю идею Эйлера и развил ее совершенно по-новому, определив так называемую дзета-функцию. Одним из результатов этой работы стала точная формула для количества простых чисел до заданного предела. Формула представляла собой бесконечную сумму, но специалистам по анализу к этому не привыкать. И это не было бесполезной игрой ума: благодаря этой формуле удалось получить новые подлинные знания о мире простых чисел. Мешала только одна маленькая неувязка. Хотя Риман мог доказать, что его формула точна, самые важные потенциальные следствия из нее полностью зависели от одного простого утверждения, касающегося дзета-функции, и вот это то простое утверждение Риман никак не мог доказать. И сегодня, полтора столетия спустя, мы все еще не сумели сделать это. Сегодня это утверждение называется гипотезой Римана и представляет собой, по сути, священный Грааль чистой математики.

[…]

Теорема о распределении простых чисел была ответом на евклидову теорему о том, что простые числа уходят в бесконечность и могут быть сколь угодно большими. Другая фундаментальная евклидова теорема говорит о единственности разложения на простые множители: каждое положительное целое число есть произведение простых чисел, причем только одного их набора. В 1737 году Эйлер понял, что первую теорему можно переформулировать в виде поразительной формулы из действительного анализа, и тогда второе утверждение становится простым следствием этой формулы. Для начала я представлю формулу, а затем попытаюсь разобраться в ней. Вот она:

$\frac{1}{1-2^{-s}}\times \frac{1}{1-3^{-s}}\times\cdots \times\frac{1}{1-p^{-s}}\cdots=\frac{1}{1^{s}}+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\cdots$

Здесь $p$ принимает все простые значения, а $s$ — константа. Эйлера интересовал в основном случай, при котором $s$ — целое число, но его формула работает и для действительных чисел, в случае если $s$ больше единицы. Это условие необходимо для того, чтобы ряд в правой части сошелся, т. е., будучи продолжен до бесконечности, принял бы осмысленное значение.

Это необыкновенная формула. В левой части мы перемножаем бесконечно много выражений, которые зависят только от простых чисел. В правой — складываем бесконечное число выражений, которые зависят от всех положительных целых чисел. Эта формула выражает, на языке анализа, некоторое отношение между целыми и простыми числами. Главное отношение такого рода — это единственность разложения на простые множители, именно она оправдывает существование формулы.

[…]

Вот теперь сцена была готова к появлению Римана. Он тоже понял, что дзета-функция — это ключ к теореме о распределении простых чисел, но для реализации этого подхода ему пришлось предложить смелое расширение: определить дзета-функцию не только действительной, но и комплексной переменной. А начать можно с ряда Эйлера. Он сходится для любых действительных $s$ больше единицы, и если использовать для комплексного $s$ в точности ту же формулу, то ряд будет сходиться при любых $s$, у которых действительная часть больше $1$. Однако Риман обнаружил, что можно сделать и лучше. Применив процедуру так называемого аналитического продолжения, он расширил определение $\zeta(s)$ на все комплексные числа, за исключением $1$. Это значение s исключено потому, что при $s = 1$ значение дзета-функции становится бесконечным.

В 1859 году Риман собрал все свои мысли о дзета-функции в одну статью, заголовок которой можно перевести как «О количестве простых чисел, не превышающих заданной величины». В ней он привел полную и точную формулу $\pi(x)$. Я опишу более простую формулу, эквивалентную римановой, чтобы показать, как появляются нули дзета-функции. Идея заключается в том, чтобы подсчитать, сколько простых чисел, или степеней простых чисел, укладывается до любого заданного предела. Однако вместо того чтобы сосчитать каждое число по одному разу, как функция $\pi(x)$ делает с простыми числами, мы придаем большим простым числам дополнительный вес. Более того, любая степень простого числа учитывается в соответствии с логарифмом этого простого числа. Так, для предела $12$ мы имеем следующие степени простых чисел:

$2,\ 3,\ 4 = 2^2,\ 5,\ 7,\ 8 = 2^3,\ 9 = 3^2,\ 11,$

поэтому взвешенный подсчет дает

$\log 2 + \log 3 + \log 2 + \log 5 + \log 7 + \log 2 + \log 3 + \log 11$,

что составляет примерно $10{,}23$.

