x, y, z

Правило Лопиталя. Доказательство

# 13 Янв 2016 19:35:38
Evgeniy

Теорема

Пусть функции $f(x),g(x)$ определены и дифференцируемы в некотором интервале $(a;b)$, где $-\infty \le a < b \le +\infty$, причем $g'(x) \ne 0$ на $(a;b)$ и $\lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A$, где $-\infty \le A \le +\infty$.

Тогда в каждом из двух следующих случаев:

1) $\lim_{x \to a+} f(x) = 0$ и $\lim_{x \to a+} g(x) = 0$

или

2) $\lim_{x \to a+} g(x) = \infty$

будем иметь $\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = A$.

Аналогично можно сформулировать теорему для случая $x \to b-$.

Замечание: запись $x \to a+$ означает, что $x$ стремится $a$ справа, а запись $x \to b-$ означает, что $x$ стремится $b$ слева.

Доказательство

Так как $g'(x) \ne 0$ на $(a;b)$, то $g(x)$ строго монотонна на $(a;b)$, а следовательно на интервале $(a;b)$ не может быть более одной точки $\gamma$, в которой $g(\gamma)=0$. Если такая точка $\gamma$ есть, то всегда можно укоротить интервал $(a;b)$ справа так, чтобы $b < \gamma$, а следовательно можно считать, что $g'(x) \ne 0$ на $(a;b)$.

Для любых $x,y \in (a;b)$ выполнены условия для использования формулы Коши. Действительно, функции $f,g$ непрерывны и дифференцируемы на $[x;y]$ и $g'(x) \ne 0$ на $[x;y]$.

Формула Коши в данном случае имеет вид:

$\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$.

Заметим, что порядок следования $x$ и $y$ неважен, то есть возможны случаи $x<y$ и $y<x$.

Соотношение Коши можно переписать в виде

$f(x)g'(\xi)-f(y)g'(\xi) = g(x)f'(\xi)-g(y)f'(\xi)$

Далее оттуда можно выразить

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(y)}{g(x)} +\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\left(1 - \frac{g(y)}{g(x)}\right)$.

При $x \to a+$ можно согласованно устремить $y$ к $a+$ так, что $\frac{f(y)}{g(x)} \to 0$ и $\frac{g(y)}{g(x)} \to 0$, причем, поскольку $\xi$ лежит между $x$ и $y$, то также $\xi \to a+$.

Следовательно будем иметь $\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Для обоснования рассуждений докажем вспомогательные леммы.

Лемма 1

Пусть функции $f(x),g(x)$ определены на интервале $(a;b)$, причем $g(x) \ne 0$ на $(a;b)$ и $f(x) \to 0$ при $x \to a+$.

Тогда найдется функция $y(x)$ такая, что $y(x) \to a+$ и $\frac{f(y(x))}{g(x)} \to 0$ при $x \to a+$.

Доказательство

Пусть на $(a;b)$ задана какая-нибудь функция $\varepsilon(x)>0$ такая, что $\varepsilon(x) \to 0$ при $x \to a+$.

Так как $f(x) \to 0$ при $x \to a+$, то для любого временно фиксированного $x \in (a;b)$ найдется $y \in (a;b),\ y<x$ такой, что $|f(y)| < \varepsilon(x)|g(x)|$.

Находя таким образом для каждого $x \in (a;b)$ соответствующий ему $y(x)=y$, можем определить функцию $y(x)$, которая действует из $(a;b)$ в $(a;b)$.

Поскольку $y \in (a;b),\ y<x$, то также $y(x) \to a+$ при $x \to a+$.

При этом будем иметь $\left|\frac{f(y(x))}{g(x)}\right| < \varepsilon(x)$, откуда следует, что $\frac{f(y(x))}{g(x)} \to 0$ при $x \to a+$.

Лемма 2

Пусть функции $f(x),g(x)$ определены на интервале $(a;b)$, причем $g(x) \to \infty$ при $x \to a+$.

Тогда найдется функция $y(x)$ такая, что $y(x) \to a+$ и $\frac{f(x)}{g(y(x))} \to 0$ при $x \to a+$.

Доказательство

Пусть на $(a;b)$ задана какая-нибудь функция $\varepsilon(x)>0$ такая, что $\varepsilon(x) \to 0$ при $x \to a+$.

Так как $g(x) \to \infty$ при $x \to a+$, то для любого временно фиксированного $x \in (a;b)$ найдется $y \in (a;b),\ y<x$ такой, что $|g(y)| > \frac{1}{\varepsilon(x)}\cdot |f(x)|$.

Находя таким образом для каждого $x \in (a;b)$ соответствующий ему $y(x)=y$, можем определить функцию $y(x)$, которая действует из $(a;b)$ в $(a;b)$.

Поскольку $y \in (a;b),\ y<x$, то также $y(x) \to a+$ при $x \to a+$.

При этом будем иметь $\left|\frac{f(x)}{g(y(x))}\right| < \varepsilon(x)$, откуда следует, что $\frac{f(x)}{g(y(x))} \to 0$ при $x \to a+$.
# 13 Янв 2016 21:04:53
Evgeniy

Условия 1) или 2) важны, что показывает следующий пример.

Пусть $f(x)=\cos x$ и $g(x)=\sin x$.

Тогда $\frac{f(x)}{g(x)} \to +\infty$ при $x \to 0+$, но $\frac{f'(x)}{g'(x)} \to 0$ при $x \to 0+$.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.