x, y, z

В. А. Успенский: «Математика — это гуманитарная наука»

Комментарии: 0
В.А. Успенский и М.С. Гельфанд. 2013 год. Фото Н. Деминой
В. А. Успенский и М. С. Гельфанд. 2013 год. Фото Н. Деминой

В новогодние каникулы 2014 года Владимир Андреевич Успенский любезно согласился встретиться и поговорить с Михаилом Гельфандом. Мы публикуем расшифровку стенограммы этой беседы, подвергшуюся минимальному редактированию. Курсивом показаны места, выделенные в разговоре интонацией.

В ходе интервью В. А. Успенским было рассказано о двух его любимых лекторах, П. С. Новикове и И. М. Гельфанде. Этот рассказ помещен в конце интервью.

Математика, физика и лингвистика

— Насколько я понимаю, у Вас занятия математикой всегда происходили на границе математики и языка, это был в каком-то смысле лингвистический фланг математики.

— Я не могу сказать, что это происходило на границе математики и лингвистики. Скорее, это был логический фланг. Все-таки математикой я начал заниматься существенно раньше, чем лингвистикой.

Есть такой уважаемый мною человек, Евгений Абрамович Бунимович. В ноябре 2013 года, на церемонии вручения премии «Просветитель», членом жюри которой он состоит, он сказал: «В России есть всего два математика, которые считают, что математика — это гуманитарная наука: это Владимир Андреевич Успенский и я».

— Я не математик, но я тоже так считаю.

— Правильно. Но, скажем, великий Арнольд — наши ранги как математиков несопоставимы, так что я испытываю неловкость, возражая ему, — считал, что математика это часть физики.

— Я ровно про это и хотел спросить.

— Если математика — часть физики, то с таким же успехом она — часть психологии. Потому что всё происходит в голове у человека. Возьмите такую науку, как теория чисел. Никаких аксиом там нет. Я плохо отношусь к Виноградову [1], как и большинство приличных людей, но его книжку «Основы теории чисел» читал с огромным удовольствием.

Она начинается из ничего и доходит до некоторых высот. Потому что в головах имеется некоторое представление о натуральном числе, и если один человек сидит здесь, а другой — в Новой Зеландии, то это представление у них будет одинаковым: ведь выводы, к которым они приходят, совпадают. Значит, это свойство человеческой психологии. Некоторые выводят из этого существование Бога. Об этом я не берусь судить, но сам факт такого единства достоин внимания.

— Недавно в Science была статья, что восприятие малых количеств у людей в голове находится вовсе не в том месте, где последовательный индуктивный счет. И имеется пространственный градиент активности в соответствующей зоне коры головного мозга в зависимости от числа предъявленных картинок, от одного до семи [2].

— Конечно, а дальше уже «много». Это отражается в языке: два, три, четыре стула, но пять стульев. Мой любимый тезис, что бесконечность — это аппроксимация конечного сверху. Иногда проще сказать не «восемь септильонов», а «бесконечно».

— «Много» начинается там, где не видно сразу, а надо считать, показывая пальцем.

— Вы затронули интересный вопрос, мне его иногда задают важные коллеги, — откуда начинается натуральный ряд, с ноля или с единицы? Дело в том, есть два понятия натурального ряда. Есть количественное, оно охватывает ноль: «Сколько здесь крокодилов? — Ноль», а есть «считательное»: если пересчитывать крокодилов, то, конечно, будет «раз, два, три…».

— Но большинство математиков все-таки идут от физики. Владимир Игоревич Арнольд, Юрий Иванович Манин [3], Израиль Моисеевич <Гельфанд>…

— Откуда идет большинство — это я не знаю. Египетская математика идет от прикладных задач, как пирамиды строить.

— То есть, это, скорее, физическая линия.

— Да, но греческая математика уже идет от высоких воспарений. Все-таки европейская математика происходит из Греции, а не из Египта. Пифагор — несоизмеримость отрезков [4], на хрен она, вообще говоря, была грекам нужна для их физики? А это великое открытие.

— Но если в европейской математике есть, условно, египетская физическая линия и греческая психологическая.

— Я бы сказал, психолого-эстетическая.

— … то как в других математических культурах?

— Откуда же мне знать?

— Вы не пытались смотреть?

— Для этого нужно быть специалистом по истории математики.

— Вам никогда не хотелось?