Воспользовавшись методами анализа, информацию об этом более хитроумном способе подсчета простых чисел можно превратить в информацию об обычном способе. Однако этот метод приводит к более простым формулам, и присутствие логарифма — не слишком дорогая цена за это. В этих терминах точная формула Римана говорит о том, что взвешенный подсчет до предела $x$ эквивалентен

$-\sum_{\rho }\frac{x^\rho}{\rho}+x-\frac{1}{2}\log(1-x^{-2})-\log 2\pi$

где $\sum_{\rho}$ обозначает сумму по всем числам $\rho$, для которых $\zeta(\rho)$ равна нулю, исключая отрицательные четные целые числа. Эти значения называются нетривиальными нулями дзета-функции. Тривиальные нули — это отрицательные четные целые числа $-2,\ -4,\ -6\dots$ Во всех этих точках дзета-функция равняется нулю из за формулы, которая используется в определении аналитического продолжения, но, как выяснилось, для римановой формулы эти нули несущественны (как и почти везде в других местах).

На случай, если формула вас немного пугает, я укажу главное: хитрый способ подсчета простых чисел до заданного предела $x$, который при помощи кое каких аналитических фокусов можно превратить в обычный способ, в точности эквивалентен сумме по всем нетривиальным нулям дзета-функции простого выражения $\frac{x^\rho}{\rho}$ плюс некая несложная функция от $x$. Если вы специалист по комплексному анализу, вы сразу увидите, что доказательство теоремы о распределении простых чисел эквивалентно доказательству того, что взвешенный подсчет до предела $x$ асимптотически сходится к $x$. Воспользовавшись комплексным анализом, получим: это утверждение верно, если у всех нетривиальных нулей дзета-функции действительная часть лежит между $0$ и $1$. Чебышев не смог этого доказать, но подошел достаточно близко, чтобы извлечь полезную информацию.

Почему нули дзета-функции так важны? Одна из базовых теорем комплексного анализа утверждает, что при некоторых формальных условиях функция комплексной переменной полностью определяется значениями переменной, при которых функция равна нулю или бесконечности, плюс некоторая дополнительная информация о поведении функции в этих точках. Эти особые точки известны как нули и полюсы функции. В действительном анализе эта теорема не работает — и это одна из причин, по которым комплексный анализ завое­вал такую популярность, несмотря на необходимость извлекать корень квадратный из $-1$. У дзета-функции один полюс (при $s = 1$), так что все ее характеристики определяются нулями (если, конечно, не забывать о существовании этого единственного полюса).

Для удобства Риман работал в основном с зависимой кси-функцией $\xi(x)$, которая тесно связана с дзета-функцией и получается из метода аналитического продолжения. Он заметил:

«Весьма вероятно, что все [нули кси-функции] действительны. Хотелось бы, конечно, иметь строгое доказательство этого факта, но после нескольких бесплодных попыток я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования».

Это заявление о кси-функции эквивалентно аналогичному заявлению о зависимой от нее дзета-функции. А именно: все нетривиальные нули дзета-функции представляют собой комплексные числа вида: они лежат на критической линии «действительная часть равна $\frac{1}{2}$» (см. рис.). Эта версия замечания и есть знаменитая гипотеза Римана.

/ax/d1/1/a148/riman-line.jpg
Нули дзета-функции, критическая линия и критическая полоса

Замечание Римана звучит достаточно небрежно, как будто высказано между делом и эта гипотеза не имеет особого значения. И это действительно так, если говорить только о программе Римана по доказательству теоремы о распределении простых чисел. Но во многих других вопросах верно обратное. Многие считают гипотезу Римана важнейшим из остающихся на сегодняшний день открытыми математических вопросов.

