x, y, z

Разность степеней двойки

# 1 Янв 2016 13:05:20
Evgeniy

Докажите, что найдутся натуральные $m,n$ такие, что $2^m-2^n$ делится на $2016$.
# 3 Апр 2016 19:01:49
lopkityu
Можно 2016 заменить каким-угодно числом - утверждение все равно останется справедливым. По теореме Эйлера, $2^{ \varphi (n) }-1$ будет делиться на $n$ для любого нечетного $n$. Остается лишь домножить выражение на нужную степень двойки.
# 3 Апр 2016 20:28:16
Evgeniy

Интересное решение, но можно и без таких сложных теорем. Задачка для школьников.
# 3 Авг 2016 00:29:31
Максим
Может это неправильно или неполно:

Представим 2016 как произведение простых множителей 2016=63*25
при этом 63 = 64-1 = 26-1
тогда 2016= (26-1)*25 = 211-25
значит для 2016 m=11 n=5

Но как доказать существование и единственность, или опровергнуть?
# 3 Авг 2016 01:06:01
Bolek
Рассмотрим множество остатков от деления $2^k$ на $2016$, где $k$ пробегает все натуральные числа. Это множество содержит не более $2016$ элементов. В то же время чисел вида $2^k$ бесконечно много, поэтому найдутся два разных натуральных $m,n$ таких, что числа $2^m$ и $2^n$ дают одинаковый остаток $r$, т.е. $2^m=2016s+r$ и $2^m=2016t+r$. Но тогда $2^m-2^n = 2016(s-t)$.

Единственности нет. Если $2^m-2^n$ делится на $2016$, то на него делится и всякое число $2^k(2^m-2^n)=2^{m+k}-2^{n+k}$.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.