Зеркальная симметрия. Изучение системы по реакциям на внешние воздействия. Нечувствительность к группам преобразований. Законы сохранения в механике как следствие инвариантности к преобразованиям Галилея.
Поднимемся от зеркальной симметрии к общему понятию симметрии, каковым считают явление неизменности/инвариантности того или иного объекта при определённых преобразованиях/изменениях.
«Объектом» может быть что угодно: геометрическая фигура, уравнение движения, модель того или иного явления и т. п. Правильный многогранник, например, не меняется, самосовмещаясь под воздействием определённой группы поворотов. И это очень естественный способ изучения объекта. Надо подействовать на него некоторым образом, и посмотреть на реакцию. По реакции можно многое понять. Живой — неживой, приличный — неприличный. Но мы пока о другом. Скажем, есть функция времени, , и мы знаем, что не меняется при любом изменении начала отсчёта времени. Что следует отсюда? Отсюда следует, что не зависит от времени. А если функция инвариантна (нечувствительна) к любым поворотам системы координат, то она гарантированно является функцией от .
Оба результата интуитивно понятны. На формальных доказательствах мы не останавливаемся, дабы не отвлекаться от главного в данном контексте. Наша с вами задача Вас заинтересовать. Открыть обзор, горизонты. Иначе ученичество напоминает путешествие в трюме корабля. Ничего не видно, неясно где и куда плывём. А ведь настроение, пейзажи, мотивы — это ключевые вещи на жизненном пути. Поэтому вот ещё один аванс.
Инвариантность уравнений классической механики к преобразованиям Галилея — влечёт за собой законы сохранения энергии и количества движения
Ещё один эффектный вид симметрии — инвариантность формул по отношению к выбору системы единиц измерения. Характер зависимостей не меняется, измеряем ли мы, скажем, длину в метрах или милях. Заранее ясно, например, что период колебаний маятника может зависеть лишь от . Поиск формулы для сводится к поиску комбинации из , имеющей размерность времени. Такая комбинация единственна: корень из , масса оказывается ни при чём. Поэтому . Такие методы позволяют просто решать очень сложные задачи, но об этом в следующий раз.
Метод размерностей и подобия
Легко и просто решаются довольно сложные задачи. Период колебания маятника, перекрытие рек, флаттер-эффект.
Вернёмся к методу анализа размерностей (см. конец прошлой лекции), впечатляющему загадочной лёгкостью. Высота , на которую взлетает тело, брошенное вертикально вверх со скоростью , пропорциональна потому что из и ускорения свободного падения образуется единственная величина размерности длины . Задача решена с точностью до константы, зато без всяких хлопот. Кроме того, константа в может быть определена экспериментально при подбрасывании какой-нибудь гайки, а потом использована для вычисления снаряда при выстреле из пушки. Поэтому здесь и говорят о методах размерности и подобия.
Симметрия в алгебре
Примеры задач, где соображения симметрии позволяют быстро и просто выкрутиться из сложного положения. В двух словах об общем методе стандартного представления симметричных полиномов.
Лекции читает Опойцев Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН.
Если что и даёт ясное представление о высшей математике, так это линейная алгебра. Барьер повседневности здесь преодолевается легко и просто. При этом оказывается, что удивительные вещи находятся не в туманной дали, а совсем рядом. В этом курсе: линейные задачи и векторы, линейные преобразования и матрицы, элементарные преобразования, теория определителей, системы уравнений, замена координат, собственные значения и собственные векторы, операторы на комплексной плоскости, спектральная теория, квадратичные формы, сопряжённое пространство, триангуляция Шура, функции от матриц, матричные ряды.