Чтобы понять, почему это так, мы должны последовать за рассуждениями Римана чуть дальше. В тот момент ученый был нацелен на теорему о распределении простых чисел. Его точная формула предлагала верный путь к этому достижению: нужно было разобраться в нулях дзета-функции или эквивалентной ей кси-функции. Полная риманова гипотеза для этого не нужна, достаточно доказать, что у всех нетривиальных нулей дзета-функции действительная часть лежит в промежутке от $0$ до $1$, т. е. что сами комплексные корни лежат на расстоянии не более $\frac{1}{2}$ от римановой критической линии — в так называемой критической полосе. Это свойство нулей подразумевает, что сумма по всем нулям дзета-функции, фигурирующая в приведенной выше точной формуле, представляет собой конечную константу. Асимптотически для больших $x$ она вообще может потеряться. Единственный член формулы, который сохранит свое значение при очень больших $x$, это сам $x$. Все остальные сложные слагаемые асимптотически пропадают в сравнении с $x$. Следовательно, взвешенная сумма асимптотически стремится к $x$, и это доказывает теорему о распределении простых чисел. Так что, по иронии судьбы, роль нулей дзета-функции заключается в том, чтобы доказать, что они не вносят существенного вклада в точную формулу.

Риман так и не довел свою программу до логического конца. Более того, он никогда больше ничего не писал по этому вопросу.

Но два других математика, приняв у него эстафету, показали, что догадка Римана верна. В 1896 году Жак Адамар и Шарль-Жан де ла Валле Пуссен независимо друг от друга вывели теорему о распределении простых чисел, доказав, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат в пределах критической полосы. Доказательства у обоих получились очень сложными и техничными, но тем не менее свою задачу они выполнили. Возникла новая мощная область математики — аналитическая теория чисел. Применение ей нашлось в самых разных уголках теории чисел: с ее помощью решали давние задачи и выявляли новые закономерности. Другие математики позже нашли несколько более простых доказательств теоремы о числе простых, а Атле Сельберг и Пал Эрдеш открыли даже очень сложное доказательство, вовсе не требовавшее применения комплексного анализа. Но к тому моменту при помощи идеи Римана было доказано бесчисленное множество важных теорем, включая аппроксимации многих функций теории чисел. Так что это новое доказательство хоть и добавило в эту историю каплю иронии, но ни на что, в сущности, не повлияло. В 1980 году Дональд Ньюман нашел гораздо более простое доказательство, для которого достаточно оказалось всего лишь одной из самых базовых теорем комплексного анализа — теоремы Коши.

Хотя Риман объявил свою гипотезу ненужной для достижения ближайших целей, оказалось, что она жизненно необходима для разрешения многих других вопросов теории чисел. Прежде чем обсуждать гипотезу Римана, нам стоит взглянуть на некоторые теоремы, которые — если бы гипотеза была доказана — из нее следуют.

Одно из важнейших следствий — это величина погрешности в теореме о распределении простых чисел. Теорема, как вы помните, утверждает, что для большого $x$ отношение $\pi(x)$ к $\mathrm{Li}(x)$ [1] приближается к $1$, причем чем дальше, тем сильнее. Иными словами, разница между двумя функциями снижается до нуля относительно величины x. Однако реальная разница при этом может расти (и растет). Просто она делает это медленнее, чем растет сам $x$. Компьютерные расчеты позволяют предположить, что величина погрешности примерно пропорциональна $\sqrt{x}\log x$. Если гипотеза Римана верна, это утверждение можно доказать. В 1901 году Хельге фон Кох доказал, что гипотеза Римана логически эквивалентна оценке

$\left|\pi(x)-\mathrm{Li}(x)\right|\le\frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log x$

для всех $x \ge 2657$. Здесь вертикальными линиями обозначена абсолютная величина: разность, умноженная на $\pm 1$, чтобы сделать ее положительной. Эта формула дает наилучшие возможные ограничения для разницы между $\pi(x)$ и $\mathrm{Li}(x)$.

