x, y, z

Дифференциальные уравнения

Валерий Опойцев

Комментарии: 0
«Есть три способа отвечать на вопросы: сказать необходимое, отвечать с приветливостью и наговорить лишнего»
(Плутарх)

Тематику дифференциальных уравнений, безусловно, надо расширять, иначе «молодые побеги» — хаос, аттракторы, солитоны — будут расти сквозь асфальт. С другой стороны, базовые курсы нуждаются в резком сокращении, поскольку для самих дифуров не так много места остается в этой жизни. Из-за информационного переполнения. При этом стандартных мер недостает. Единственное средство — тривиализация дисциплины. Математика, как и человек, — иногда надувает щеки, наряжается и творит мифы. Поэтому в дифурах немало лишнего, вычурного, случайного — и одно лишь наведение порядка высвобождает массу свободного места. Затем переосмысливание и переоценка. Потом отказ от второстепенных деталей. Не насовсем, конечно. Но из «основ» многое — что загромождает — можно и нужно вынести за скобки. Наконец, пора вспомнить, что успех достигается только играючи, вслед за удовольствием. Кто учится говорить с натугой — остается немым.

Данный мини-курс адресован «всем», поскольку преподносит некую общую часть. Не простую и не сложную, но дающую представление об основах и позволяющую при необходимости быстро войти в предмет и двигаться дальше.

Часть 1. Общая картина
Фазовое пространство. Задача Коши. Существование и единственность решения. Нелокальная продолжимость траекторий. Зависимость от параметра.

Часть 2. Линейные дифуры
Принцип суперпозиции. Автономные системы. Случай равных корней. Вековые, или секулярные решения. Матричная экспонента.

Часть 3. Обобщенные функции и функция Грина
Функция Грина. Импульсная переходная функция. Идеология обощённых функций. Дельта-функция.

Часть 4. Операционное исчисление
Преобразования Фурье и Лапласа. Механизмы операционного исчисления. Передаточные функции в автоматическом регулировании.

Часть 5. Теория устойчивости
Основные понятия. Второй метод Ляпунова. Уравнение в вариациях.

Часть 6. Колебания
Гармонические сигналы. Вынужденные колебания. Резонанс. Связанные системы. Волны и солитоны.

Часть 7. Возмущения и бифуркации
Бифуркации. Катастрофы. Структурная устойчивость. Парадокс Циглера.

Часть 8. Аналитическая механика
Обобщенные координаты и силы. Уравнения Лагранжа. Формализм Гамильтона. Вариационные принципы.

Опойцев Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН.
oschool.ru
Комментарии: 0