Для начала было бы неплохо научиться различать уже придуманные способы обмотки веревки вокруг банок с вареньем. Например, приклеим прямой кусок скотча к столу, пока бабушка не видит. Теперь продеформируем веревку так, чтобы она проходила над куском скотча минимальное возможное количество раз. Теперь заметим, что если два способа дали разные числа, то и сами способы различные! Нужно только правильно выбирать «различающий» кусок скотча для каждой пары способов (на самом деле, конечно, важен здесь не скотч, а тот отрезок, для которого мы считаем пересечения с веревкой; скотч служит лишь для визуализации этого отрезка).

Если Веня уже замкнул веревку в кольцо, то, сколько ее ни двигай, новые способы получить не удастся. Но зато можно двигать банки, и если не отрывать их от стола, то веревка будет увлекаться ими и приходить в движение. При этом ее всегда можно будет распутать, чтобы не осталось самопересечений в конце. Это — ключ к новым способам.

На рис. 3 показаны четыре способа обмотки, включая Венин, которые, пожалуй, легче всего придумать.

Рис. 3. Простые обмотки

Интуитивно ясно, что они попарно различны. Но если возникают сомнения, то, например, различить третий и четвертый способы поможет кусок скотча, идущий от средней банки до самой верхней точки стола (рис. 4). Если веревка проложена третьим способом, то, как ее ни двигай, меньше двух раз она над скотчем не пройдет. Ясно, что в случае четвертого способа веревка может не пройти над скотчем ни разу.

Рис. 4. Кусок скотча, который помогает различить третью и четвертую обмотки

Теперь покажем, как из одной обмотки получить сразу бесконечно много новых вариантов. Для этого начнем менять местами банки, не отрывая их от стола. Будем использовать два движения, показанные на рис. 5: «поменять местами две правые банки» и «поменять местами две левые банки».

Рис. 5. «Перемешивания банок», которые позволят получить бесконечно много новых обмоток

Рассмотрим первую обмотку (самую левую на рис. 3) и начнем попеременно производить каждое из передвижений банок. Сначала поменяем местами две правые банки, потом — две левые, потом — опять две правые, и т. д. Сначала мы получим известный способ (четвертый), дальше становится уже интереснее (рис. 6), а после четвертого раза получим уже по-настоящему нетривиальную кривую (правая на рис. 6).

Рис. 6. Результат нескольких применений «операций» перестановки банок к самой левой кривой на рис. 3. Получающаяся в результате кривая быстро усложняется

Маленький принц наверняка увидел бы в ней удава, который проглотил две банки с вареньем и обвился вокруг третьей:

Рис. 7. Удав, проглотивший две банки с вареньем

Видно, что нельзя «распутать» такого удава. Продолжая описанные движения банок, мы получим бесконечное семейство различных обмоток. Можно доказать, что если не двигать веревку после перестановки банок (то есть оставлять кривые в виде, аналогичном кривым на рис. 6), то будет получаться минимальная форма кривой: какой бы вы ни взяли отрезок, соединяющий две банки или соединяющий банку и край стола, кривая будет пересекать его минимальное число раз (среди всех кривых, которые равны этой с точки зрения условия задачи). Увидеть, что получающиеся обмотки различны, можно при помощи двух кусочков скотча: один нужно наклеить от левой банки влево до края стола, второй — от правой банки вправо. После каждой перестановки банок количество пересечений хотя бы с одним из кусочков скотча будет увеличиваться.

Попробуйте, интереса ради, нарисовать обмотку после следующей перестановки банок.

У обмоток, которые возникали в решении задачи, есть настоящие практические применения. Например, они неплохо смотрятся, как граффити (рис. 8).

Рис. 8. Граффити, сделанное по некоторым сведениям, Уильямом Тёрстоном и Деннисом Салливаном на одной из стен Калифорнийского университета в Беркли в 1971 году. Фото из презентации D. Margalit, 2012. Perspectives and Problems on Mapping Class Groups III: Dynamics of pseudo-Anosov Homeomorphisms

Кроме того, идея, которая легла в основу решения задачи, успешно применяется в производстве конфет-тянучек (см. taffy). Сахарная масса ставится на специальный вращательный механизм, который вытягивает ее, добиваясь однородной консистенции. На видео показана работа одного из простейших таких механизмов, спроектированного более ста лет назад:


Подробное исследование истории аппаратов по приготовлению тянучки, основанное на изучении инженерных патентов, можно найти в статье J.-L. Thiffeault, 2016. A Mathematical History of Taffy Pullers и презентации к его одноименному докладу.

Надо сказать, что эти статья и доклады вовсе не по истории инженерного дела. Дело в том, что у обсуждаемых в задаче идей есть серьезная математическая подоплека.

Область математики, которая изучает двумерные поверхности и их преобразования, а именно гомеоморфизмы, относится к топологии. В частности, с точки зрения топологии, наш стол с банками — это сфера с 4 выколотыми точками (в топологии можно как угодно мять и тянуть изучаемые объекты, а рвать нельзя, поэтому можно растянуть один из проколов в широкую дырку, а всю остальную поверхность сферы сделать плоской, — вот и получится наш стол с тремя банками), а комбинация двух движений, описанных в решении задачи, является ярким примером гомеоморфизма сферы. Нарисованные нами кривые подсказывают, как сложно может быть устроен такой гомеоморфизм. Интересно, что этот гомеоморфизм можно также получить из преобразования тора, которое «в народе» называют котом Арнольда (см.: Arnold's cat map).

Очень рекомендую книгу Фарба и Маргалита о группе классов отображений и близких к ней сюжетах (B. Farb, D. Margalit. A Primer on Mapping Class Groups). В частности, в главе 15 описывается как Тёрстон, решая по сути ту же задачу, что и читатели, пришел к классификации Нильсена-Тёрстона.