x, y, z

Определение и свойства определителя матрицы

# 24 Янв 2016 17:05:28
Evgeniy

Полилинейные кососимметрические функции

Определение.

Пусть $f(A_1,\dots,A_n)$ — вещественнозначная функция, определенная на векторах $A_i \in \mathbb{R}^n$.

Функция $f(A_1,\dots,A_n)$ называется полилинейной, если она линейная по каждому аргументу:

$f(A_1,\dots, \lambda'A'_i + \lambda''A''_i, \dots, A_n) = \lambda'f(A_1,\dots, A'_i, \dots, A_n) + \lambda''f(A_1,\dots, A''_i, \dots, A_n)$.

Функция $f(A_1,\dots,A_n)$ называется кососимметрической, если при перестановке любых двух аргументов значение функции меняет знак:

$f(A_1,\dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n) = -f(A_1,\dots, A_j, \dots, A_i, \dots, A_n)$.

Свойства полилинейных кососимметрических функций

Утверждение.

Если $f(A_1,\dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n)$ — кососимметрическая функция, то она обращается в ноль, если хотя бы два аргумента равны между собой $f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n) = 0$.

Действительно, по определению

$f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n) = - f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n)$,

откуда следует $f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n) = 0$.

Верно и обратное.

Пусть функция $f(A_1, \dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n)$ такова, что она обращается в ноль, если хотя бы два аргумента равны между собой $f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n) = 0$.

Тогда

$$0 = f(A_1,\dots, A_i+A_j, \dots, A_i+A_j, \dots, A_n) = \\ = f(A_1,\dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n) + f(A_1,\dots,A_j, \dots, A_i, \dots, A_n),$$

откуда следует $f(A_1,\dots,A_j, \dots, A_i, \dots, A_n) = -f(A_1,\dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n)$.

Таким образом, условие $f(A_1,\dots, A, \dots, A, \dots, A_n) = 0$ можно взять в качестве определения кососимметричности.

Утверждение.

$f(A_1,\dots, 0, \dots, A_n) = 0$.

Действительно, по определению

$$f(A_1,\dots, 0, \dots, A_n) = f(A_1,\dots, 0+0, \dots, A_n) = \\ = f(A_1,\dots, 0, \dots, A_n)+f(A_1,\dots, 0, \dots, A_n),$$

откуда следует $f(A_1,\dots, 0, \dots, A_n) = 0$.

Утверждение.

Если $A_1,\dots, A_n$ линейно зависимы, то $f(A_1,\dots, A_n) = 0$.

Действительно, если $A_1,\dots, A_n$ линейно зависимы, то найдется вектор $A_i$, который линейно выражается через остальные $A_i = \sum_{k\ne i}\lambda_{k}A_{k}$.

Поэтому

$$f(A_1,\dots, A_i, \dots, A_n) = f\left(A_1,\dots, \sum_{k\ne i}\lambda_{k}A_{k}, \dots, A_n\right) = \\ = \sum_{k\ne i}\lambda_{k}f(A_1,\dots, A_k, \dots, A_n) = 0.$$

В этой сумме каждое слагаемое $f(A_1,\dots, A_k, \dots, A_n) = 0$, поскольку аргумент $A_k$ входит в него по два раза.

Определитель матрицы

Пусть $A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$ — квадратная матрица размера $n \times n$.

Пусть $A_i = (a_{i1},\dots,a_{in})$ — строки матрицы $A$.

Определение через перестановки

Положим по определению

$\det(A) = \det(A_1,\dots,A_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{n\, \sigma n}$,

где $S_n$ — группа перестановок порядка $n$, а $\varepsilon_{\sigma}$ — сигнатура или четность перестановки $\sigma$, которая может быть выражена $\varepsilon_{\sigma} = (-1)^{N(\sigma)}$, где $N(\sigma)$ — число транспозиций в разложении перестановки $\sigma$.

Определитель обозначают $\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$.

Докажем, что определитель $\det(A) = \det(A_1,\dots,A_n)$ есть полилинейная кососимметрическая функция на строках $A_i \in \mathbb{R}^n$, причем $\det(E) = \det(E_1,\dots,E_n)=1$, где $E_1,\dots,E_n$ — строки единичной матрицы $E$.

Докажем полилинейность, то есть линейность по каждому аргументу.

$$\det(A_1,\dots, \lambda'A'_i + \lambda''A''_i, \dots, A_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots (\lambda'a'_{i \, \sigma i}+\lambda''a''_{i \, \sigma i}) \cdots a_{n\, \sigma n} = \\ = \lambda'\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a'_{i \, \sigma i} \cdots a_{n\, \sigma n} + \lambda''\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a''_{i \, \sigma i} \cdots a_{n\, \sigma n} = \\ = \lambda'\det(A_1,\dots, A'_i, \dots, A_n) + \lambda''\det(A_1,\dots, A''_i, \dots, A_n).$$

Докажем кососимметричность.

Пусть $\tau = (i,j)$ — транспозиция. Если $\sigma$ пробегает все $S_n$, то $\sigma\tau$ также пробегает все $S_n$. Также $\tau$ оставляет неподвижными все точки, отличные от $i,j$, то есть $\tau x = x$, если $x \ne i,j$.

$$\det(A_1,\dots, A_j, \dots, A_i, \dots, A_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{j \, \sigma i} \cdots a_{i \, \sigma j} \cdots a_{n\, \sigma n} = \\ = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma\tau} \cdot a_{1\, \sigma\tau 1}\cdots a_{j \, \sigma\tau i} \cdots a_{i \, \sigma\tau j} \cdots a_{n\, \sigma\tau n} = \\ = \sum_{\sigma \in S_n} -\varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{j \, \sigma j} \cdots a_{i \, \sigma i} \cdots a_{n\, \sigma n} = \\ = - \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{i \, \sigma i} \cdots a_{j \, \sigma j} \cdots a_{n\, \sigma n} = - \det(A_1,\dots, A_i, \dots, A_j, \dots, A_n).$$

Наконец докажем, что $\det(E_1,\dots,E_n)=1$.

