Гипотеза Хорна и соты
Рассмотрим сумму двух эрмитовых матриц A и B. Это снова будет эрмитова матрица. В 1912 году Герман Вейль задался таким вопросом: что можно сказать о ее собственных значениях, если известны собственные значения матриц A и В? Во-первых, ясно, что след A+B будет равен сумме следов исходных матриц; во-вторых, наибольшее собственное значение A+B не превосходит суммы наибольших собственных значений A и B. А какие еще есть ограничения?
В 1962 году Альфред Хорн выписал ряд неравенств на собственные значения матриц A, B и A+B и сформулировал гипотезу о том, что это полный набор условий. В 1999 году А.А.Клячко свел эту гипотезу к так называемой гипотезе о насыщении, которая вскоре после этого была доказана Алленом Кнутсоном и Терри Тао. Они же предложили описание неравенств Хорна при помощи «сот» — диаграмм вроде той, что изображена на рисунке.
Они также показали, что эти диаграммы — и неравенства Хорна — имеют самое прямое отношение к теории представлений полной линейной группы GL(n), а также к исчислению Шуберта на грассманианах. Они, в частности, позволяют свести задачу о разложении тензорного произведения двух представлений на неприводимые компоненты к чисто комбинаторной задаче подсчета «пазлов» — замощений треугольника элементами мозаики определенного вида.
Курс будет доступен первокурсникам и всем, знающим линейную алгебру в объеме стандартного курса. Знания теории представлений не требуется, все необходимые понятия будут объяснены в ходе лекций.
Смирнов Евгений Юрьевич, кандидат физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
24-29 июля 2016 г.
Похожее
-
Иван Оселедец
Возможно ли в линейной алгебре получение новых результатов? Почему в университетах этот курс учат неправильно? Какое матричное разложение является самым важным? Об умножении матрицы на вектор, быстрых алгоритмах и сингулярном разложении. рассказывает доктор физико-математических наук Иван Оселедец.
-
Виктор Викторов
Матрица. Вектор. Сложение векторов и свойства сложения векторов. Геометрическая интерпретация вектора и сложения векторов. Умножение вектора на скаляр и его свойства. Однородная линейная функция вещественных чисел. Геометрическая интерпретация умножения вектора на скаляр. Умножение вектора на матрицу. Зачем нам нужны векторы? Сравнение свойств сложения и умножения вещественных чисел и векторов. Умножение на нулевой вектор. Дистрибутивность. Транспонирование матрицы. Система линейных уравнений. Метод исключения Гаусса-Джордана. Умножение матрицы на матрицу. Обратная матрица. Определитель квадратной матрицы.
-
Алексей Белов
Общая постановка такова. Пусть P(x_1,…,x_n) — некоммутативный многочлен от матриц порядка n. Каким может быть множество его значений? И. Капланский и И. В. Львов поставили вопрос о том, что множество значений полилинейного многочлена есть векторное пространство (в этом случае оно совпадает либо с нулем, либо с пространством всех матриц, либо с пространством бесследовых матриц, либо со скалярными матрицами). Решение проблемы Капланского для матриц второго порядка над квадратично замкнутым полем оказалось весьма нетривиальным и глубоким. Вопросы, связанные с уравнениями в матрицах, помимо прикладного значения имеют отношение к конструкции алгебраически замкнутого тела, к теореме о свободе: если добавить новую некоммутативную переменную и соотношение, где та участвует, то это не приведет к появлению новых соотношений. Имеется ряд глубоких проблем, относящихся к множеству значений слов в группе — в частности, в матрицах второго порядка.
-
Иван Аржанцев
В этом курсе изучается такой замечательный и вполне элементарный объект, как конечномерные коммутативные ассоциативные алгебры над комплексными числами. Здесь достаточно легко доказать первые структурные результаты, но получить полную классификацию едва ли возможно. Мы обсудим различные техники работы с конечномерными алгебрами (максимальные идеалы и локальные алгебры, фильтрации и градуировки, последовательность Гильберта-Самюэля и цоколь) и получим явное описание алгебр малых размерностей. Оказывается, конечномерные алгебры тесно связаны с действиями с открытой орбитой коммутативных групп матриц на аффинных и проективных пространствах. Мы объясним эту связь. В процессе объяснения естественно возникнут такие понятия как экспонента линейного оператора, представление группы и циклический модуль, алгебра Ли и ее универсальная обертывающая.
-
Александр Буфетов, Роман Авдеев
Курс посвящён обобщению понятия вращения евклидова пространства. Оказывается, что с каждым евклидовым пространством можно связать новое пространство, объекты которого называются спинорами. Между исходным пространством и пространством спиноров имеется замечательная связь: всякому вращению исходного пространства можно сопоставить преобразование пространства спиноров, определённое однозначно с точностью до знака. Получаемые таким образом преобразования пространства спиноров образуют группу, называемую спинорной группой.
-
Евгений Смирнов
Группы отражений являются дискретной группой движений пространства постоянной кривизны (сфера, евклидово или гиперболическое пространство), которая порождается множеством отражений. Группы отражений появляются удивительно часто в различных алгебраических задач.
-
Евгений Смирнов
Исчислительная геометрия занимается подсчетом числа геометрических объектов, удовлетворяющих данных условиям. Первой задачей исчислительной геометрии принято считать задачу Аполлония (III в. до н.э.) о числе окружностей, касающихся трех данных окружностей. Как известно всем любителям геометрии, таких окружностей может быть не более восьми, и все их можно построить циркулем и линейкой. С точки зрения проективной геометрии окружности можно рассматривать как коники (кривые второго порядка) на комплексной проективной плоскости, проходящие через две фиксированные бесконечно удаленные точки. Поэтому задача Аполлония есть задача о подсчете числа коник, заданных пятью условиями (прохождение через две точки и касание трех коник). В 1848 году Якоб Штейнер обобщил эту задачу: он предложил найти число коник, касающихся пяти данных коник.
-
Валерий Опойцев
Если что и даёт ясное представление о высшей математике, так это линейная алгебра. Барьер повседневности здесь преодолевается легко и просто. При этом оказывается, что удивительные вещи находятся не в туманной дали, а совсем рядом. В этом курсе: линейные задачи и векторы, линейные преобразования и матрицы, элементарные преобразования, теория определителей, системы уравнений, замена координат, собственные значения и собственные векторы, операторы на комплексной плоскости, спектральная теория, квадратичные формы, сопряжённое пространство, триангуляция Шура, функции от матриц, матричные ряды.
-
Владимир Арнольд
Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.
-
Гаянэ Панина
Как мы узнаем, выпуклые многогранники можно складывать и перемножать между собой. Далее, выпуклые многогранники можно умножать на рациональные числа. И наконец, что несколько неожиданно, для выпуклых многогранников можно определить логарифм и экспоненту. Вооружившись этими умениями, мы построим математически богатый замечательный объект — градуированную алгебру над Q — алгебру многогранников Питера Мак Маллена. С помощью этой алгебры мы докажем теорему об f-векторе выпуклого многогранника. Эта алгебра хорошо «отражается» в теории алгебраических торических многообразий.
Далее >>>
|
|