x, y, z

Ортогональные полиномы

Александр Буфетов, Севак Мкртчян

Комментарии: 0
Часть 1

Часть 2

Часть 3

Часть 4

Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином $P_n(x)$ степени $n$ со старшим коэффициентом $1$, такой что величина

$\max_{x\in[-1,1]}|P_n(x)|$

принимает наименьшее возможное значение.

Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы даются формулой

$P_0(x)=1,\qquad P_n(x)=2^{1-n}\cos(n \arccos x),\quad n>1$.

Последовательность полиномов Чебышева — классический пример семейства ортогональных полиномов. Общее определение таково.

Рассмотрим на отрезке $[a,b]$ положительную непрерывную функцию $\rho(x)$. Семейство полиномов $P_n,\ n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$, называется семейством ортогональных полиномов с весом, если

  1. полином $P_n$ имеет степень $n$;
  2. при $n_1 \ne n_2$ выполнено
    $\int_{a}^{b}P_{n_1}(x)P_{n_2}(x)\rho(x)dx=0$.

Такое семейство $\{P_n\}$ единственно с точностью до умножения каждого $P_n$ на ненулевую константу. Упражнение для читателя: с каким весом ортогональны на отрезке $[-1,1]$ полиномы Чебышева?

Если $[a,b]=[-1,1]$, а $\rho(x)\equiv 1$, то возникают так называемые полиномы Лежандра, впервые возникшие в работе Лежандра о движении планет в Солнечной системе и возникающие в самых разных областях математики.

Например, рассмотрим матрицу растущего формата, элементы которой задаются случаем. Как ведут себя собственные числа этой матрицы? Мы увидим, что ключевую роль в этой задаче играют как раз полиномы Лежандра.

Для понимания курса достаточно уметь интегрировать элементарные функции в объёме программы средней школы; таким образом, курс доступен школьникам.

Буфетов Александр Игоревич, доктор физико-математических наук;
Мкртчян Севак Мартинович.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна.
19-28 июля 2011 г.
Комментарии: 0