x, y, z

Непререывность проекции на компакт

# 11 Авг 2015 00:57:25
Evgeniy

Пусть $M$ — подмножество в метрическом пространстве $X$ с метрикой $\rho$.

Расстоянием от точки $x \in X$ до множества $M$ называется число $\rho(x,M):=\inf_{z\in M}\rho(x,z)$.

Проекцией точки $x\in X$ на множество $M$ называется точка $y=\Pr_M x$ такая, что $y\in M$ и $\rho(x,y)=\rho(x,M)$.

Утверждение

Пусть для любой точки $x\in X$ проекция $\Pr_M x$ на компакт $M$ существует и определена однозначно. Тогда проекция $\Pr_M x$ непрерывно зависит от $x$.

Доказательство

По неравенству треугольника $\rho(x,y) \le \rho(x,x_0) + \rho(x_0,y_0) + \rho(y_0, y)$, откуда $\rho(x,y) - \rho(x_0,y_0) \le \rho(x,x_0) + \rho(y,y_0)$.

Аналогично $\rho(x_0,y_0) - \rho(x,y) \le \rho(x,x_0) + \rho(y,y_0)$.

Таким образом, справедливо неравенство $|\rho(x,y) - \rho(x_0,y_0)| \le \rho(x,x_0) + \rho(y,y_0)$.

Из этого неравенства следует непрерывность метрики $\rho(x,y)$ по совокупности аргументов.

Далее покажем, что расстояние $\rho(x,M)$ до множества $M$ непрерывно по $x$.

Для каждого $y\in M$ верно $\rho(x,M)=\inf_{z\in M}\rho(x,z) \le \rho(x,y) \le \rho(x_0,y) + \rho(x,x_0)$.

Из этого следует, что $\rho(x,M) \le \rho(x_0,M) + \rho(x,x_0)$.

Аналогично $\rho(x_0,M) \le \rho(x,M) + \rho(x,x_0)$.

Следовательно, верно неравенство $|\rho(x,M) - \rho(x_0,M)| \le \rho(x,x_0)$, из которого и следует непрерывность расстояния до множества.

Теперь докажем непрерывность проекции в случае, когда $M$ — компакт, а проекция существует и единственная.

Пусть $x_n\to x_0$, $y_n=\Pr_M x_n$ и $y_0=\Pr_M x_0$.

Предположим, что последовательность $\{y_n\}$ не сходится к $y_0$. Тогда, так как $M$ — компакт, из нее можно выбрать подпоследовательность $y_{n_k}\to \tilde{y}_0$ такую, что $\rho(y_{n_k}, y_0)\ge \varepsilon$.

Так как расстояние до множества непрерывно, то $\rho(x_{n_k}, y_{n_k}) = \rho(x_{n_k}, M) \to \rho(x_0, M) = \rho(x_0, y_0)$.

С другой стороны, из непрерывности метрики следует $\rho(x_{n_k}, y_{n_k}) \to \rho(x_0, \tilde{y}_0)$.

Так как по условию проекция единственная, то $\tilde{y}_0 = y_0$. Следовательно, $y_{n_k}\to y_0$. Но это противоречит предположению $\rho(y_{n_k}, y_0)\ge \varepsilon$.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.