x, y, z

Чему равен инфимум пустого множества?

# 22 Сен 2015 22:39:29
Yojik
Чему равен инфимум пустого множества? Определен ли он?
# 26 Сен 2015 22:11:01
Луня Барсиковна
Инфимум не определён. А вот количество элементов конкретно равно нулю.
# 26 Сен 2015 23:15:48
Evgeniy

А нельзя ли считать, что $\inf \varnothing = +\infty$?

Инфимум — максимум всех нижних границ. Любое число $a\in \mathbb{R}$ является нижней границей для пустого множества, поскольку для любого $\forall a\in\mathbb{R}$ верно утверждение $\forall x\, (x\in \varnothing \Rightarrow x \ge a)$, так как при ложной посылке $x\in \varnothing$ импликация всегда верна.
# 26 Сен 2015 23:16:19
ellipsis
Если множество $A$, чьи подмножества мы рассматриваем, не имеет наибольшего элемента, то всё так, как написали выше. А если имеет (например, $\overline{\mathbb R}\equiv\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$), согласно определению $\inf\varnothing = \max A$ (в примере — $+\infty$), т. к. любой элемент $A$ является нижней гранью $\varnothing$, и наибольший из них существует и равен $\max A$.
# 26 Сен 2015 23:17:48
ellipsis
Eugene писал(а):
А нельзя ли считать, что $\inf \varnothing = +\infty$?
Во-во. Если мы рассматриваем $\overline{\mathbb{R}}$, да. Если $\mathbb{R}$, инфимум не определён. От $\overline{\mathbb{R}}$ много удобств!
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.