— Хотелось. История математики — это чрезвычайно интересная наука, находящаяся повсеместно на довольно низком уровне. По следующей причине: ею занимаются люди, иногда вполне неглупые, но, как правило, те, у кого не получалась математика. Я с этим столкнулся на следующем примере. Когда мы с А. Л. Семёновым писали книжку про алгоритмы [5], мне нужно было узнать, у кого появилось понятие алгоритма — не слово (все знают про Аль-Хорезми [6]), а понятие алгоритма как описания процесса, который не ограничен в числе шагов, но приводит к результату.

На ответ я наткнулся почти случайно. Впервые это понятие появилось у Эмиля Бореля в 1912 году, но никто об этом не знал, потому что появилось оно в статье Бореля об определенном интеграле. Там он писал о «вычислениях, которые можно реально осуществить», подчеркивая при этом: «Я намеренно оставляю в стороне большую или меньшую практическую деятельность; суть здесь та, что каждая из этих операций осуществима в конечное время при помощи достоверного и недвусмысленного метода». Специалисты по математическому анализу, интересующиеся понятием интеграла, это прочли и пропустили мимо. А специалисты по теории алгоритмов в такую литературу не заглядывают. А ведь Борель в точности определил, что такое алгоритм.

— Примеры алгоритмов были и раньше.

Примеры — разумеется. Я говорю про понятие, это большая разница. Конечно, у Аль-Хорезми были описания, как что-то там складывать…

— Или европейские математики, которые друг с другом соревновались в решении разных типов кубических уравнений.

— Задачи на построение — это по существу тоже алгоритм.

— Раз так, у Евклида не найдется строгого списка разрешенных операций и их последовательных комбинаций?

— Не найдется.

—А если широко на это посмотреть?

— Если посмотреть очень широко, да еще с современных позиций, то, возможно, из книг Евклида можно извлечь такой список. Осознавал ли его Евклид, неизвестно.

— Еще о классификации наук. Если считать, что математика — гуманитарная наука, то не является ли лингвистика — естественной наукой?

— Нет.

— Именно лингвистика, не филология.

— Если так, это правильный вопрос. Тогда да, согласен, в значительной степени является. Я считаю, что главная беда лингвистики — что она оказалась склеенной с литературоведением. Как сиамские близнецы. Что ее губит.

В.А. Успенский с сыном. 1978 год
В. А. Успенский с сыном. 1978 год

Математика и музыка

— Очень многие хорошие математики, которых я мог наблюдать или про которых слышал, много и в каком-то смысле глубоко слушали музыку. Израиль Моисеевич, Манин.

— Колмогоров.

— Музыкальный клуб на мехмате.

— Да, Александров.

— В моем поколении Максим Концевич…

— И что?

— Это правильное наблюдение?

— Правильное.

— Не связано ли это с тем, что одни и те же структуры мозга работают?

— Откуда же мне знать?

— А если фантазировать?

— С таким же успехом это может быть связано с тем, что работают противоположные структуры и происходит отдых. Можно сделать такой вывод и написать несколько диссертаций, а можно сделать другой вывод и тоже написать несколько диссертаций.

— Сейчас, видимо, можно приложить электроды и померить, какие области работают там и там. Меня удивляет, что этого никто не сделал.

— В мае 2004 года я побывал в Провиденсе, куда меня привезла мой друг Таня Корельская с целью посмотреть церемонию выпуска бакалавров Брауновского университета. Дело в том, что среди тех, на кого надели мантию, была ее старшая дочь Ксения. Таня привела меня в дом Вашего отца, которого я знаю с его 11 лет. Там я был напоен лучшей водкой, которую я когда-либо пил, и которую я с тех пор не могу ни забыть, ни найти [7]. А Ксения, занимавшаяся нейролингвистикой, привела меня в одну из университетских лабораторий, где мне показали на экране компьютера, как меняется приток крови к различным участкам мозга при произнесении тех или иных слов. Это, конечно, более грубо, чем электроды. Вот Вы — доктор биологических наук — сделайте.

— Я не тех биологических наук доктор.

— Ну, найдите кого-нибудь, кто сделает.

— А Вы слушаете музыку? Насколько это для Вас существенно?

— У меня с музыкой очень плохо, я об этом очень сожалею. Андрей Николаевич Колмогоров пытался меня приучить, что-то объяснял. Например, он мне объяснил вещь, которую я до него не понимал. Я не любил пение; как говорила моя теща, «я не люблю, когда при мне поют», — вот это мне было очень понятно. Он мне объяснил, что это такой музыкальный инструмент. Есть виолончель, есть фортепиано, а есть человеческий голос. Но я задал ему вопрос, на который он не смог ответить: «А слова-то зачем? Я их всё равно разобрать не могу».