Из гипотезы Римана можно получить немало других оценок для функций теории чисел. К примеру, из нее прямо следует, что сумма делителей $n$ меньше

$\mathrm{e}^\gamma n \log \log n$

для всех $n \ge 5040$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера ($\gamma = 0,57721$). Эти утверждения могут показаться случайными и странными фактами, но хорошая оценка для важной функции жизненно важна во многих приложениях, и большинство специалистов по теории чисел отдали бы свою правую руку ради того, чтобы доказать любую из них.

Кроме того, гипотеза Римана говорит нам, насколько велико может быть расстояние между последовательными простыми числами. Типичный размер промежутка между ними можно вывести на основании теоремы о распределении простых чисел: в среднем промежуток между простым числом $p$ и следующим простым числом сравним с $\log p$. Некоторые промежутки могут быть меньше, некоторые больше, но математикам жилось бы легче, если бы можно было сказать наверняка, насколько велики могут быть самые большие из них. Харальд Крамер доказал в 1936 г., что если гипотеза Римана верна, то промежуток при простом числе $p$ не может превышать величины $\sqrt{p}\log p$, домноженной на некую константу.

Но подлинное значение гипотезы Римана куда глубже. Существуют далеко идущие обобщения и сильное подозрение, что тот, кто сумеет доказать гипотезу Римана, сможет, вероятно, доказать и связанную с ней обобщенную гипотезу Римана. А это, в свою очередь, даст математикам власть над обширными областями теории чисел.

Обобщенная гипотеза Римана вырастает из более подробного описания простых чисел. Все простые числа, кроме двойки, нечетные, и в главе 2 мы видели, что все нечетные простые можно разделить на два типа: те, что на $1$ больше числа, кратного $4$, и те, что на $3$ больше числа, кратного $4$. Говорят, что это числа вида $4k + 1$ или $4k + 3$, где $k$ — число, на которое вы умножаете $4$, чтобы получить данное простое число. Приведем короткий список первых нескольких простых чисел того и другого типа, вместе с соответствующими числами, кратными $4$:

/ax/d1/1/a148/riman-t1.jpg

Прочерки указывают на то, что соответствующее число не простое.

Сколько существует простых чисел того и другого типа? Как они распределены среди всех простых чисел или среди всех целых чисел? Евклидово доказательство того факта, что простых чисел существует бесконечно много, можно без больших усилий модифицировать, доказав при этом, что существует бесконечно много простых чисел вида $4k + 3$.

Доказать, что простых чисел вида $4k + 1$ тоже бесконечно много, гораздо сложнее, — это можно сделать, но лишь при помощи некоторых достаточно сложных теорем. Разница в подходах обусловлена тем, что любое число вида $4k + 3$ имеет делитель того же вида, а в отношении чисел вида $4k + 1$ это не всегда верно.

В числах этих двух видов нет ничего чудесного или священного. Все простые числа, кроме $2$ и $3$, имеют вид $6k + 1$ или $6k + 5$, и мы можем задать в отношении них аналогичные вопросы. Если уж на то пошло, все простые числа, кроме $5$, имеют вид $5k + 1$, $5k + 2$, $5k + 3$, $5k + 4$. Мы оставляем в стороне числа вида $5k$, поскольку они кратны $5$ и, соответственно, все, кроме $5$, не являются простыми.

Кстати говоря, на любой из подобных вопросов нетрудно выдвинуть разумное предположение — простые числа в арифметической последовательности. Случай с $5k$ достаточно типичен. Эксперимент быстро показывает, что числа приведенных выше четырех видов имеют примерно равные шансы оказаться простыми. Вот похожая таблица:

/ax/d1/1/a148/riman-t2.jpg

Так что должно существовать бесконечное количество простых чисел каждого вида, и в среднем к каждому виду должна относиться четверть всех простых чисел до заданного предела.

