x, y, z

Нормальное число

# 5 Мар 2016 15:09:21
Evgeniy

Нормальное число по основанию $n\ (n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2)$ — всякое действительное число, в записи которого в $n$-ричной системе счисления каждая группа из $k$ последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной $n-k$ для каждого $k = 1, 2,\dots$.

Числа, нормальные по любому основанию $n$, называются нормальными или абсолютно нормальными.

Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 году. Используя лемму Бореля — Кантелли он доказал, что мера Лебега ненормальных чисел равна 0. Таким образом, почти все действительные числа нормальны. С другой стороны, числа, в десятичной записи которых отсутствует цифра 0, ненормальны. Поэтому множество ненормальных чисел несчётное.

Д. Чамперноун доказал, что число, являющееся конкатенацией десятичных записей последовательных целых чисел – 0,1234567891011121314151617…, нормально по основанию 10[1]. В то же время неизвестно, нормально ли это число по другим основаниям. Для аналогичного числа 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, записанного в двоичной системе счисления, также доказано, что оно нормально по основанию 2[2].

В 2002 году Бехер и Фигейра[3] доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число.

Существует общее мнение, что числа $\pi$ и $e$ нормальны. Однако даже подходы к доказательству этого не ясны.

1. D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
2. Bailey, D. H.; Crandall, R. E. Random Generators and Normal Numbers // Exper. Math. — 2002. — Т. 11. — С. 527—546.
3. Becher, V. & Figueira, S. (2002), "An example of a computable absolutely normal number", Theoretical Computer Science Т. 270: 947–958
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.