— У Баха понятно, зачем.

— Это религиозные гимны, тут понятно, зачем.

— У Баха была целая риторическая система [8].

— Это другое дело, тут слова, которые иллюстрируются музыкой. А я помню арию Орфея «Потерял я Евридику, Евридики нет со мной», которую на виниловой пластинке мне ставил Колмогоров. Он честно пытался приучить меня к музыке. Андрей Николаевич меня должен был выгнать за эту неспособность, но терпел. Я сам себя в этом смысле считаю человеком патологическим. Это что-то вроде дислексии — я слышу по радио музыку, я понимаю, что я эту музыку много раз слышал и ее люблю, но запомнить, кто это и что это, я не в состоянии.

— Это другое. Вот я, скажем, лица людей не помню. И не связываю с именами. Но саму мелодию помните?

— Воспроизвести, конечно, не могу. Но я помню, что я эту мелодию много раз слышал, она мне нравится, но что это. Единственное, что я могу опознать, — это «Болеро» Равеля, причем не само «Болеро», а ритм барабана [9] — я его с трудом, но выучил.

Ну, подождите. Многие крупные математики, тот же Колмогоров, занимались усиленно спортом. Нет, не спортом, а именно физической культурой.

— Кажется, меньше. И потом, это их не выделяет из других ученых. А вот любовь к серьезной музыке — это уже специфично для математиков.

— Интересно, да.

— Опять, если бы были под рукой хорошие социологи, можно было бы их на это напустить.

Как думают математики

— Чем отличается хороший математик от плохого? В чем разница во внутренних ощущениях и в способах обращения с материалом?

— Откуда же я знаю? Я же не хороший математик, я только со стороны могу смотреть. Есть несколько жанров математика. Когда-то мне Колмогоров говорил, что может быть очень хорошая работа, в которой теорем почти не доказывается, но вводится система понятий, которая чрезвычайно важна. Сюда же, видимо, относятся те, кто открывает новые теории. Третьи — те, кто решает задачи, которые стояли много лет, в узкой области.

Вот, опять, Виноградов — он хороший математик или нет? Наверное, сильный, и даже очень сильный, хотя и «узкий». Конечно, было бы лучше, если бы не делали вид, что он решил проблему Гольдбаха [10], которую он не решил. Но то, что он действительно решил в этой проблеме, достойно всяческого уважения. Так что есть разные математики. Что-то должно реализоваться: или умение решать сложную проблему, или придумывать новые теории, или создавать новую систему понятий.

— Я бы еще четвертое добавил — умение видеть связи между далекими областями.

— Вы правы. То, что умел делать Ваш великий дед.

— Я из воспоминаний о нем это и узнал — я не сам это придумал. Поскольку я вообще никакой не математик, хотя тоже мехмат заканчивал.

Когда я наблюдал математически сильных людей, на моем курсе и вокруг, у меня всегда было ощущение, что они умеют обращаться с понятиями, для которых у меня нет соответствующей машинки в голове. Пока можно было формально писать — я чисто алгебраически это делал, но как только чуть выходило за рамки, оказывалось, что я просто не умею про это думать.

— Думаю, Вы не по адресу. Вам надо бы взять какого-нибудь сильного математика, Манина, например.

— Я разговаривал с Юрием Ивановичем [3]. Это не помогает. Они в этот момент начинают, как поэты, разговаривать образами.

— Колмогоров, на моей памяти не меньше двух раз, обращал внимание вот на что. Математик, когда он думает, шевелит руками, пальцами. Он явно геометризирует какие- то мысленные конструкции. Колмогоров считал, что если изучить эти движения, то можно что-то понять в отношении мышления математика. Кто-то сказал, не помню кто, что математика берет образы несуществующие и обращается с ними, как с существующими. «Возьмем паракомпакт и выберем в нем точку» — что, как, где возьмем? Как выберем?

Тогда это возвращает нас к разговору про математику и музыку. Альфред Шнитке говорил, что, когда он пишет музыку, он записывает то, что уже знает. Он не сочиняет последовательно — первую часть, потом вторую, — нет, у него имеется некоторый цельный образ, и его задача, как композитора, наиболее адекватно передать этот образ теми средствами, которые есть в его распоряжении.

