x, y, z

Формула Ньютона-Лейбница и площадь

# 31 Мар 2015 18:03:33
Антон
Меня со школы мучает один вопрос. Вот нам дают готовую формулу Ньютона-Лейбница и говорят, что вот на таком непрерывном промежутке разность первообразных это площадь фигуры. А почему так, не объясняют. Почему они решили, что первообразная связана таким образом с площадью. Как самому вывести такой результат?
# 31 Мар 2015 18:33:58
Evgeniy

То, что площадь криволинейной трапеции равна $\int_{a}^{b}f(t)dt$, следует из определения площади и определения интеграла.

Отрезок $[a;b]$ разбивается на отрезки точками $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяем на суммарную площадь прямоугольников с небольшими основаниями $\Delta x_i = [x_{i-1};\ x_i]$ и высотой $f(\xi_i)$, где $\xi_i \in [x_{i-1}; x_i]$.

Предел $\lim_{\max\Delta x_i\rightarrow 0}\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x_i$, если существует, называется интегралом и обозначается $\int_{a}^{b}f(t)dt$.

Как интеграл связан с первообразной? Если нестрого рассуждать, но можно так обосновать. Пусть $F(x)$ - площадь криволинейной трапеции на отрезке от $a$ до $x$. Ее производная в точке x по определению равна пределу $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$. Геометрически $F(x+h)-F(x)$ равна площади узкого кусочка трапеции с основанием $[x; x+h]$ длины $h$. При $h\rightarrow 0$ площадь этой трапеции стремится к площади прямоугольника с тем же основанием и выстой $f(x)$. При делении площади на $h$, получаем высоту, т.е. $f(x)$. Это и значит, что $F'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$.

Площадь криволинейной трапеции и производная

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x)$, на отрезке от $a$ до $x$ равна некоторой первообразной $F(x)$ функции функции $f(x)$.

Напомню, что функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$, если $F'(x)=f(x)$. Первообразная функции $f(x)$ обозначается $\int f(t)dt$, то есть это неопределенный интеграл. При любой константе $C$, если $F'(x)=f(x)$, то и $(F(x)+C)'=F'(x)+0=f(x)$, поэтому первообразная находится с точностью до константы.

Так как $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ и $F(y)=\int_{a}^{y}f(t)dt$, то имеем $\int_{x}^{y}f(t)dt = F(y)-F(x)$.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.