x, y, z

Функциональный анализ

Валерий Опойцев

Комментарии: 0
Теория функций и функциональный анализ – уникальная дисциплина второго круга математического образования, осваивая которую человек вдруг понимает, что ещё вчера за деревьями леса не видел. Это другой этаж мышления, виденья, понимания.

Чтобы днём увидеть звёзды, надо опуститься в глубокий колодец. По той же методе, чтобы увидеть скрытые пружины в привычных явлениях, надо подняться на более высокий уровень абстракции. А рассмотрев свысока невидимые на будничном уровне внутренние механизмы, мы получаем ключ к манипуляциям, вообще говоря, магического свойства. В том смысле, что наблюдающие за происходящим только извне, с того же уровня, как правило, диву даются. Мол, как до этого можно было додуматься!

В основе изложения лежит стандартный скелет:

  1. метрические, нормированные и топологические пространства
  2. теория меры, интеграл Лебега
  3. компактные и предкомпактные множества
  4. линейные операторы в банаховых и гильбертовых пространствах
  5. спектральная теория
  6. обобщённые функции
  7. элементы нелинейного анализа

Характер и стиль изложения значительно отличается от традиционных учебников и лекционных курсов.

Главные отличия:

  1. ищутся и предлагаются самые короткие пути к существу дела
  2. краткость и ясность ставятся во главу угла
  3. акценты на первичных понятиях, выявление скелета дисциплины

Что касается видео-лекций, то они ближе к обычному устному общению. На вид совсем элементарны. Но это и требуется для первого этапа освоения дисциплины. Потому что самое сложное в математике – это самые простые вещи, первичные понятия. Сопровождающие тексты не являются конспектами, а представляют собой параллельный материал, доступный для свободного скачивания (разумеется, бесплатного) либо использования в режиме онлайн. Тексты, с одной стороны, более лаконичны и отработаны, с другой – в содержательном отношении идут гораздо дальше видео-бесед. Другими словами, «видео» и текстовые файлы взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое.

Курс постепенно наполняется.

1. Метрические и нормированные пространства
Сюжеты развиваются в области, где не работает интуиция. Поначалу.

2. Теория меры, интеграл Лебега
Лебег, решая частную задачу, построил в итоге общую теорию меры, решив проблему в известном смысле окончательно. Все конструктивно задаваемые множества стали измеримыми.

3. Компактность и предкомпактность
В бесконечных размерностях часто образуется пустыня с редкими оазисами содержательно интересных фактов. На базе компактности функциональный анализ оживает. Вполне непрерывные операторы.

4. Топологическая техника
Из топологических пространств многое по-другому смотрится. Новый взгляд, новое освещение.

5. О линейных операторах в банаховых пространствах
О непрерывности линейных операторов в бесконечномерных пространствах. Примеры и контрпримеры.

6. Теорема Хана - Банаха
Важная (широко применяемая) теорема о продолжимости линейного функционала с сохранением нормы.

7. Сопряжённое пространство
Полезно обратиться сначала к понятию сопряжённого пространства в рамках линейной алгебры. Лекция "Сингулярные числа и сопряжённое пространство".

8. Идеальная выпуклость
Идеальная выпуклость в функциональном анализе относительно новое понятие. Эффективный инструмент, позволяющий коротко доказывать многие теоремы.

9. Слабая сходимость
Введение слабой сходимости (топологии) революционным образом меняет игровую площадку анализа. Возникают новые понятия замкнутости, компактности и, как следствие, новые возможности исследования операторов и уравнений.

10. Некоторые общие принципы
Рассматриваются принцип Банаха - Штейнгауза и принцип открытости отображения. Обсуждается также вопрос о глобальной обратимости отображения.

11. Вполне непрерывные операторы
Понятие полной непрерывности и его роль в линейном и нелинейном анализе.

12. О гильбертовых пространствах
Ортогональные разложения. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

13. Гильбертова специфика
Об основных особенностях гильбертовых пространств и о специфике теории линейных операторов в этих пространствах.

14. Теория обобщённых функций
О сути открытия теории обобщенных функций, перевернувшей "Дифференциальные уравнения" и "Урматы".

15. Линейные уравнения
Рассматриваются особенности линейных уравнений в бесконечномерных пространствах, а также уравнения Фредгольма.

16. Спектральная теория
Спектральный анализ линейных операторов в бесконечномерных пространствах представляет собой обобщение соответствующего раздела линейной алгебры. В новых обстоятельствах возникают принципиальные особенности.

17. Нелинейные операторы
Дифференцирование операторов, производные Фреше и Гато. Разрешимость уравнений, теоремы о неподвижных точках, принцип Шаудера.

Лекции читает Опойцев Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН.
oschool.ru
Комментарии: 0