— Когда математик пишет статью, он, конечно, в голове ее всю уже написал. Технических деталей может не хватать, но всё уже понятно.

Откуда берутся ошибки в математике? Ошибочные гипотезы — сбой этого механизма? Неправильная картинка в голове возникла?

— Конечно. Но она — мощный двигатель прогресса. Вот, например, у Колумба была ошибочная гипотеза, что если плыть на запад, то там сразу Индия.

Это пример не совсем про то; тут уж очень конкретно. Есть примеры, когда такие ошибки сильно продвинули математику?

— Убежден, что есть… (пауза). Ну вот, у великого математика Анри Лебега [11] была неправильная теорема, которую он опубликовал. Из ее опровержения возникла дескриптивная теория множеств. Фундаментальный вклад в эту теорию внес Николай Николаевич Лузин, создатель московской математической школы. У Лузина была книга [12], первоначально, в 1930 году, изданная в Париже по-французски с лестным предисловием Лебега.

Она потом два раза, отдельным изданием в 1953 году и во втором томе собрания сочинений Лузина в 1957 году, выходила в СССР в русском переводе, и оба раза обходились без предисловия Лебега. Это само по себе замечательно — кто такой Лебег, чтобы на него тратить время и бумагу. Про издание 1953 года всё понятно: оно готовилось еще при жизни Сталина, в период инициированной им борьбы с «низкопоклонством перед Западом». В издание 1957 года предисловие, думается, не было включено по причине традиционного издательского консерватизма.

Русский перевод предисловия удалось опубликовать лишь в 1985 году в связи со столетием Лузина [13]. Так вот, в этом предисловии было сказано: «Источником всех проблем, о которых пойдет здесь речь, послужила грубая ошибка в моем Мемуаре об аналитически представимых функциях. Плодотворная ошибка, меня просто вдохновило ее совершить». И далее: «Доказательство было простым, коротким, но неверным».

Это вот про что. Сначала на прямой — вы начинаете с отрезков, а дальше применяются три операции: дополнение, объединение счетного числа множеств и пересечение счетного числа множеств. Всякое множество, которое можно получить в результате, называется борелевским. На плоскости — аналогично, только начинаем с прямоугольников. А дальше вопрос: проекция плоского борелевского множества на прямую — это борелевское множество или нет? Лебегу было очевидно, что борелевское, и он это доказал и сделал из этого глубочайшие философские выводы, что математический анализ замкнут сам в себе, потому что за пределы борелевских множеств нельзя никуда выйти.

Дальше была драматическая история — в России на семинаре Лузина была обнаружена ошибка. У Лузина был выдающийся ученик, Суслин [14], который построил пример борелевского множества, проекция которого не борелевская. Сейчас проекции борелевских множеств называют суслинскими или А-множествами, Лузин называл их аналитическими. Им посвящена целая книга [12], от которой и пошла современная дескриптивная теория множеств.

Это пример не просто неправильной гипотезы, а неправильной теоремы, которая послужила толчком к созданию целого направления математики.

Какой математике учить

Разговор про основы матанализа подводит еще к одному сюжету. Ясно, что многим нематематикам, условно говоря, филологам и биологам, нужна математика, и их надо ей учить.

—Ну, филологам вряд ли… Разве что статистика для стиховедения.

Лингвистам.

— Лингвистам — да. Биологам — конечно.

Теперь — для чего она им нужна? Первое соображение — тривиальное. Скажем, всем нужна статистика; это часть математики. Биологам нужны дифференциальные уравнения.

— Это у нас математическая статистика — часть математики. На Западе математическая статистика и теория вероятности образуют отдельный раздел науки, по объему равный математике, а то и превосходящий ее.

Везде на Западе или только в США?

— Точно не знаю.

Если США, то понятно, почему так.

— Да, из практических соображений. Страхование и так далее.

Ну вот, первое, чему надо учить — это, грубо говоря, набор навыков, в каком-то смысле инженерных. А вторая причина — это то, что математика «ставит» мозги. Люди должны понимать смысл логических утверждений, понимать, что он может сильно поменяться от изменения порядка слов, что кванторы нельзя переставлять. «Для любого эпсилон существует дельта такая, что…» и «существует такая дельта, что для любого эпсилон… » — это существенно разные вещи.

— Это главное.

