x, y, z

Инфимум и супремум суммы множеств

# 7 Окт 2015 22:52:36
Yojik
Пусть $A,B \subset \mathbb{R}$ и $A+B = \{a+b\colon a \in A,\; b \in B\}$ – множество всевозможных сумм элементов из множеств $A$ и $B$.
Нужно доказать, что $\inf(A+B) = \inf A + \inf B$.
# 8 Окт 2015 23:20:36
Evgeniy

Так как $\forall a \in A\,\ \inf A \le a$ и $\forall b \in B\,\ \inf B \le b$, то $\forall a + b \in A + B\,\ \inf A + \inf B \le a + b$, а значит, число $\inf A + \inf B$ является нижней границей для множества $A + B$.

Далее покажем, что эта граница точная.

Возьмем произвольное $\varepsilon > 0$. По определению инфимума $\exists a' \in A\,\ a' < \inf A + \frac{\varepsilon}{2}$ и $\exists b' \in B\,\ b' < \inf B + \frac{\varepsilon}{2}$, откуда следует, что $a' + b' < \inf A + \inf B + \varepsilon$. Следовательно, $\forall \varepsilon > 0\,\ \exists a' + b' \in A + B :\ a' + b' < \inf A + \inf B + \varepsilon$, то есть число $\inf A + \inf B$ является точной нижней границей множества $A + B$.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.