x, y, z

Параллелизуемые сферы и алгебры с делением

Владимир Успенский

Комментарии: 0
Часть 1

Часть 2

Часть 3

Часть 4

Как известно, ежа нельзя причесать. Иными словами, на двумерной сфере нет касательного векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Трехмерная сфера ведет себя в этом отношении совсем иначе: на ней можно построить три касательных векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Это означает, что трехмерная сфера параллелизуема. Возникает вопрос, для каких $n$ сфера размерности $n-1$ параллелизуема. С этим вопросом тесно связан другой: для каких $n$ на $n$-мерном эвклидовом пространстве можно ввести билинейное умножение, при котором произведение любых двух ненулевых векторов ненулевое. Рассматривая вещественные числа, комплексные числа, кватернионы или октонионы, мы видим, что это можно сделать, если $n$ принимает одно из значений $1, 2, 4, 8$. Оказывается, что этот список значений и является ответом на оба поставленных выше вопроса.

Это трудная теорема. Ее можно доказать методами К-теории. Курс будет посвящен объяснению основных идей доказательства.

От слушателей предполагается знакомство с такими понятиями, как векторное пространство и непрерывная функция.

Успенский Владимир Владимирович.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
22-30 июля 2013 г.
Комментарии: 0