Конечно. Но правильно ли учить этому на материале классического анализа, на языке эпсилон-дельта? Или сейчас для этого стоит брать какой-нибудь другой раздел математики? Я смотрел программу экзамена на нашем факультете биоинформатики. Вершиной там была лемма о компактности шара.

— Это им не нужно. Это и на мехмате бывает сложно первокурсникам.

В России всюду поступают так. Берут мехматское образование и в разных местах его урезают, иногда сильно, иногда слабо, иногда, скажем, на ВМК [15], оставляют почти такое же. На мехмате понятно, зачем эпсилон-дельта: математический анализ нужно профессионально выучить.

Учат всюду неправильно.

А как правильно?

— Как правильно, я не знаю. Прежде всего, надо правильно обозначить цели. Может быть, цель — научить логике? Я много лет преподавал математическую логику лингвистам… Ну, например, что является отрицанием утверждения «в этой аудитории каждый из студентов знает хотя бы один из двух языков — баскский или чукотский» [16]? Вот на таких примерах надо учить.

Казалось бы, это ничем не отличается от эпсилон-дельта.

— Правильно. Это не отличается по целям и по способу, но это гораздо нагляднее.

Это для лингвистов. А для биологов?

— Для всех. Какая разница?

Может быть, биологов вообще не надо этому учить, потому что не видно, где бы в биологии это было существенно. Лингвисты должны видеть структуру предложения…

— Все говорят на языке — все должны видеть структуру.

Мне казалось, что биологов надо учить на материале комбинаторики. Понять разницу между схемой с возвращением и схемой без возвращения [17] — это примерно такое же интеллектуальное усилие, как понять порядок кванторов.

— Не совсем. Вы правы, что это усилие такой же трудности. Но содержательно — я не согласен. Чему надо учить биологов — это Вам виднее. Это Вам виднее. Определять это должны не математики, которые всех хотят учить всему, а те, кого учат. Чему надо учить — неизвестно. Чему в школе надо учить, не знает никто.

Возможно, я не с того конца зашел. Есть две области математики, которые имеют дело с простыми и очень естественными объектами: логика, которая фактически работает с языком, и комбинаторика, которая имеет дело с предметами.

В.А. Успенский. 2012 год. Фото с сайта gorod.afisha.ru
В.А. Успенский. 2012 год. Фото с сайта gorod.afisha.ru

— Комбинаторика имеет дело с множествами. Стало быть, появляются кванторы. Ну, вот совсем простая задача: в Швейцарии каждый знает не менее трех из четырех официальных языков. Доказать, что любые три швейцарца могут объясниться на общем языке. Это и комбинаторика, и логика.

Видимо, правильный курс должен состоять из таких вещей. Если считать, что есть цель преподавания математики «естественным» ученым, помимо инженерной…

— Ломоносов говорил, я это по своей брошюре [18] цитирую: «Математику уже за то любить надо, что она ум на место ставит».

… из чего такой курс должен состоять?

— Вы ошибочно полагаете, что я знаю. Но я согласен, что комбинаторика там должна занимать большое место. В частности, такого сорта задачи: имеются монеты, некоторые из них фальшивые, и нужно сколькими- то взвешиваниями определить, какие. Разные схемы могут быть.

Все-таки, это, скорее, про то, как надо учить математике в биологической школе. Это уровень интересных задач и общего развития. А я спрашиваю, надо ли преподавать что-то систематическое.

— Опять — нужно подойти с другого конца. Кто-то мне давно сказал, что «надо» — слово бессмысленное. Правильно — «надо для чего-то». Вот и решайте.

Вот Лузин, когда учился в гимназии, «поначалу обнаружил полную неспособность к математике в той форме, в которой она преподавалась (заучивание правил и действия по шаблонам)» [19].

Любимые лекторы

П.С. Новиков. Фото с сайта mathnet.ru
П. С. Новиков. Фото с сайта mathnet.ru

В моей жизни были два совершенно гениальных лектора. Походы на их лекции являлись полным наслаждением. Причем, я очень хорошо помню, что, хотя ходить было наслаждением, как на концерт, если лекция отменялась, я был рад. Почему? Не знаю, какая-то психология — я не мог и сейчас не могу объяснить механизм.

Этими лекторами были Пётр Сергеевич Новиков и Израиль Моисеевич Гельфанд. Оба читали на мехмате, в старом здании на Моховой. У них были абсолютно противоположные стили.