Для некоторых видов доказать, что простых чисел такого вида существует бесконечно много, совсем несложно. Для других видов требуются более изощренные рассуждения. Но до середины XIX века никому не удавалось доказать, что существует бесконечно много простых чисел каждого возможного вида, не говоря уже о том, чтобы доказать их более или менее равномерное распределение. Лагранж в 1785 году в работе, посвященной закону квадратичной взаимности — глубокому свойству квадратов простых модулей, — принимал этот факт без доказательства. Результаты дали очевидно полезные следствия, и пора было кому-нибудь это доказать. В 1837 году Дирихле выяснил, как применить идеи Эйлера, связанные с теоремой о распределении простых чисел, для доказательства обоих этих утверждений. Первым делом следовало определить аналоги дзета-функции для этих типов простых чисел. То, что получилось, называется $L$-функциями Дирихле. К примеру, в случае $4k + 1 / 4k + 3$ возникает следующая функция:

$L(s, \xi) = 1 - 3^{-s} + 5^{-s} - 7^{-s} + 9^{-s} - \dots$,

где коэффициенты равны $+1$ для чисел вида $4k + 1$, $-1$ для чисел вида $4k + 3$ и 0 для остальных. Греческую букву $\xi$ называют характером Дирихле, и это напоминает нам о том, какие именно знаки следует использовать.

Для римановой дзета-функции важен не только ряд, но и его аналитическое продолжение, придающее функции значения во всех комплексных точках.

То же относится и к $L$-функции, и Дирихле определил подходящее аналитическое продолжение. Приспособив к случаю идеи, которые использовались для доказательства теоремы о распределении простых чисел, он сумел доказать аналогичную теорему о простых числах особых видов. К примеру, число простых чисел вида $5k + 1$, меньших или равных $x$, асимптотически приближается к $\frac{\mathrm{Li}(x)}{4}$; то же относится и к остальным трем случаям $5k + 2$, $5k + 3$, $5k + 4$. Это означает, что простых чисел каждого вида бесконечно много.

Риманова дзета-функция — это особый случай $L$-функции Дирихле для простых чисел вида $1k + 0$, т. е. для всех простых чисел. Обобщенная гипотеза Римана представляет собой очевидное обобщение оригинальной гипотезы: нули любой $L$-функции Дирихле либо имеют действительную часть, равную $\frac{1}{2}$, либо являются тривиальными нулями, действительная часть которых отрицательна или больше единицы.

Если обобщенная гипотеза Римана верна, то верна и обычная его гипотеза. Многие следствия обобщенной гипотезы Римана аналогичны следствиям обычной. К примеру, схожие границы ошибки можно доказать для аналогичных версий теоремы о распределении простых чисел в применении к простым числам любого конкретного вида. Однако обобщенная гипотеза Римана подразумевает много такого, что совершенно отличается от всего, что мы можем вывести из обычной гипотезы Римана. Так, в 1917 году Годфри Харди и Джон Литтлвуд доказали, что из обобщенной гипотезы Римана следует гипотеза Чебышева, в том смысле, что (буквально) простые числа вида $4k + 3$ встречаются чаще, чем числа вида $4k + 1$. Согласно теореме Дирихле, оба вида равновероятны в конечном итоге, но это не мешает простым числам вида $4k + 3$ выигрывать у чисел $4k + 1$, конечно, в правильной игре.

[…]

Имеется множество косвенных свидетельств того, что гипотеза Римана — как оригинальная, так и обобщенная — справедлива. Много хорошего следовало бы из истинности этих гипотез. Ни одно из этих следствий за все время не удалось опровергнуть, а ведь сделать это — то же самое, что опровергнуть гипотезу Римана. Но ни доказательства, ни опровержения пока нет. Широко распространено мнение, что доказательство оригинальной гипотезы Римана открыло бы дорогу и к доказательству обобщенного ее варианта. Но на самом деле, возможно, лучше было бы атаковать сразу обобщенную гипотезу Римана во всей ее грозной красе — воспользоваться всем арсеналом доступных на сегодняшний день методов, доказать, а затем вывести оригинальную гипотезу Римана как ее частный случай.

[…]

Сегодня у исследователей появился новый стимул к борьбе за доказательство гипотезы Римана: крупный приз.