$E = (\delta_{ij})$, где символ Кронекера $\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{если}\ i=j\\ 0 & \text{если}\ i \ne j \end{cases}$.

$\det(E) = \det(E_1,\dots,E_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot \delta_{1\, \sigma 1}\cdots \cdots \delta_{n\, \sigma n} = \varepsilon_{e}\cdot 1\cdots 1 = 1$.

Итак, доказано, что $\det(A) = \det(A_1,\dots,A_n)$ есть полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы $A$.

Аксиоматическое построение определителя

Докажем, что всякая полилинейная кососимметрическая функция $f(A_1,\dots, A_n)$ представляется в виде

$f(A_1,\dots, A_n) = \det(A_1,\dots, A_n) \cdot f(E_1,\dots,E_n)$.

Так как $A_i = a_{i1}E_1+ \cdots a_{in}E_n = \sum_{j} a_{ij}E_j$, то

$f(A_1,\dots,A_n) = f\left( \sum_{j} a_{1j}E_j,\dots,\sum_{j} a_{nj}E_j \right)$.

С учетом полилинейности и кососимметричности, последнее выражение приводится к виду

$$f\left( \sum_{j} a_{1j}E_j,\dots, \sum_{j} a_{nj}E_j \right) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{n\, \sigma n} \cdot f(E_1,\dots,E_n) = \\ = \det(A_1,\dots, A_n) \cdot f(E_1,\dots,E_n).$$

С учетом вышесказанного, понятие определителя может быть введено на основе его свойств. А именно, определителем матрицы $A$ называется функция $\det(A) = \det(A_1,\dots,A_n) \rightarrow \mathbb{R}$, обладающая следующими тремя свойствами:

  1. $\det(A_1,\dots,A_n)$ — кососимметрическая функция.
  2. $\det(A_1,\dots,A_n)$ — полилинейная функция.
  3. $\det(E_1,\dots,E_n) = 1$, где $E_i$ — строки единичной матрицы.

Свойства определителя

Определитель транспонированной матрицы

Утверждение.

$\det(^tA) = \det(A)$.

Здесь $^tA$ — матрица транспонированная к матрице $A$, то есть $^tA = A' = (a'_{ij})$, где $a'_{ij}=a_{ji}$.

Доказательство.

Если $\sigma$ пробегает все $S_n$, то $\sigma^{-1}$ также пробегает все $S_n$. Также $\varepsilon_{\sigma^{-1}} = \varepsilon_{\sigma}$.

$$\det(^tA) = \det(A') = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a'_{1\, \sigma 1}\cdots a'_{n\, \sigma n} = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{\sigma 1\, 1}\cdots a_{\sigma n\, n} = \\ = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{\sigma 1\, \sigma^{-1}\sigma 1}\cdots a_{\sigma n\, \sigma^{-1}\sigma n} = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma^{-1}} \cdot a_{1\, \sigma^{-1} 1}\cdots a_{n\, \sigma^{-1} n} = \det(A).$$

Определитель треугольной матрицы

Утверждение

$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}\cdot \begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$.

Доказательство

По определению $\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{n\, \sigma n}$.

В этой сумме отличны от нуля только те слагаемые, в которых первый сомножитель $a_{1\, \sigma 1} = a_{11}$, то есть только те слагаемые, для которых $\sigma 1 = 1$, поэтому

$\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{1\, \sigma 1}\cdots a_{n\, \sigma n} = a_{11} \sum_{\sigma \in S_{n-1}} \varepsilon_{\sigma} \cdot a_{2\, \sigma 2}\cdots a_{n\, \sigma n} =a_{11}\cdot \begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$,

где через $S_{n-1}$ обозначена группа перестановок, действующих на множестве $\{2,\dots,n\}$.

Следствие 1.

$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 &\cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n-1\,1} & a_{n-1\,2} & \cdots & a_{n-1\,n} & 0 \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n\,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$.

Следствие 2.

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}\cdot \begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$.

Доказательство

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{n2}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$.

Мы воспользовались тем, что $\det(^tA) = \det(A)$.

Следствие 3.

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{n-1\,n-1} & a_{n-1\,n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$.
# 25 Янв 2016 18:51:46
Evgeniy

Разложение определителя по строке или по столбцу

Определение.

Пусть как и прежде $A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$.

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ называется число

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$,

где $M_{ij}$ — дополнительный минор, то есть определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы $A$ путем вычёркивания $i$-ой строки и $j$-го столбца.

Утверждение о разложении определителя по строке (по столбцу).

$\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$.

Утверждение (о фальшивом разложении определителя)

$\sum_{j=1}^n a_{i_1 j}A_{i_2 j} = \sum_{i=1}^n a_{i j_1}A_{i j_2} = 0$ при $i_1\ne i_2$ и $j_1\ne j_2$.

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы.

$\sum_{k=1}^n a_{i k}A_{j k} = \sum_{k=1}^n a_{k i}A_{k j} = \delta_{ij}\det(A)$.

Или в развернутом виде:

$$\begin{pmatrix} {A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\ {A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \\ \end{pmatrix} = \\ = \begin{pmatrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\ {A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \\ \end{pmatrix} = \\ = \det(A) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{pmatrix}$$
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.