У Новикова лекция часто состояла из поправок к предыдущей: он исправлял неточности, даже ошибки. Общение со студентами было, я бы сказал, повышенно любезное. Студентов было мало — это были необязательные лекции по дескриптивной теории множеств, факультатив для желающих. Сидело человек 12, а то и меньше. Помню неприятный момент, когда пришла сотрудница деканата и переписала, кто с мехмата, — оказалось трое.

Народу было так мало, что однажды, когда я не мог прийти на следующую лекцию, я его предупредил — было бы заметно. Его реакция была совершенно неожиданной, он сказал: «Ну, так мы отменим». Я его предупредил перед лекцией, и он начал ее с объявления, что следующая лекция будет не по расписанию, а через раз.

Среди постоянных слушателей был Есенин-Вольпин. Вот Новиков говорит: «А теперь мы должны ввести целое множество символов». Есенин-Вольпин, естественно, спрашивает: «А что такое символ?» («Википедия»: «Основу математических и философских взглядов Есенина-Вольпина составляет крайний скептицизм — отрицание всех принимаемых на веру абстрактных понятий». — М.Г.). И вся лекция уходит на выяснение того, что такое символ. При этом всё у меня было записано, мои конспекты даже ездили в Воронеж ценной бандеролью. Дескриптивная теория множеств — это вещь тяжелая.

Теперь Гельфанд. Продумано всё до последней мелочи. Необычайно изящно. Он когда-то сказал: «Моцарт! Он не делает ошибок!» (Это было про Колмогорова, который под конец жизни как раз допустил пару ошибок и очень расстраивался.) И вот он сам изяществом стиля своих лекций был, как Моцарт. Это был 1950/1951 учебный год, обязательные лекции по интегральным уравнениям для четвертого курса. Они читались в одной из больших, но плоских аудиторий (самые большие аудитории — амфитеатром).

И.М. Гельфанд. Фото с сайта mathnet.ru
И.М. Гельфанд. Фото с сайта mathnet.ru

Лекции обязательные для четвертого курса, но на них приходят с других курсов, с других факультетов (с физического бегают) — сидят на подоконниках, висят на люстрах. Читает очень ясно, но как-то раз я чего-то не понял. Я послал ему записку, что такое-то место мне непонятно; не подписался. Он прочитал записку и сказал: «Ну, только полный идиот может написать такое. Он ничего не понимает с самого начала, и не понятно, что он вообще тут делает». Высказался по полной программе. Я пришел в бешенство: «Твою мать — я студент, ты профессор, я могу чего-то не понять, твое дело объяснить — ну или сказать, что сейчас не время, и объяснить после лекции — но не хамить».

А еще у него была манера тыкать пальцем в произвольного студента и вызывать к доске. И он тыкает в меня, совершенно случайно: «Вот, мы дошли до такого места, что мы дальше должны делать?» Я знаю, но говорю: «Я не знаю». Он спрашивает: «Как это Вы не знаете?» И начинает на меня орать. Когда он кончил орать, я сказал: «Не знаю я потому, что я забыл дома очки и не вижу». Я действительно забыл очки, но, напрягшись, со второго ряда мог разглядеть, хотя с трудом, и всё понял и записал. Он говорит: «Чего Вы тогда тут сидите?» И вот тут я ему врезал. Я сказал: «Сижу я тут потому, что у нас обязательное посещение». Еще раз повторяю: сидят на подоконниках, с других курсов, с других факультетов, и вообще, это огромное событие — лекции Гельфанда. Что он мог сказать? — «Садитесь».

Я понимаю, что накликал беду на свою голову. Потом экзамен. Экзамен у Гельфанда происходит так: он запускает сразу человек двадцать. Всем дает задачу, каждому свою, а сам бегает и смотрит. Решил человек задачу — может выбрать: немедленно получить тройку или, если хочет больше, ему опять дается задача, уже следующего уровня, и всё повторяется.

Мне он дает задачу, русским языком сказать, охренительную. Я чрезвычайно себя ругаю, что ее не записал. Несколько лет помнил, потом забылось.

Решить я ее не могу. Он на меня поглядывает с большим удовлетворением — конечно, он меня запомнил. Так проходит два часа. Экзамен еще продолжается, кто-то приходит, уходит. Он видит, что у меня ничего нет. Подходит и спрашивает: «Ну, как у Вас?» Я говорю: «Вот у меня такие-то соображения». Он опять начал орать: «Меня не интересуют Ваши соображения! Меня интересует, решили Вы задачу или не решили. Если решили — пишите решение. Если не решили — так и скажите: «Не решил»».

