Вам поможет знаменитая формула Эйлера: если на плоскости или на сфере нарисован граф с вершинами, ребрами и гранями, то выполнено равенство . Гранью графа называется часть плоскости, ограниченная ребрами, растягивая, но не разрывая которые можно сделать круг.

Для начала, конечно, нужно понять, как футбольный мяч связан с графом. Действительно, давайте считать, что пятиугольники и шестиугольники — это грани графа, их стороны — ребра графа, а вершины — вершины графа. Тогда мы получаем граф, нарисованный на поверхности сферы. Предположим, что мы взяли шестиугольников и пятиугольников. Остается понять, какие ограничения на число ставит формула Эйлера.

Итак, допустим, что мы взяли n шестиугольников и пятиугольников. Посчитаем, сколько будет вершин, ребер и граней в соответствующем графе. Каждый из шестиугольников дает по шесть вершин, а каждый из пятиугольников — по пять, значит всего будет вершин. Однако заметим, что каждую из этих вершин мы посчитали трижды, потому что склеивали по три многоугольника в каждой вершине. Итого в графе вершин. Аналогично получаем, что . Очевидно, что количество граней просто равно количеству многоугольников: .

Теперь запишем формулу Эйлера:


То есть, действительно, если пытаться склеить сферический многогранник так, как описано в условии, то при любом числе шестиугольников потребуется ровно 12 пятиугольников. И это абсолютно строгое доказательство — никакой магии.

Будем далее называть фуллеренами выпуклые многогранники, которые удовлетворяют свойствам из условия: в каждой вершине сходится по три ребра, а гранями являются только пятиугольники и шестиугольники. Вообще, фуллерены — это одна из аллотропных форм углерода: сферические молекулы из атомов углерода, каждый атом в которых принадлежит ровно трем углеродным кольцам, состоящим из 5 или 6 атомов. То есть такое название наших многогранников вполне оправданно.

Первый из открытых фуллеренов, , содержал 60 атомов углерода. Он был синтезирован Р. Кёрлом, Г. Крото и Р. Смолли в 1985 году, причем нельзя сказать, что они сделали это целенаправленно: химики облучали твердые графитовые образцы лазером и анализировали состав конденсированных паров графита, в которых при помощи масс-спектрометрии и были обнаружены кластеры из 60 и 70 атомов углерода. Позже удалось подтвердить, что это действительно (и другой фуллерен — , состоящий из 70 атомов). За это в 1996 году им была присуждена Нобелевская премия по химии.

В свою очередь, фуллеренами эти молекулы были названы в честь американского архитектора, дизайнера и изобретателя Ричарда Бакминстера Фуллера, который запатентовал конструкцию куполов для покрытия больших площадей с опорами только на границе (см. послесловие к задаче «Карандаши и нитки»).

Фуллерены встречаются в природе, попадаются в космосе, имеют многочисленные приложения в биологии, медицине и нанотехнологиях и неоднократно становились героями новостей на нашем сайте (см. подборку материалов ниже).

У многогранника, имеющего форму футбольного мяча и с которого началась эта задача, тоже 60 вершин (это нетрудно проверить, зная формулу Эйлера!) и по форме он почти неотличим от фуллерена . Разница в том, что у фуллерена разные «ребра» — длины связей между атомами углерода: общая сторона двух шестиугольников имеет длину 1,39 Å, а общая сторона шести- и пятиугольника длиннее и равна 1,44 Å. Посмотрим на этот многогранник повнимательнее с математической точки зрения.

Начнем с икосаэдра — правильного многогранника, состоящего из 20 треугольных граней, сходящихся по пять в каждой из 12 вершин. Представим, что он сделан из сыра и отрежем острым ножом каждую вершину. Полученный многогранник логично называть усеченным икосаэдром. Нетрудно заметить, что треугольные грани превратились в шестиугольные, а на месте каждой вершины появилась пятиугольная грань (рис. 1). Таким образом, если считать, что мы резали идеально ровно и все шестиугольные и пятиугольные грани получились одинаковыми, то мы получили правильный усеченный икосаэдр — это и есть «футбольный мяч» (только из сыра).

Рис. 1. Правильный икосаэдр и усеченный икосаэдр.

Как и правильный икосаэдр, так и полученный из него усеченный икосаэдр имеет икосаэдрическую группу симметрии: существует 120 разных движений трехмерного пространства (в данном случае это повороты и отражения), которые переводят в себя правильный усеченный икосаэдр. Фуллерены с такой группой симметрии называются многогранниками Гольдберга (см. Goldberg polyhedron). Интересно, что среди фуллеренов-молекул есть и такие, у которых нет симметрий (H. Yang et al., 2011. Fullerenes without symmetry: crystallographic characterization of and ).

Как мы доказали в задаче, в многограннике Гольдберга всегда 12 пятиугольников, поэтому можно задавать его расположением пятиугольников. А именно, будем ходить от одного пятиугольника до другого «ходом коня»: сначала на шагов в одном направлении, затем поворот на и еще шагов. Оказывается, полученный такой странной процедурой многогранник будет обладать икосаэдрической группой симметрии. Самый простой пример многогранника Гольдберга, — это додекаэдр (правильный многогранник, состоящий из 12 пятиугольников). На рис. 2 показаны многогранники Гольдберга для двух других значений параметров и : , . Кстати, количество шестиугольников в многограннике Гольдберга выражается через и : оно равно (попробуйте это доказать!).

Рис. 2. Многогранники Гольдберга , .

Встречаются фуллерены и с иными группами симметрий. Здесь нужно отметить, что математики любят исследовать объекты, обладающие симметриями: отчасти из-за того, что это обычно бывает проще и удобнее, а отчасти из-за того, что такие объекты нередки в природе и их удобно использовать при моделировании реальных процессов.

Упомянем и о другой связи додекаэдра с фуллеренами. Математики В. Бухштабер и Н. Ероховец в 2015 году показали, что каждый фуллерен комбинаторно эквивалентен (то есть мы разрешаем изменять длины ребер и величины углов, но не разрешаем изменять количества пятиугольников и шестиугольников, — и смотрим, какие многогранники можно такими преобразованиями получить друг из друга) многограннику, получаемому из додекаэдра при помощи последовательности специальных «усечений». Например, один из типов усечений выглядит так: нужно взять пару точек на сторонах существующей грани, соединить их отрезком и немного согнуть по этому новому ребру.