x, y, z

Связность и линейная связность в топологическом пространстве

# 21 Мар 2016 02:24:50
Evgeniy

Определение.

Рассмотрим отрезок числовой прямой $[0;1]\subset \mathbb{R}$ с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$. Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек $a,b \in X$ найдётся непрерывное отображение $f:[0,1] \to X$ такое, что $f(0) = a,\; f(1) = b$.

Пусть дано подмножество $M \subset X$. Тогда на нём естественным образом определяется топология $\mathcal{T}_M$, индуцированная $\mathcal{T}$. Если пространство $\left(M,\;\mathcal{T}_M\right)$ линейно связно, то подмножество $M$ также называется линейно связным в $X$.

Утверждение. В пространстве $\mathbb{R}$ связность и линейная связность совпадают.

Доказательство

Пусть подмножество $M \subset \mathbb R$ линейно связное, то есть любые его две точки $a,b \in M$ можно соединить отрезком $[a;b]\subset M$. Тогда оно связное в топологическом смысле.

Допустим противное: $M$ несвязное, т.е. распадается на два непустых непересекающихся открытых (в индуцированной топологии) множества $M=A \sqcup B$. Тогда, так как $A,B\ne \varnothing$, найдется $a_1\in A$, $b_1 \in B$. Далее процедура деления отрезка пополам. Если уже найдены $a_n\in A$ и $b_n\in B$, делим отрезок $[a_n;b_n]$ пополам. Середина лежит либо в $A$, либо в $B$. За следующий отрезок берем тот отрезок, концы которого лежат в $A$ и $B$. Существует точка $c$ которая принадлежит всем отрезкам, а значит принадлежит и множеству $M$. При этом точка $c$ предельная как для последовательности $a_n$, так и для $b_n$. Точка $c$ должна принадлежать либо $A$, либо $B$. В обоих случаях одно из множеств $A$ или $B$ содержит предельную точку другого, то есть своего дополнения, а значит одно из них не открытое.

Верно и обратное. Пусть подмножество $M \subset \mathbb R$ связное, то есть не распадается на два непустых непересекающихся открытых (в индуцированной топологии) множества. Тогда любые его две точки $a,b \in M$ можно соединить отрезком $[a;b]\subset M$.

Допустим противное: Найдутся две точки $a,b\in M$ такие, что $[a;b] \not\subset M$. Это значит, что есть точка $c\in (a;b)$ такая, что $c \not\in M$. Тогда $M = A \sqcup B$, где $A=M\cap (-\infty; c)$ и $B=M\cap (c;+\infty)$. Получили противоречие.

Утверждение. Пусть $X$ — произвольное топологическое пространство. Докажем, что из линейной связности следует связность.

Доказательство

Допустим противное: множество $M \subset X$ линейно связное, но не связное, то есть распадается на два непустых непересекающихся открытых (в индуцированной топологии) множества $M=A \sqcup B$. Так как $A,B\ne \varnothing$, найдется $a\in A$, $b\in B$. В силу линейной связности найдется непрерывный путь $f:[0;1]\to M$ такой, что $f(0)=a$, $f(1)=b$. Полный прообраз представляется в виде двух непустых непересекающихся открытых (в силу непрерывности) множеств $[0;1] = f^{-1}(M) = f^{-1}(A \sqcup B) = f^{-1}(A) \sqcup f^{-1}(B)$. Но это невозможно, так как $[0;1]$ — связное.
# 22 Мар 2016 15:18:06
Evgeniy

Утверждение. Пусть $M \subset \mathbb{R}^n$ - открытое множество. Множество $M$ связное тогда и только тогда, когда оно линейно связное.

Доказательство

Введем на множестве $M$ отношение эквивалентности следующим образом. Точки $a,b \in M$ назовем эквивалентными, обозначая это $a \sim b$, если они соединяются некоторым путем, то есть существует непрерывное отображение $f:[0,1]\to M$ такое, что $f(0)=a$, $f(1)=b$. Можно проверить, что это определение действительно задает отношение эквивалентности.

Следовательно, множество $M$ распадается на непересекающиеся классы эквивалентности. Класс, содержащий точку $a$, обозначим через $M_a$.

Покажем, что множество $M_a$ открытое. Действительно, пусть задана произвольная точка $b \in M_a$. Ввиду открытости $M$ найдется шар $U(b) \subset M$. Шар $U(b)$ выпуклый, потому линейно и даже прямолинейно связный. Каждая точка $x \in U(b)$ ввиду транзитивности соединяется путем с точкой $a$ через точку $b$, следовательно $U(b)\subset M_a$, а значит $M_a$ открытое.

Дополнение $M \setminus M_a$ также открытое, поскольку пустое либо является объединением других классов, которые также открытые.

Если предположить, что $M$ линейно не связное, тогда найдутся непустые открытые множества $M_a$ и $M \setminus M_a$. Получим, что множество $M$ разбивается на два неперсекающихся, непустых и открытых $M = M_a \sqcup (M \setminus M_a)$.

Таким образом, линейно не связное открытое множество не может быть связным.
# 22 Мар 2016 15:24:57
Evgeniy

Утверждение. Многообразие $M$ над $\mathbb{R}^n$ связное тогда и только тогда, когда оно линейно связное.

Доказательство

Введем на многообразии $M$ отношение эквивалентности следующим образом. Точки $a,b \in M$ назовем эквивалентными, обозначая это $a \sim b$, если они соединяются некоторым путем, то есть существует непрерывное отображение $f:[0,1]\to M$ такое, что $f(0)=a$, $f(1)=b$. Можно проверить, что это определение действительно задает отношение эквивалентности.

Следовательно, многообразие $M$ распадается на непересекающиеся классы эквивалентности. Класс, содержащий точку $a$, обозначим через $M_a$.

Покажем, что множество $M_a$ открытое.

Пусть $b \in M_a$. Так как $M$ многообразие, то найдется окрестность $V(b) \subset M$, которая гомеоморфизмом $\varphi$ отображается на $V'(b') \subset \mathbb{R}^n$. В окрестности $V'(b')$ найдется шар $U'(b')$, который линейно связный.

Пусть $x'$ - произвольная точка шара $U'(b')$. Она соединяется некоторым путем с точкой $b'$. Это значит, что есть непрерывное отображение $f:[0,1]\to U'(b')$ такое, что $f(0)=x'$ и $f(1)=b'$.

Поднимая шар $U'(b')$ и его произвольную точку $x'$ обратно на многообразие, получим некоторую окрестность $U(b)$ и произвольную точку $x \in U(b)$.

Отображение $\varphi \circ f: [0,1]\to U(b)$ будет тем путем, который соединяет произвольную точку $x\in U(b)$ c точкой $b$.

Итак, каждая точка $x\in U(b)$ соединяется путем с точкой $a$ через точку $b$, следовательно $U(b)\subset M_a$, а значит $M_a$ открытое.

Дополнение $M \setminus M_a$ также открытое, поскольку пустое либо является объединением других классов, которые также открытые.

Если предположить, что $M$ линейно не связное, тогда найдутся непустые открытые множества $M_a$ и $M \setminus M_a$. Получим, что многообразие $M$ разбивается на два неперсекающихся, непустых и открытых $M = M_a \sqcup (M \setminus M_a)$.

Таким образом, линейно не связное многообразие над $\mathbb{R}^n$ не может быть связным.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.