Дальше произошло нечто невероятное. У меня было такое впечатление, что от этого крика у меня в мозге разорвалась какая-то пленка. Даже как будто звук раздался. И в эту самую минуту задача решилась. Конечно, всё это время, пока я сидел, что-то такое у меня в селезенке и родственных органах происходило. Но вот от крика всё решилось. И я тогда ему ехиднейшим голосом говорю: «Простите, Израиль Моисеевич, я думал, Вас интересуют мои соображения, но если Вас интересует всего лишь решение, вот оно». И выписываю ему решение. Мы оба обалдели совершенно одинаково. Он же видел, что у меня нет ничего… Но надо отдать ему должное, он не стал мне давать другой задачи: эта задача уже была на «шесть». Он с отвращением поставил мне «пять», и я удалился.

А дальше происходит следующее. Подходит конец моей аспирантуры. Она заканчивается 15 ноября 1955 года. Наступает весна 55-го года, а диссертация у меня не написана. Она у меня вся есть в голове, есть публикации — надо сесть и записать. И тут моя жена принимает чрезвычайно странное решение —  чтобы я написал диссертацию, меня надо послать в курортный город Палангу, в пансионат Союза писателей. Почему он назывался «пансионат», не ясно — там давали только кров, никакого пансиона не было, питайся, где хочешь.

У меня была комната под крышей, которая страшно раскалялась. Мне было скучно писать диссертацию, поэтому я сначала отредактировал перевод Есенина-Вольпина книги Клини «Введение в метаматематику». Есенин-Вольпин, переведя Клини, совершил этим, конечно, подвиг, но переводил он так. Вот такая фраза: «Все f E g» — как ее надо понять?.. В оригинале было: «All f’s of E are g’s». По-английски «’s» — это множественное число. По-русски как писать — «f-ы»? «g» — это ранее введенные объекты. «Е», оказывается, стоит в родительном падеже. И еще тут пропущено сказуемое-связка. Потом я написал большую статью в «Успехи математических наук», а потом стал лихорадочно писать диссертацию, потом уже в Москве ее дописал, отдал перепечатать и успел защититься в срок.

Ну вот. Приезжаю я в этот пансионат, и первых, кого я вижу, — Гельфанда с семьей, Зорей Яковлевной и тремя сыновьями, старшему из которых, Сереже, было 11 лет; это был Ваш отец. И Гельфанд меня видит. Смешанные чувства отражаются на его лице. С одной стороны, он меня терпеть не может, как мы потом, на следующий день, выяснили. Как и я его. Но там писатели, причем половина — литовских, и я единственный, с кем можно разговаривать. Нет повода для сближения, но происходит вот что: отключается электричество. Там несколько щитов с переключателями, с пробками, что-то перегорело.

И он говорит так: «Вы бегайте по этажам и там выкручивайте и вкручивайте лампочки, а я буду стоять на первом этаже и по Вашим указаниям менять пробки на центральном щите. Это же по Вашей части» (тогда компьютеров не было, главным приложением логики были релейно-контактные схемы). Я начинаю бегать и понимаю, что произошло: я вычисляю ту лампочку, которая перегорела, и сгоревшую пробку; по одной никак не сходилось. Я тогда был молодой, и в голове что-то еще работало. Я ему указал пробку, он ее поменял, и всё заработало. И дальше мы уже довольно быстро подружились.

Владимир Успенский и Михаил Поливанов, конец 1940-х годов. Фото с сайта 050353.ru
Владимир Успенский и Михаил Поливанов, конец 1940-х годов. Фото с сайта 050353.ru

Он спросил, чем я занимаюсь, я ответил, и он сказал: «Ну, хорошо, читайте мне лекции по теории алгоритмов». Мы садились на скамеечке, и я ему прочел три лекции, даже рассказал одну свою теорему, такую, которую можно изложить на пальцах даже с доказательством: рассмотрим вычислимые функции, у которых множество значений бесконечно; совокупность их программ сама не может быть множеством значений вычислимой функции. Это довольно просто и красиво доказывается, но как-то до меня никто не сообразил, что такая теорема может быть. Я ему рассказал, ему понравилось.

А в конце третьей лекции я сказал, что больше лекций читать не буду. «Почему, что такое?» А вот почему: я обратил внимание, что к скамейке, где мы сидели, подошел трехлетний мальчик и начал что-то лепить из песка, и Гельфанд этим заинтересовался и одним ухом меня слушает, а сам обернулся туда и с увлечением строит куличики. «Вы меня перестали слушать, значит, уже хватит: никакого упрека, но произошел естественный конец».

