x, y, z

Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

# 1 Июл 2016 18:45:00
Evgeniy

Общее уравнение плоскости

Утверждение. Всякое уравнение первой степени вида $Ax+By+Cz+D=0$, где $A$, $B$ и $C$ — некоторые действительные числа, где $A^2+B^2+C^2>0$, то есть $A$, $B$ и $C$ одновременно не равны нулю, задает плоскость в прямоугольной системе координат $Oxyz$, и обратно, любая плоскость в прямоугольной системе координат $Oxyz$ задается уравнением вида $Ax+By+Cz+D=0$ при некотором наборе значений $A$, $B$ и $C$.

Утверждение состоит из двух частей.

Докажем сначала, что уравнение вида $Ax+By+Cz+D=0$ задает плоскость.

Всегда найдется точка $M_0=(x_0,y_0,z_0)$, координаты которой удовлетворяют уравнению $Ax+By+Cz+D=0$, то есть, $Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$. Это следует из того, что система линейных уравнений, состоящая из одного уравнения $Ax+By+Cz=-D$, всегда имеет решение.

Вычтем из левой и правой частей уравнения $Ax+By+Cz+D=0$ соответственно левую и правую части равенства $Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$, при этом получаем эквивалентное уравнение вида $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.

Уравнение $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов $M_0M=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ и $n=(A,B,C)$. То есть, множество всех точек $M=(x,y,z)$ определяет в прямоугольной системе координат $Oxyz$ плоскость, перпендикулярную направлению вектора $n=(A,B,C)$.

Таким образом, уравнение $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ задает плоскость в прямоугольной декартовой системе координат $Oxyz$, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида $Ax+By+Cz+D=0$ задает эту же прямую. Таким образом, первая часть утверждения доказана.

Теперь докажем обратное, что всякая плоскость в прямоугольной системе координат $Oxyz$ определяется уравнением вида $Ax+By+Cz+D=0$.

Пусть в прямоугольной системе координат $Oxyz$ задана плоскость $\Pi$, проходящая через точку $M_0=(x_0,y_0,z_0)$, причем $n=(A,B,C)$ — нормальный вектор плоскости $\Pi$, и пусть $M=(x,y,z)$ — произвольная точка этой плоскости. Тогда векторы $n=(A,B,C)$ и $M_0M=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$. Полученное равенство можно переписать в виде $Ax+By+Cz-(Ax_0+By_0+Cz_0)=0$. Если обозначить $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$, то получим уравнение $Ax+By+Cz+D=0$, которое соответствует плоскости $\Pi$.

Итак, доказательство утверждения завершено.
# 1 Июл 2016 19:04:43
Evgeniy

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Уравнение плоскости вида $Ax+By+Cz+D=0$ называется нормальным уравнением плоскости, если длина вектора нормали $n=(A,B,C)$ равна единице, то есть $|n| =\sqrt{A^2+B^2+C^2}=1$, и кроме того принимается соглашение, что коэффициент $D \le 0$.

Обычно нормальное уравнение плоскости записывают в виде:

$\cos\alpha\cdot x+\cos\beta\cdot y+\cos\gamma\cdot z-p=0$.

Здесь $\cos\alpha,\ \cos\beta,\ \cos\gamma$ — направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть $\vec{n}=(\cos\alpha,\ \cos\beta,\ \cos\gamma)$, причем $|n|^2 = \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma=1$. Кроме того с учетом соглашения о знаке свободного коэффициента $p\ge 0$.

Найдем расстояние от произвольной точки $M_0=(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости $\Pi$, которая задана нормальным уравнением $\cos\alpha\cdot x+\cos\beta\cdot y+\cos\gamma\cdot z-p=0$.

Пусть $M=(x,y,z)$ — произвольная точка плоскости $\Pi$. Тогда расстояние от точки $M_0$ до плоскости $\Pi$ будет равно длине проекции вектора $MM_0=(x_0-x,y_0-y,z_0-z)$ на нормаль $n$.

http://i.imgur.com/5RBjbJx.png

Проекция вектора $MM_0$ на нормаль $n$ выражается через скалярное произведение:

$$\operatorname{Pr}_n MM_0 = \frac{1}{|n|}(MM_0 \cdot n) = 1\cdot (MM_0 \cdot n) = \\ = \cos\alpha\cdot (x_0-x)+\cos\beta\cdot (y_0-y)+\cos\gamma\cdot (z_0-z) = \\ = \cos\alpha\cdot x_0+\cos\beta\cdot y_0+\cos\gamma\cdot z_0-(\cos\alpha\cdot x+\cos\beta\cdot y+\cos\gamma\cdot z) = \\ = \cos\alpha\cdot x_0+\cos\beta\cdot y_0+\cos\gamma\cdot z_0-p.$$

Если в качестве точки $M_0$ взять начало координат $O$, то получим $\operatorname{Pr}_n MO = -p$. Отсюда, в частности, следует, что расстояние от начала координат до плоскости $\Pi$ равно $|-p|=p$.

Если изначально не накладывать ограничения на знак $p$, то величина $\operatorname{Pr}_n MM_0$ будет положительной в том случае, если точка $M_0$ лежит в полупространстве относительно плоскости $\Pi$, в которую направлен вектор $n$, будет отрицательной в случае, если точка $M_0$ лежит в полупространстве относительно плоскости $\Pi$, в которую направлен вектор $-n$, и будет нулевой, если точка $M_0$ принадлежит плоскости $\Pi$.

Поскольку по принятому соглашению $p\ge 0$ и при этом значение $\operatorname{Pr}_n MO = -p \le 0$, то можно сделать вывод, что условие $p\ge 0$ определяет направление вектора нормали $n$ так, что он направлен из начала координат к плоскости.

Таким образом, можно заключить, что значение $\cos\alpha\cdot x_0+\cos\beta\cdot y_0+\cos\gamma\cdot z_0-p$ будет отрицательным, если точка $M_0$ находится в одном полупространстве с началом координат $O$, будет положительным, если точка $M_0$ не находится в одном полупространстве с началом координат $O$, и будет нулевым, если $M_0$ принадлежит самой плоскости.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.