x, y, z

Почему передел многочлена равен значению в точке?

# 27 Апр 2015 16:11:34
Антон
Есть правило, что передел от многочлена при $x\to x_0$ равен значению многочлена в точке $x_0$. Как выводится это правило?
# 27 Апр 2015 18:10:15
Evgeniy

Наверно, правильнее обосновывать это исходя из понятия непрерывность.

По определению, если $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, то функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$.

Нужно показать, что многочлен $g(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ непрерывен в любой точке $x_0$.

Конечные сумма и произведение непрерывных в точке $x_0$ функций непрерывны в точке $x_0$. Это следует из соответствующих арифметических свойств предела.

Действительно, если

$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$,
$\lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)$,

тогда

$\lim_{x\to x_0}f(x)+g(x)=f(x_0)+g(x_0)$,
$\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot g(x)=f(x_0)\cdot g(x_0)$.

Утверждение распространяется на произвольное конечное число слагаемых (сомножителей) с помощью индукции.

Функция $f(x)=x$ непрерывна, что легко доказать по определению. Так как конечное произведение непрерывных функций непрерывно, для любого натурального $n$ непрерывна функция $f^n(x)=x^n$. При умножении непрерывной функции на константу непрерывность также сохраняется, поэтому непрерывен одночлен $ax^n$, где $a$ – константа. Многочлен $g(x)$, в свою очередь, непрерывен как сумма одночленов.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.