Когда уже надо было уезжать, он мне сказал: «Вы сейчас заканчиваете аспирантуру, я Вас беру в свой отдел в отделении прикладной математики» (оно в несколько раз превосходило численностью, влиянием и финансами Математический институт Академии наук, отделением которого считалось) — «А что я там буду делать?» — «Мы с Вами будем писать книгу. Там надо будет охватить всю математику, но не просто общее введение, а в каждом разделе мы возьмем по яркой теореме. Вот я Вам сейчас расскажу, и мы обсудим». Ну, «обсудим» — это просто так сказано говорил он, а я, раскрыв рот, слушал. Теорема о том, как устроены какие-то поверхности третьего порядка, что-то такое. Теорема о каких-то функционалах. Теорема о том, как у дифференциальных уравнений решения закручиваются куда-то. «Берем эти разделы и пишем, будем обсуждать, Вы будете записывать».

Я пошел к А.Н. Колмогорову, он мой учитель (как, кстати, и Гельфанда). Я сказал, что меня пригласил Гельфанд, это большая честь. «Да, большая честь. Но я Вам скажу, что будет. В течение года, а если повезет, то двух, Вы будете его любимой игрушкой. Через два года он забудет о Вашем существовании». Как мне потом сказали некоторые ученики Гельфанда, которые его хорошо знали, так бы оно и произошло. Поэтому я предпочел не рисковать и пошел по пути, который предложил Колмогоров, — на мехмат МГУ.

Примечания (составлены М. Гельфандом)

1. Иван Матвеевич Виноградов — специалист по теории чисел, много лет был директором Математического института им. В. А. Стеклова, прославившись в этом качестве своим антисемитизмом.

2. B. M. Harvey et al. Topographic representation of numerosity in the human parietal cortex // Science. 2013. V. 341. P. 1123–1126.

3. Ю. И. Манин: «Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает». Троицкий вариант — Наука № 13 от 30.09.2008.

4. Диагональ квадрата несоизмерима (не выражается дробью с целочисленным числителем и знаменателем) с его стороной; это эквивалентно иррациональности квадратного корня из двух.

5. В. А. Успенский, А.Л. Семенов. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука. 1987 — 288 с.

6.    — основатель классической алгебры. От его прозвища «аль-Хорезми» (хорезмиец) происходит слово «алгоритм».

7. Three Olives, производится в Великобритании с 1998 года, но там не продается, а продается в США.

8. Альберт Швейцер. Иоганн-Себастьян Бах. Пер.: М. Друскин. М.: Музыка, 1964 — 728 с.

9. 

10. Тернарная проблема Гольдбаха: каждое число большее или равное шести является суммой трех простых чисел.

11. Henri Leon Lebesgue — автор современной теории интегрирования (так называемый интеграл Лебега).

12. Nicolas Lusin. Legons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications. Gauthier-Villars, 1930.-P. xvi+328. (См. также В. А. Успенский. Вклад Н.Н. Лузина в дескриптивную теорию множеств и функций: понятия, проблемы, предсказания // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 3 (243). С. 85–116.).

13. А. Лебег. Предисловие к книге Н.Н. Лузина «Лекции об аналитических множествах и их приложениях» Пер. с французского В. В. Успенского // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 3 (243). С. 9–14.

14. Михаил Яковлевич Суслин — автор (совместно с Н.Н. Лузиным) теории аналитических множеств (А-множеств).

15. Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ.

16. Ответ: «В аудитории найдется хотя бы один студент, который не знает ни баскского, ни чукотского языка».

17. Например, решим две задачи.

    (1) В ящике лежат 2 черных носка и 2 серых. Из ящика (не глядя) вынимают носок и потом еще один. Какова вероятность, что носки составили пару одного цвета? Ответ: 1/3.

    (2) В ящике лежат 2 черных носка и 2 серых. Из ящика (не глядя) вынимают носок, кладут обратно и потом опять вынимают носок. Какова вероятность, что были вынуты носки одного цвета? Ответ: 1/2.

18. В. А. Успенский. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера. Изд. 2е. М.: МЦНМО, 2012 — 48 с.

19. «Википедия». Статья «Лузин, Николай Николаевич».

«Троицкий вариант» №2(146), 28 января 2014 года

Комментарии: 0