x, y, z

Симметрия

Валерий Опойцев

Комментарии: 0
Феномен симметрии


Зеркальная симметрия. Изучение системы по реакциям на внешние воздействия. Нечувствительность к группам преобразований. Законы сохранения в механике как следствие инвариантности к преобразованиям Галилея.

Поднимемся от зеркальной симметрии к общему понятию симметрии, каковым считают явление неизменности/инвариантности того или иного объекта при определённых преобразованиях/изменениях.

«Объектом» может быть что угодно: геометрическая фигура, уравнение движения, модель того или иного явления и т. п. Правильный многогранник, например, не меняется, самосовмещаясь под воздействием определённой группы поворотов. И это очень естественный способ изучения объекта. Надо подействовать на него некоторым образом, и посмотреть на реакцию. По реакции можно многое понять. Живой — неживой, приличный — неприличный. Но мы пока о другом. Скажем, есть функция времени, $f(t)$, и мы знаем, что $f(t)$ не меняется при любом изменении начала отсчёта времени. Что следует отсюда? Отсюда следует, что $f(t)$ не зависит от времени. А если функция $z=h(x,y)$ инвариантна (нечувствительна) к любым поворотам системы координат, то она гарантированно является функцией от $x^2+y^2$.

Оба результата интуитивно понятны. На формальных доказательствах мы не останавливаемся, дабы не отвлекаться от главного в данном контексте. Наша с вами задача Вас заинтересовать. Открыть обзор, горизонты. Иначе ученичество напоминает путешествие в трюме корабля. Ничего не видно, неясно где и куда плывём. А ведь настроение, пейзажи, мотивы — это ключевые вещи на жизненном пути. Поэтому вот ещё один аванс.

Инвариантность уравнений классической механики к преобразованиям Галилея — влечёт за собой законы сохранения энергии и количества движения

Ещё один эффектный вид симметрии — инвариантность формул по отношению к выбору системы единиц измерения. Характер зависимостей не меняется, измеряем ли мы, скажем, длину в метрах или милях. Заранее ясно, например, что период $Т$ колебаний маятника может зависеть лишь от $m, g, l$. Поиск формулы для $Т$ сводится к поиску комбинации из $m, g, l$, имеющей размерность времени. Такая комбинация единственна: корень из $l/g$, масса $m$ оказывается ни при чём. Поэтому $T^2\approx l/g$. Такие методы позволяют просто решать очень сложные задачи, но об этом в следующий раз.

Метод размерностей и подобия


Легко и просто решаются довольно сложные задачи. Период колебания маятника, перекрытие рек, флаттер-эффект.

Вернёмся к методу анализа размерностей (см. конец прошлой лекции), впечатляющему загадочной лёгкостью. Высота $h$, на которую взлетает тело, брошенное вертикально вверх со скоростью $v$, пропорциональна $v^{2}/g$ потому что из $v$ и ускорения свободного падения $g$ образуется единственная величина размерности длины $v^{2}/g$. Задача решена с точностью до константы, зато без всяких хлопот. Кроме того, константа $k$ в $h=k v^{2}/g$ может быть определена экспериментально при подбрасывании какой-нибудь гайки, а потом использована для вычисления $h$ снаряда при выстреле из пушки. Поэтому здесь и говорят о методах размерности и подобия.

Симметрия в алгебре


Примеры задач, где соображения симметрии позволяют быстро и просто выкрутиться из сложного положения. В двух словах об общем методе стандартного представления симметричных полиномов.

Лекции читает Опойцев Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН.
Комментарии: 0