Целью этого элементарного курса, рассчитанного на школьников, является познакомить слушателей с некоторыми основными и очень красивыми идеями современной абстрактной алгебры. Начиная с элементарных примеров, мы введем понятия группы, кольца, и поля, и заодно посмотрим на некоторые неожиданные свойства простых уравнений в кольцах. После этого мы рассмотрим разные примеры групп, таких как группы симметрий правильных многоугольников и многогранников, или группы перестановок. Мы увидим как можно записать операцию в группе с помощью таблиц Кэли, и посмотрим на более наглядное представление структуры группы с помощью диаграмм Кэли. Мы также рассмотрим примеры действия групп и связанные с этим понятия, а также некоторые красивые приложения (такие как счетная лемма Бернсайда).
Основы теории групп. Представления конечных групп. Точечные и пространственные группы. Приложения теории групп: теория молекулярных орбиталей, нормальные колебания (проекторы и применение в исследовании веществ). Приложения теории групп в физике твёрдого тела: кристаллическая структура, колебания решётки или откуда берутся полупроводники. Знаний по физике и химии, выходящих за рамки школьной программы не требуется. По математике могут пригодиться сведения из программы первого курса.
Как законы сохранения связаны с симметрией? На каких группах симметрии основана Стандартная модель? Какие примеры нарушенной симметрии существуют в физике элементарных частиц? О типах преобразований в физике частиц, лоренц-инвариантности и нарушениях симметрии рассказывает доктор физико-математических наук Дмитрий Казаков.
Комплексные числа: Как возникают и что обеспечивают. Как введение «странных» объектов проливает свет на реальные проблемы. Теория вещественных чисел: Пополнение прямой. Сечения Дедекинда. Зачем это нужно. Системы счисления: Что говорил Плутарх. Позиционная запись чисел. Десятичная система, двоичная. Игра «Ним» на шахматной доске. Двоичный выигрывающий алгоритм. Множества и операции: Наивная теория множеств. Сходство и различия с арифметическими операциями. Булевы структуры. Какими моделями их можно наполнять. Как эти модели перекликаются. Математическая индукция: Аксиома Пеано. Механизм индукции. Примеры.
Как математически были классифицированы симметрии явлений? Как соотносятся полупростые группы Ли и физика элементарных частиц? Что явилось математической предпосылкой существования кварков? О полупростых группах Ли, классификации элементарных частиц и математических моделях в природе рассказывает Алексей Михайлович Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.
Аристотель и Галилей о падении тел. Силы трения. Скольжение и качение. Статика, кинематика. Векторная природа сил и скоростей. Сложение и разложение. Независимость действий и движений. Сохранение количества движения. Момент силы и момент импульса. Гироскопы. Скамейка Жуковского. Вращательное движение. Момент силы и момент импульса в плоском варианте вращения. Вращение твёрдого тела и момент инерции. Работа, энергия, законы сохранения. Неинерциальные системы и силы. Центробежный эффект. Сила Кориолиса. Задача Эйнштейна о чаинках. Атмосферное давление. Законы Паскаля и Архимеда. Парадокс Архимеда.
Игры и смешанные стратегии. Задача о покупке акций на рынке ценных бумаг. Увеличение гарантированного выигрыша за счёт приобретения убыточных акций. Равновесие по Нэшу как индивидуально разумное решение игры. Почему реальные системы часто «сидят» в таком равновесии. Рыночная модель. Дилемма заключённого. Игровые ситуации, где в первую очередь играет роль психология.
Выпуклость и неравенства. Неравенство Иенсена. Метод математической индукции. Среднее арифметическое больше среднего геометрического. Приёмы доказательств. Использование производных. О монгольском неравенстве. Метод интервалов. Неравенство с логарифмами.
Теория функций и функциональный анализ – уникальная дисциплина второго круга математического образования, осваивая которую человек вдруг понимает, что ещё вчера за деревьями леса не видел. Это другой этаж мышления, виденья, понимания. Чтобы днём увидеть звёзды, надо опуститься в глубокий колодец. В основе изложения лежит стандартный скелет: метрические, нормированные и топологические пространства; теория меры, интеграл Лебега; компактные и предкомпактные множества; линейные операторы в банаховых и гильбертовых пространствах; спектральная теория; обобщённые функции; элементы нелинейного анализа.