x, y, z

Смешанное произведение векторов

# 9 Янв 2016 18:21:46
Math

Три вектора, определяющие параллелепипед.
Три вектора, определяющие параллелепипед.
Смешанное произведение $(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})$ векторов $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ — скалярное произведение вектора $\mathbf{a}$ на векторное произведение векторов $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$:

$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right)$.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$.

Свойства

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

$(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)=(\mathbf b,\mathbf c,\mathbf a)=(\mathbf c,\mathbf a,\mathbf b)=-(\mathbf b,\mathbf a,\mathbf c)=-(\mathbf c,\mathbf b,\mathbf a)=-(\mathbf a,\mathbf c,\mathbf b)$;

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

$\left \langle \mathbf a, [ \mathbf b, \mathbf c ] \right \rangle = \left \langle [\mathbf a, \mathbf b], \mathbf c \right \rangle$

Смешанное произведение $( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} )$ в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$:

$( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$.

Смешанное произведение $( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} )$ в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$, взятому со знаком «минус»:

$( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = - \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$.

В частности:

  1. Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
  2. Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
  3. Геометрический смысл — Смешанное произведение $( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} )$ по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
  4. Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.