Рассмотрим монету в то мгновение, на которое она замирает, впервые коснувшись стола. Ребро мы тоже будем дальше называть стороной, то есть монетку считаем трехсторонней. В момент касания дальнейшая судьба монетки определяется только тем, как она расположена относительно вертикально направленной силы тяжести: она упадет на ту сторону, которую первой пересечет вектор силы тяжести (или его продолжение), идущий из центра масс монетки.

Поскольку подброс случайный, то и положение монетки в момент касания случайно. Значит, если взглянуть на эту ситуацию с точки зрения монетки (то есть считать, что она не двигается, а это весь мир вертится вокруг нее), то в момент касания направление вектора силы тяжести может быть любым и все направления равновероятны. То есть на сфере, которую образуют все возможные положения этого вектора, возникают три области, соответствующие сторонам монетки. А вероятности выпадения пропорциональны площадям этих областей. Осталось только понять, как они устроены, и посчитать площади.

Будем считать, что сфера из подсказки описана вокруг монетки (которую мы считаем цилиндром), — это чуть-чуть упростит дальнейшие рассуждения (такое допущение ни на что не влияет, потому что мы рассматриваем подобные сферы и все рассуждения про соотношения площадей и размеров от этого не страдают). Тогда на сфере возникают три области: две «шапки», соответствующие сторонам монетки, и полоса между ними, соответствующая ребру (рис. 1, слева). Чтобы у ребра была такая же вероятность выпадения, как у двух других сторон, нужно, чтобы площади всех трех областей были равны.

Рис. 1. Вид на монетку и описанную вокруг нее сферу сбоку. Если вектор силы тяжести попадает в верхнюю или нижнюю шапки, то монетка упадет на сторону. Если этот вектор попадает в пояс посередине, то монетка встанет на ребро

То есть задача свелась к вычислению площади сферической полосы, «зажатой» между двух плоскостей. Ее можно считать по-разному, но мы сейчас используем замечательное свойство сферы: оказывается, площадь такой полосы зависит только от расстояния между плоскостями (то есть не зависит от их положения относительно сферы). Из этого сразу следует, что толщина монетки должна быть равной трети диаметра сферы.

Осталось связать толщину с диаметром самой монетки. Здесь хватит обычной геометрии — достаточно посмотреть на ситуацию сбоку (рис. 1, справа). Если — диаметр сферы, — диаметр монетки, а — ее толщина, то , и по теореме Пифагора получаем , откуда, то есть толщина должна быть раз меньше диаметра монетки (примерно в раза меньше.).

Возможно, у вас при решении получался ответ, в котором толщина монетки была в корень из 3 раз меньше ее диаметра. Скорее всего, вы считали вероятности, исходя из длин дуг окружности, описанной вокруг прямоугольника (сечения монетки плоскостью, проходящей через ее центр перпендикулярно боковой стороне монетки). Если так, то вы совершенно правильно посчитали.

Ваш ответ отличается от полученного выше, но это не значит, что он неправильный. Дело здесь не в подсчете, а в выборе модели того, как ведет себя монетка при броске. В решении было принято, что она может вращаться как угодно, и поэтому при приземлении может располагаться любым способом относительно поверхности. А вот если рассматривать вращение монетки только в одной плоскости, то и получается, что возможные направления вектора силы тяжести составляют окружность, а условие на равенство вероятностей означает, что ребро монетки должно быть видно из ее центра под углом 60°.

Разные модели приводят к разным вероятностным пространствам — это нормально. Мне кажется, что в данном случае поведение монетки лучше описывается именно моделью из решения. Некоторым подкреплением здесь служит байка о том, что Джон фон Нейман, которому задали вопрос этой задачи, когда он садился в такси, сообщил таксисту свой адрес и сразу же ответил. Причем, ровно так, как в решении. Правда это или нет — не знаю, но эта байка сопровождает задачу о «толстой» монете уже давно. Например, она приводится в прекрасной книжке Ф. Мостеллера «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями».

Что касается трюка в решении, благодаря которому не пришлось площадь поверхности сферического слоя, то этот факт — площадь слоя поверхности сферы между двумя параллельными плоскостями зависит только от расстояния между плоскостями (и не зависит от их положения относительно сферы) — можно установить разными способами. Например, можно «в лоб» найти эту площадь — найдя соответствующий интеграл. Или можно провести более «геометрическое» рассуждение (см. Spherical Surfaces and Hat Boxes). Кстати, оказывается, что площадь такого сферического слоя равна площади слоя, который эти же плоскости высекают на поверхности цилиндра, описанного вокруг данной сферы. Видимо, поэтому этот факт в англоязычной литературе называют «Теоремой о шляпных коробках» (Hat-Box Theorem).

Этот трюк, например, позволяет относительно просто решить следующую непростую задачку. Привожу ее формулировку ниже, а решение примерно через неделю появится в комментариях к этой задаче.

На плоскости нарисован круг радиуса 1. Имеется набор полосок бумаги бесконечной длины с параллельными краями. Полоски могут быть разной толщины, известно лишь, что их суммарная толщина меньше 1. Существует ли набор полосок с такими свойствами, которым можно покрыть полностью данный круг?