В математике не существует Нобелевской премии. Самой престижной наградой в этой области является Филдсовская премия за выдающиеся открытия, вместе с которой вручается медаль. Эта премия названа в честь канадского математика Джона Филдса, который и завещал на нее средства. Раз в четыре года на Международном конгрессе математиков двум, трем или четырем молодым ученым не старше 40 лет вручают золотую медаль и денежную премию (в настоящее время это $15 000).

Многие представители математической науки считают правильным, что в их области не присуждается Нобелевская премия. В настоящее время она составляет чуть больше миллиона долларов, а такая сумма легко может исказить цели исследователей и породить споры о приоритетах. Однако отсутствие крупной математической премии также может исказить представления общества о значимости и полезности этой науки. Можно подумать, что открытия, за которые никто не хочет платить, не так уж важны. Возможно, поэтому не так давно появились две очень престижные новые математические премии. Одна из них — Абелевская — присуждается ежегодно Норвежской академией науки и словесности и названа в честь великого норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Вторая награда — это премии за решение семи «проблем тысячелетия», объявленные Математическим институтом Клэя. Этот институт основали в 1998 году в Кембридже (штат Массачусетс) американский бизнесмен Лэндон Клэй и его жена Лавиния. Лэндон Клэй активно занимается паевыми инвестиционными фондами и при этом любит и уважает математику. Его организация проводит встречи, выделяет гранты на исследования, организует публичные лекции и присуждает ежегодную премию за математические исследования.

В 2000 году сэр Майкл Атья и Джон Тейт, ведущие математики Великобритании и США, объявили, что Математический институт Клэя учредил новую премию, которая должна будет стимулировать работу над семью важнейшими нерешенными задачами математики. Эти задачи будут известны как «проблемы тысячелетия», а надлежащим образом опубликованное и отреферированное решение любой из них будет вознаграждено денежной суммой в $1 млн. Все вместе эти задачи призваны привлечь внимание к некоторым центральным для математики вопросам, до сих пор не имеющим ответов. Вопросы эти были тщательно отобраны лучшими математиками мира. Немалый приз должен ясно показать обществу: математика имеет огромную ценность. Всякий, кто имеет отношение к науке, прекрасно знает, что интеллектуальная ценность вполне может быть выше любых денег, но все же деньги помогают сосредоточиться. Самой известной и давней из задач тысячелетия является гипотеза Римана. Это единственный вопрос, который вошел одновременно и в список Гильберта (1900), и в список задач тысячелетия. Остальные шесть проблем тысячелетия обсуждаются далее в главах 10–15. Тем не менее математики не особенно гонятся за призами, и работа над гипотезой Римана продолжалась бы и без обещанной премии. Все, что для этого нужно, — новая перспективная идея.

Стоит также помнить о том, что гипотезы, даже освященные временем, иногда оказываются ошибочными. Сегодня большинство математиков, судя по всему, считает, что когда-нибудь гипотеза Римана будет доказана. Некоторые, однако, думают, что она, возможно, все-таки неверна, и где-то в дебрях очень больших чисел может скрываться нуль дзета-функции, который не лежит на критической линии. Если такой «контрпример» существует, то он, скорее всего, окажется очень-очень большим.

Однако на переднем крае математики просто мнение стоит немного. Интуиция зачастую очень помогает ученым, но известно немало случаев, когда это замечательное чувство ошибалось. Житейский здравый смысл может лгать, оставаясь при этом и общепризнанным, и здравым. Литтлвуд, один из лучших знатоков комплексного анализа, выразился вполне однозначно: в 1962 году он сказал, что уверен в ошибочности гипотезы Римана, и добавил, что нет никаких мыслимых причин, по которым она была бы верна. Кто прав? Поживем, увидим.

Иэн Стюарт
Emeritus Professor of Mathematics at the University of Warwick, England


1. $\mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}$ – сдвинутый интегральный логарифм - Прим. ред. scircle.net
Комментарии: 1