x, y, z

Что такое супремум и инфимум?

# 3 Сен 2015 20:35:22
Albina
Пожалуйста, объясните, что такое супремум и инфимум, просто и понятно.
Почему в натуральном ряде 1,2,3,... Супремума нет, а инфимум равен 1?
# 3 Сен 2015 20:45:34
Evgeniy

Число $a$ называется верхней границей множества $X$, если любое число $x\in X$ не превосходит $a$. Иными словами, $a$ — верхняя граница множества $X$, если $\forall x\in X\ x\le a$.

Множество называется ограниченным сверху, если оно имеет хотя бы одну верхнюю границу.

Если множество ограничено сверху, то его минимальная верхняя граница $s$ называется точной верхней границей, или супремумом, и обозначается $s=\sup X$.

Минимальность верхней границы $s$ означает, что ее нельзя уменьшить. Если мы уменьшим супремум $s$ на любое небольшое $\varepsilon>0$, то число $s-\varepsilon$ уже не будет верхней границей для множества $X$, то есть найдется число $x_0\in X$, для которого $s-\varepsilon$ уже не является верхней границей, то есть будет верно неравенство $x_0 > s-\varepsilon$.

$\begin{tikzpicture}[scale=2] \draw[->] (0,0) -- (4,0); \fill [red] (3,0) circle (0.6pt); \draw (3,0) node[above] {$s$}; \fill [red] (2,0) circle (0.6pt); \draw (2,0) node[above] {$x_0$}; \fill [red] (1,0) circle (0.6pt); \draw (1,0) node[above] {$s-\varepsilon$}; \end{tikzpicture}$


Определение супремума в формальной записи:

$\sup X=s$, если
1) $s$ — верхняя граница $X$, то есть $\forall x\in X\ x\le s$;
2) $s$ — минимальная верхняя граница $X$, то есть $\forall \varepsilon>0\ \exists x_0\in X \colon x_0> s-\varepsilon$.

Аналогично определяется нижняя граница и точная нижняя граница как максимум всех нижних границ.

Число $b$ называется нижней границей множества $X$, если любое число $x\in X$ не меньше $b$. Иными словами, $b$ — нижняя граница $X$, если $\forall x\in X\ x\ge b$.

Множество называется ограниченным снизу, если оно имеет хотя бы одну нижнюю границу.

Если множество ограничено снизу, то его максимальная нижняя граница $i$ называется точной нижней границей, или инфимумом, и обозначается $i=\inf X$.

Определение инфимума в формальной записи:

$\inf X=i$, если
1) $i$ — нижняя граница $X$, то есть $\forall x\in X\ x\ge i$;
2) $i$ — максимальная нижняя граница $X$, то есть $\forall \varepsilon>0\ \exists x_0\in X \colon x_0< i+\varepsilon$.

Множество натуральных чисел $\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}$ не органичено сверху, поэтому и супремума у него нет.

По определению можно показать, что $\inf \mathbb{N}=1$.
Так как $\forall x\in \mathbb{N}\ x\ge 1$, то есть 1 — нижняя граница.
Так как $\forall \varepsilon>0\ \ 1 < 1+\varepsilon$, то 1 — максимальная нижняя граница.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.