x, y, z

Предел монотонной последовательности

# 20 Дек 2015 23:13:05
Evgeniy

Утверждение

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Заметим, что монотонная последовательность может быть неограниченной только с одной стороны: либо сверху, любо снизу.

Доказательство

Пусть последовательность $\{x_n\}$ не убывает и ограничена сверху некоторым числом $M$.

Так как множество $E=\{x_n\}$ ограничено числом $M$, то существует точная верхняя граница $\sup \{x_n\} = A$, причем $A \le M$.

Покажем, что $\lim_{n\to\infty} x_n = A$.

Так как число $A$ является верхней границей множества $\{x_n\}$, то при любом $n$ имеем $x_n \le A$.

Так как число $A$ является точной верхней границей множества $\{x_n\}$, то для любого $\varepsilon > 0$ найдется $n_0$ такое, что $A - \varepsilon < x_{n_0}$.

Ввиду монотонности будем иметь $\forall n > n_0\ (A - \varepsilon < x_{n_0} \le x_n \le A)$.

Утверждение может быть обобщено.

Утверждение

Всякая финально монотонная последовательность имеет предел. При этом, если последовательность ограничена, то предел конечный, в противном случае предел равен либо $-\infty$, либо $+\infty$.

Напомню, последовательность $\{x_n\}$ называется финально монотонной (финально возрастающей, неубывающей, убывающей, невозрастающей), если существует $n_0$ такое, что для всех $n > n_0$ соотвественно верно $(x_{n+1}>x_n)$, $(x_{n+1}\ge x_n)$, $(x_{n+1}< x_n)$, $(x_{n+1}\le x_n)$.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.